上海市重點(diǎn)中學(xué)重要考題精選與精解(5)

1、2017上海咼考專題復(fù)習(xí)數(shù)列考題精選11.已知等差數(shù)列an中， a3a7 - -16,a4 a6 =0,求a.前n項(xiàng)和Sn.2 在不等邊 ABC中，設(shè)A B、C所對(duì)的邊分別為2 2 2a, b, c,已知 sin A , sin B , sin C 依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列cos AcosBcosCc(1) 試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷，并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)()A 是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C 既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列D.既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列(2) 證明你的判斷.2 _ *3.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，5=kn 5 , n N ，其中k是常數(shù).(I)

2、求印及an ；(II )若對(duì)于任意的N* , am , a2m , a4m成等比數(shù)列，求k的值.4.等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn ,已知對(duì)任意的n N ，點(diǎn)（n Sh ,均在函數(shù)y = bx r（b . 0 且b =1,b,r均為常數(shù)）的圖像上.（1）求r的值；n十i（2）當(dāng)b=2時(shí)，記 bn = -（nN ） 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和4an5.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知ai =1, Sn 1 =4an 26.設(shè)數(shù)列F是等差數(shù)列，a 5=6 當(dāng)a3 =3時(shí),在數(shù)列(a/j中找一項(xiàng)am,使a3,a5,am成等比數(shù)列，求m的值； 當(dāng)a 3 =2時(shí),若自然數(shù)門上(t=1,2,3,)，滿足5<

3、;n 1 <n 2 < <n t <，且使得 a3,a5,ani,anj|l，ant -成等比數(shù)列，求數(shù)列nJ的表達(dá)式7 已知f x是定義在R上的增函數(shù)，且記g xi= f x - f 1 - x。(1) 設(shè)f X=x，若數(shù)列:an 滿足ai =3,an二g a.，試寫出2鳥(niǎo)的通項(xiàng)公式及前2m的和S?m :(2) 對(duì)于任意x1、x2 R，若g x亠g x20，判斷x1 x2 -1的值的符號(hào)。8.已知數(shù)列 玄'的前n項(xiàng)和為Sn，若a2, n an Sn - n n 1 ,(1) 求數(shù)列a ?的通項(xiàng)公式：Sn(2) 令Tnn，當(dāng)n為何正整數(shù)值時(shí)，Tn Tn d ；若

4、對(duì)一切正整數(shù) n，總有Tn乞m，求m2n的取值范圍。9.關(guān)于x的方程x2 xsin 2v - sin r cot v - 0的兩根為: J，且0 ： v : 2二，若數(shù)列的前100項(xiàng)和為0,求二的值。10.已知數(shù)列 a餐中，ai =1,且點(diǎn)p an,an 1 n N ”在直線x - y 1 = 0上.(1) 求數(shù)列n /的通項(xiàng)公式；(2) 若函數(shù) f (n) =11一一1一一1n N,且n _2 ,n +a1n+a2n+a3n +an求函數(shù)f(n)的最小值；1(3) 設(shè)bn,Sn表示數(shù)列：bn f的前n項(xiàng)和.試問(wèn)：是否存在關(guān)于n的整式g n，使得a nS1 S2 S 亠Sn=Sn 1 g n對(duì)

5、于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立？ 若存在，寫出g n 的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由。11.已知各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列an, bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn.()若an, bn為等差數(shù)列，求證：lim色=lim '.n 廠b門廠Tas(2)將(1)中的數(shù)列an, bn均換作等比數(shù)列，請(qǐng)給出使lim n = lim n成立的條件Fbn12.已知數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為S，且滿足S =1( n為正整數(shù)).-11(1) 求數(shù)列 Q ?的通項(xiàng)公式；(2) 記S二a“ a2 an .試比較S與(n 1)an的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論13.已知數(shù)列an的前 N項(xiàng)和為 Sn, a1 =1,

6、Sn 彳=2Sn 3n T(n N *).(1 )證明：數(shù)列an 3是等比數(shù)列；對(duì)N*，設(shè)吋鳥(niǎo)TV'求使不等式f(m“f(2m2)恒成立的自然數(shù)m的最小值.2017上海咼考專題復(fù)習(xí)數(shù)列考題精選 1解答1.已知等差數(shù)列 an中，a3a7 - -16,a4 a6 = 0,求 an前n項(xiàng)和sn. 解析：本題考查等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式運(yùn)用能力，利用方程的思想可求解。 解：設(shè)的公差為d，則a1 2d aj 6d = -16a-i 3d a1 5d = 0刨 &+8dq +12d2= 16即勺wq = -4d解得F二一8,或F =8d =2, d =-2因此 Sn - -8n n n

7、-1 =n n-9，或Sn =8n-nn -1 - -nn-92在不等邊 ABC中，設(shè)A、B、C所對(duì)的邊分別為a, b, c,已知sin2 A , sin2 B , sin2C依次成等差數(shù)列，給定數(shù)列cosAacosB cosC(1)試根據(jù)下列選項(xiàng)作出判斷，并在括號(hào)內(nèi)填上你認(rèn)為是正確選項(xiàng)的代號(hào)()A 是等比數(shù)列而不是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列而不是等比數(shù)列C 既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列D.既非等比數(shù)列也非等差數(shù)列(2)證明你的判斷.解：(1) B (2)因?yàn)?sin 2 A、sin3 B、sin2C 成等差數(shù)列，所以 2sii2 B 二 sh 2 A sn 2 C ,2 2 2 2 2 2 2 2

8、2222 cosB a c -bcosA b c -acosC a b -c所以 2b2 =a2 c2 .又，b2abca2abcc2abc顯然空B =型.進(jìn)，即型、進(jìn)、空C成等差數(shù)列若其為等比數(shù)列，有ba cabctan A = tan B 二 tanC，cosA cosB cosC 十"，所以a b c3.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn = kn2 n，n，N*，其中k是常數(shù).(I)求 a1 及 an ；(II )若對(duì)于任意的N*， am， a2m， dm成等比數(shù)列，求k的值.解(I)當(dāng) n = 1, a1 = Si = k T，n _2,an 二Sn -Sn4 二kn2 n

9、-k(n -1)2 (n -1) = 2kn -k 1 () 經(jīng)驗(yàn)，n = 1, (-)式成立，.an = 2kn - k 1(U) ' am,a2m,a4m 成等比數(shù)列， a?mQm.m，2即(4km - k T)二(2km -k 1)(8km - k 1)，整理得：mk(k T) = 0， 對(duì)任意的mN ”成立， k = 0或 k =14.等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的n N ，點(diǎn)(n Sn，均在函數(shù)y =bx r(b 0 且b1,b,r均為常數(shù))的圖像上.(1)求r的值；（2）當(dāng)b=2時(shí)，記 bn（nN ） 求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn4an解：因?yàn)閷?duì)任意的nN 點(diǎn)（n

10、 ,Sn），均在函數(shù)y二bxr（b.O且b = 1,b, r均為常數(shù)）的圖像上.所 以得 Sn = bn r,當(dāng) n = 1 時(shí)，a = 5 = b r,當(dāng) n _ 2時(shí)，an 二 SnSn丄二 bn r(bn' r)二 bnbn' 又因?yàn)?an為等比數(shù)列，所以r - -1,公比為b,n十1bn :(2)當(dāng) b=2 時(shí)，an =(b-1)bn=2n4an= (b-1)bn， 所以 an =(b-1)bnn 1 n 1r2 =_2T則Tn234n 1=22 23 24盯2Tn234 “ nn 1345市 =22 2 2 2 21 2 111 1相減,得一幾=p * -y 4 5市

11、.122 2 2 2 2 2 21 11 戸（1 一尹）n 131 n 12 一尹產(chǎn)-尹231n13n3所以Tnn 百nr222 22【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，以及已知Sn求an的基本題型，并運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.5.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知印=1, Sn 1 =4an 2（I ）設(shè)bn二an 1 -2an ,證明數(shù)列bn是等比數(shù)列（II ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。解：（I ）由a1=1,及 Sn一二 4an2，有 a1a2二4a-i2, a 3a12 - 5, d= a22日=3由Sn卅=4an +2,.

12、 則當(dāng)n啟2時(shí)，有Sn =4an+ 2一得 an 一二 4an - 4anan 一- 2an 二 2（an - 2an 4）又：bn二an1 -2an , - bn =2bn4 bn是首項(xiàng)= 3，公比為2的等比數(shù)列.（II）由（I）可得 bn 二an1-2an =3 2心，弟"22n 4a13.數(shù)列是首項(xiàng)為一，公差為3的等比數(shù)列.224豊（n-1）3 =©n-一 , an =（3n-1） 2心2n 2444評(píng)析：第（I）問(wèn)思路明確，只需利用已知條件尋找bn與bnJ的關(guān)系即可.n _1第（II ）問(wèn)中由（I ）易得an 1 -2an =3 2，這個(gè)遞推式明顯是一個(gè)構(gòu)造新數(shù)列的

13、模型：an 1 = pan qn（p, q為常數(shù)），主要的處理手段是兩邊除以qn 1 .6.設(shè)數(shù)列F是等差數(shù)列，a 5=6 當(dāng)a3 =3時(shí),在數(shù)列 玄中找一項(xiàng)am,使a3,a5,am成等比數(shù)列，求m的值； 當(dāng)a3=2時(shí),若自然數(shù)nt (t=1,2,3,)，滿足5<n ,< n2<<n t<，且使得a3,a5,ani,anJ|,an(成等比數(shù)列，求數(shù)列nJ的表達(dá)式解:由于a5=a3+2d所以d=-2a 3、a5、am成等比數(shù)列 由 a 3=2, a 5=6, . d=23a m= a 3+(mn 3) d = - (m- 1)23 .36=3x(m- 1) . m=

14、9.2.an= a 3 +( n 3) d = 2n 4又公比q=a5 =3ant =2 x 3t 1a32nt 4=2x 3t 1n t=3t 1+2.7 .已知f x是定義在R上的增函數(shù)，且記g x = f x - f 1 - x。(1) 設(shè)f x二X，若數(shù)列 & 滿足a1 =3,an二g a.，試寫出的通項(xiàng)公式及前2m的和S2m :(2) 對(duì)于任意x1、x2 R，若g x1g x > 0，判斷x1 x 1的值的符號(hào)。解：(1) an = g an fan.：；f 1 an=an J -an J= 2an J-1 ,則 an-'1=2 an_1 -'1,a1

15、-1=2，即數(shù)列Gn 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， an = 2n 1 , S2m = 221 2m = 22m 1 2m 2 ;2-1(2)若X1 X2 -1空0，則X1乞1 - X2,X2乞1 - X1，: f x是定義在R上的增函數(shù) fX1乞 f 1 一 X2, f X2 乞 f 1 X1,則 f X1 fX2 乞 f 1 一 X2f 1 X1 fX1- f 1 - X1 f X2 - f 1 - X2乞 0，即g X1 g X2 <0 ,與g X1 g x?0 矛盾，- x1 x2 -108.已知數(shù)列匕的前 n 項(xiàng)和為 Sn ,若 a1 = 2, n an = Sn + n

16、(n +1 J, (1)求數(shù)列'an ?的通項(xiàng)公式：Sn令Tnn，當(dāng)n為何正整數(shù)值時(shí)，Tn Tn 1 ；若對(duì)一切正整數(shù) n，總有Tn乞m，求m2的取值范圍。解：(1)令 n =1, 1 a2 = a11 2，即 a2 -a1 = 2 ,二 n a. 1 _ n _52n二 a. 1 -a. =2 n _ 2 ,n an+ =Sn + n(n+1)n -1an =Sn4 n n -1 a2 -a2 , an 1 p =2 nN*，即數(shù)列：n 是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,an = 2n ,Sn = n n 1nn2 2S3 T11 =1,T2 二T3，又 n22/. 3n，總有 Tn

17、 - m , m - o(2) TnTn 1 =n 1 n 2，即 n 2n N* ,2n 12時(shí),Tn 'Tn 1，各項(xiàng)中數(shù)值最大為3對(duì)一切正整數(shù)29.關(guān)于x的方程x2 - xsin 2v - sin vcot v - 0的兩根為: J ,且0 ：二：:：2二，若數(shù)列2-H，-占、100-1© 0丿解:Sioo=0 =丄丄的前丄100 吃B丿 111 a P100項(xiàng)和為0,求二的值。二 1 -11X亠卜1 1 ,:1:上-1-sin2 v - -sin v cot v - -cost , 2sin v - -1 sin v 二7 二-或 。10.已知數(shù)列'an 中，

18、a1 =1,且點(diǎn)P an.am nN ”在直線x - y 1 = 0上. an ?的通項(xiàng)公式；1 1 1 1f(n)nN,且 n_2,n +a1 n+a2n+a3n +anf (n)的最小值；1求數(shù)列若函數(shù)求函數(shù),Sn表示數(shù)列bn加勺前n項(xiàng)和試問(wèn)：是否存在關(guān)于 n的整式 anS2 -S- -Sn丄hQn -1 g n對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立?g n，使得S的解析式，并加以證明；若不存在，試說(shuō)明理由。解：(1)由點(diǎn)P(an, an彳)在直線x - y T = 0上,即 an 1 an 1 ,且a1，數(shù)列 an是以1為首項(xiàng)， an =1 (n 1) 1 二 n(n 2) , a11 1 1

19、(2) f(n)：n+1 n+22n1 1+n 3 n 41 1f(n 1) - f (n)：若存在，寫出g n1為公差的等差數(shù)列-1同樣滿足，所以務(wù)=nn 11f(n 1)：n +2所以bn1+2n 111-一2n 21 1> n 1 2n 2 2n 2 n 1 f(n)是單調(diào)遞增，故f(n)的最小值是f(2)71211111，可得 Sn =1, & -Sn：5 一 2)n2 3nn+2n 1 2n 21 =01012nSn -(n - 1)Sn J 二 Sn/1 ,(n-1)Sn4 -(n-2)Sn,二Sn1S2 'S<| = S<| 1相加得：nS n

20、- S1 = S S2 S3 Sn v n TS1 S2 S3Sn4 = nSn - n = n(Sn -1), n > 2所以 g(n)=n。15Sn ,Tn .11.已知各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列(1)若 an, bn為等差數(shù)列，an, bn的前n項(xiàng)和分別為 求證： lim an = lim Sn .Tbn5(2) 將( 1)證明(1)lim anx -bnSnlim lim 成立的條件. 5 0 ST.設(shè)an， bn的公差分別為d1,d2( d1,d2均不為0)，貝Ua1(n1冋 d1d2中的數(shù)列an, bn均換作等比數(shù)列，請(qǐng)給出使=lim x ?： 0 (n -1)d2na n(n

21、-1)dlim n limx 5x»叫亠2 所以 lim an = lim 魚(yú).Ybn解(3)設(shè)an, bn的公比分別為q1,q2 (qq均為不等于1的正數(shù))，則=5d2lim an =limn' bnn Aaqn -1a1-心二 q2),=«aP(q y).11分limSn _Tnnq1n1 lim -D(1q1)n ：1q2*1=42),bd (1 -q2)77(0 7 ：1,0 7 <1),3(1-5)0(0 ： q : qzq 1).14分所以使lim % = lim '成立的條件是0 ： q1 ： q2,q2 1或q q2 16分b ctnn

22、ianSnan卜的前n項(xiàng)和為S，且滿足=1 ( n為正整數(shù)).-11(1)求數(shù)列：an訃勺通項(xiàng)公式；(2)記S勺1 a2 an .試比較S與(n 1)an的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論解: (1) an - Sn =1 ,an 1 & 4 = 1以上兩式相減得到 an-an4 (Sn-SnG =0 ,即卩an-anan=03 分所以=，數(shù)列、an '是公比為等比數(shù)列，又a-i S- = 1 ,印=丄,an 4222所以anEgyy6分2n 1(2) S =1 , (n 1)an1 - 2 2n 1f (1) =1,n 1n 2n 212設(shè)f(n) 尹，則f(n D 蘆，f(n “-仁n) 尹 所以，函數(shù)f (n)在n N*上單調(diào)遞減，所以f (n)的最大值是 所以 S _(n 1)an.13.已知數(shù)列an的前 N項(xiàng)和為Sn,a1=1,Sn.1二2Sn3nT(n N *).(1) 證明：數(shù)列an 3是等比數(shù)列；* 5S an+3n,n= 2k1, 2(2) 對(duì)kN ,設(shè)f (n )=丿求使不等式f(m)nf(2m2)恒