港澳臺學生聯(lián)考試題：數(shù)學--數(shù)列各種簡單綜合題(含答案)

1、 數(shù)列綜合題1.已知數(shù)列n a 是公差不為0的等差數(shù)列,12a =,且2a ,3a ,41a +成等比數(shù)列.(1求數(shù)列n a 的通項公式;(2設(shè)(22n n b n a =+,求數(shù)列n b 的前n 項和n S .2.設(shè)數(shù)列n a 的前n 項和為n S ,且(.,2,112=-=n a S n n .(1求數(shù)列n a 的通項公式;(2若數(shù)列n b 滿足(2,.,2,111=+=+b n b a b n n n ,求數(shù)列n b 的通項公式.3.已知等差數(shù)列n a 的公差0> d ,其前n 項和為n S ,11=a ,3632=S S ;(1求出數(shù)列n a 的通項公式n a 及前n 項和公式n

2、S (2若數(shù)列n b 滿足2(,211=-=-n d b b b nn n ,求數(shù)列n b 的通項公式n b 4.等差數(shù)列n a 中,11-=a ,公差0d 且632,a a a 成等比數(shù)列,前n 項的和為n S .(1求n a 及n S ;(2設(shè)11+=n n n a a b ,n n b b b T += 21,求n T .5.已知數(shù)列n a 滿足22a =,n S 為其前n 項和,且(1(1,2,3,2n n a n S n += .(1求1a 的值;(2求證:1(21n n n a a n n -=-;(3判斷數(shù)列n a 是否為等差數(shù)列,并說明理由.6.已知等比數(shù)列n a 的前n 項和

3、為n S ,且滿足(122n n S p n N +*=+.(I 求p 的值及數(shù)列n a 的通項公式;(II 若數(shù)列n b 滿足(132n n a b n a p +=+,求數(shù)列n b 的前n 項和n T . 7.在數(shù)列n a 中,c c a a a n n (,111+=+為常數(shù),*N n ,521,a a a 構(gòu)成公比不等于1的等比數(shù)列.記11+=n n n a a b (*N n .(求c 的值;(設(shè)n b 的前n 項和為n R ,是否存在正整數(shù)k ,使得k k R 2成立?若存在,找出一個正整數(shù)k ;若不存在,請說明理由.8.已知數(shù)列n a 的前n 項和為n S ,(*31N n a

4、S n n -=.(求21,a a ;(求證:數(shù)列n a 是等比數(shù)列.9.設(shè)數(shù)列n a 的前n 項和122n n S +=-,數(shù)列n b 滿足21(1log n nb n a =+.(1求數(shù)列n a 的通項公式;(2求數(shù)列n b 的前n 項和n T . 10.已知數(shù)列n a 的前n 項和為n S ,且2n n S n +=2.(1求數(shù)列n a 的通項公式;(2若*(,1211N n a b n n n n -+=+求數(shù)列n b 的前n 項和n S .11.在數(shù)列n a 中,31=a n n 2,n 2-n 21*-+=且(n n a a (1求32,a a 的值;(2證明:數(shù)列n a n +是

5、等比數(shù)列,并求n a 的通項公式;(3求數(shù)列n a 的前n 項和n S .12.若數(shù)列n a 的前n 項和為n S ,對任意正整數(shù)n 都有612n n S a =-,記12log n n b a =.(1求1a ,2a 的值;(2求數(shù)列n b 的通項公式;(3若11,0,n n n c c b c +-=求證:對任意*2311132,4n n n N c c c +< 都有. 13.設(shè)數(shù)列a n 是等差數(shù)列,數(shù)列b n 的前n 項和S n 滿足3(12n n S b =-且2152,.a b a b =(求數(shù)列a n 和b n 的通項公式:(設(shè)T n 為數(shù)列S n 的前n 項和,求T n

6、 .14.在數(shù)列n a 和等比數(shù)列n b 中,01=a ,23=a ,1*2(n a n b n N +=.(求數(shù)列n b 及n a 的通項公式;(若n n n b a c =,求數(shù)列n c 的前n 項和n S .15.設(shè)等比數(shù)列n a 的前n 項和為n S ,已知對任意的+N n ,點(,n n S ,均在函數(shù)r y x +=2的圖像上.(求r 的值;(記n n a a a b 2log 2log 2log 22212+= 求數(shù)列n 1的前n 項和n T . 16.設(shè)數(shù)列n a 滿足:11,a =(121*n n a a n N +=+.(I 證明數(shù)列1n a +為等比數(shù)列,并求出數(shù)列n a

7、 的通項公式;(II 若2log (1n n b a =+,求數(shù)列11n n b b +的前n 項和n S .17.已知數(shù)列n a 是一個遞增的等比數(shù)列,前n 項和為n S ,且42=a ,143=S ,求n a 的通項公式;若n n a C 2log =,求數(shù)列+11n n 的前n 項和n T 18.數(shù)列n a 中,12a =,1n n a a cn +-=(c 是常數(shù),123n = ,且123a a a ,成公比不為1的等比數(shù)列.(求c 的值;(求n a 的通項公式. 19.已知數(shù)列n a 的前n 項和n S 滿足21n n S a =-,等差數(shù)列n b 滿足11b a =,47b =.(

8、1求數(shù)列n a 、n b 的通項公式;(2設(shè)11n n n c b b +=,數(shù)列n c 的前n 項和為n T ,求證12n T <.20.已知數(shù)列n a 的各項都是正數(shù),前n 項和是n S ,且點(,2n n a S 在函數(shù)2y x x =+的圖像上.(求數(shù)列n a 的通項公式;(設(shè)121,2n n n nb T b b b S =+ ,求n T .21.已知等差數(shù)列n a 滿足:37a =,5726a a +=,n a 的前n 項和為n S .(求n a 及n S ;(令b n =211n a -(n N *,求數(shù)列n b 的前n 項和n T . 22.已知數(shù)列n a 中,13a =

9、,滿足2(1221-+=-n a a nn n 。(1求證:數(shù)列-n n a 21為等差數(shù)列;(2求數(shù)列n a 的前n 項和n S .23.已知公差不為零的等差數(shù)列n a 中,37a =,且1413,a a a 成等比數(shù)列.(求數(shù)列n a 的通項公式;(令211n n b a =-(n N *,求數(shù)列n b 的前n 項和n S .24.設(shè)數(shù)列n a 的前n 項和為n S ,11a =,0n a >,24(1n n S a =+,n N *.(求數(shù)列n a 的通項公式;(求數(shù)列2n na 的前n 項和n S . 25.已知等比數(shù)列n a 中,113a =,公比13q =.(I n S 為n

10、 a 的前n 項和,證明:12n n a S -=(II 設(shè)31323log log log n n b a a a =+ ,求數(shù)列n b 的通項公式.26.已知數(shù)列n a 是等差數(shù)列,22 , 1063=a a ,數(shù)列n b 的前n 項和是n S ,且131=+n n b S .(I 求數(shù)列n a 的通項公式;(II 求證:數(shù)列n b 是等比數(shù)列;27.已知數(shù)列n a 滿足11=a ,且,2(22*1N n n a a n n n +=-且(1求證:數(shù)列n n a 2是等差數(shù)列;(2求數(shù)列n a 的通項公式;(3設(shè)數(shù)列n a 的前n 項之和n S ,求證:322->n S n n .

11、28.已知等差數(shù)列n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的兩根,數(shù)列n b 的前n 項的和為n S ,且n n b S 211-=(*n N .(1求數(shù)列n a ,n b 的通項公式;(2記n n n b a c =,求證:n n c c +1.29.已知等差數(shù)列前三項為,4,3a a ,前n 項的和為n s ,k s =2550.求a 及k 的值;求12111ns s s + 30.設(shè)數(shù)列n a 的前n 項和32n n S a =-(1,2,n =L .(1證明數(shù)列n a 是等比數(shù)列;(2若1(1,2,n n n b a b n +=+=L ,且13b =-,

12、求數(shù)列n b 的前n 項和n T .北京博飛-華僑港澳臺培訓學校 2 2 an * 31在數(shù)列 an 中, a1 = ,且對任意的 n Î N 都有 an +1 = . an + 1 3 1 * (1求證: - 1 是等比數(shù)列； (2若對任意的 n Î N 都有 an +1 < pan ,求實數(shù) p 的取值范圍. an 32已知數(shù)列 a n 及其前 n 項和 S n 滿足： a1 = 3，S n = 2S n -1 + 2 （ n ³ 2 ， n Î N * ）. n （1）證明：設(shè) bn = Sn ， bn 是等差數(shù)列；（2）求 S n 及 a

13、n . 2n 33已知數(shù)列 a n 滿足 a1 = 1, a 2 = 3, a n +1 = 4a n - 3a n -1 n Î N , n ³ 2 ， （1）證明：數(shù)列 a n +1 - a n 是等比數(shù)列，并求出 a n 的通項公式 ( * ) 北京博飛華僑港澳臺學校 11 網(wǎng)址： 北京博飛-華僑港澳臺培訓學校 34已知數(shù)列 an 滿足： a1 = 1, an +1 = 3an + 4 ； （1）求 an ；（2）設(shè) bn = n ( an + 2 ) ，求數(shù)列 bn 的前 n 項和為 S n 。 35已知數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S n ，滿足 a n +1

14、= S n + 2n, n Î N ，且 a 1 = 0 . * （）求 a 2 ， a 3 ； （）若 b n = a n + 2 ，求證：數(shù)列 bn 是等比數(shù)列。 （）若 C n = 1 log 2 bn +1 log 2 bn ， 求數(shù)列 C n 的前 n 項和 Tn 。 36在數(shù)列 （I）求數(shù)列 中， 的通項公式; （II）求數(shù)列 , 的前 項和 北京博飛華僑港澳臺學校 12 網(wǎng)址： 北京博飛-華僑港澳臺培訓學校 參考答案 1（1） an = 2n ; （2） Sn = n(a1 + a n = n 2 ;(2 bn = 2 n +1 - 2 2 n 4（1） a n = 2

15、n - 3 ， sn = n 2 - 2n ；（2） Tn = - 2n - 1 3(1 a n = a1 + ( n - 1 d = 2n - 1 , S n = 5（1） a1 = 1 ;（2）詳見解析;（3）詳見解析. 6（） p = -1 ， an = 2 n ；（） Tn = 2 - 7（1）2；（2）不存在 9（1） an = 2 ；（2） Tn = n n . n +1 2（1） a n = 2 n -1 ;（2） bn = 2 n -1 + 1 . 1 2 n -1 - n 2n 8（1） a1 = - 1 1 ， a2 = ；（2）證明見解析 2 4 2 n . n +1 1

16、0(1 a n = n ;(2 n + 1n+2 1 . n+ 1 - n +1 11(1 a 2 = 6, a 3 = 13 ；(2證明詳見解析， a n = 2 - n ；（3） S n = 2 1 1 ；（2） bn = 2n + 1 ；（3）見試題解析 , a2 = 8 32 1 13（） an = 2n - 1( n Î N * ；（） (3n + 2 - 6n - 9 . 4 n +1 n 14（） an = n - 1 ， bn = 2 ；（） Sn = 4 + ( n - 2 ) × 2 . 12（1） a1 = 15（） r = -1 ，（） Tn = n

17、2 + n + 8 . 2 2n n . 16（I） an = 2 n - 1 ；（II） Tn = n +1 n +1 n 1 1 1 1 n -1 n 17 an = a1q = 2 ； Tn = = 。 + + +L+ c1c2 c2 c3 c3c4 cn cn+1 n + 1 18（） c = 2 （） an = n 2 - n + 2( n = 1， 2， L 19（1） an = 2 n -1 1 1 1 1 1 1 n Tn = 1 - + - + L + - = 1- = 。 2 2 3 n n +1 n +1 n +1 n n(n-1 2 n - 1=2n+1 ； S n =

18、 3n+ 21（1） an = 3 + （ ´ 2 = n 2 +2n （2） 2 4(n+1 20（） an = n ；（） 22(1用定義證明 (2 Sn = ( n - 1) 2 * ， bn = 1 + (n - 1 ´ 2 = 2n - 1 （2）證明如下 n +1 +n+2 n 4(n + 1 23（） an = 2n + 1 ( n Î N （） S n = 24（） an = 2n - 1 ；（） S n = 3 - 2n + 3 。 2n 25（1）根據(jù)已知的等比數(shù)列的通項公式和求和公式來得到證明。（2） bn = - 26（1） an = 4n

19、 - 2 ；（2）利用等比數(shù)列的定義證明 n(n + 1 . 2 27（1）利用等差數(shù)列的定義證明；（2） an = ( n - × 2 ；（3）先求和然后再利用放縮法證明 1 2 n 北京博飛華僑港澳臺學校 13 網(wǎng)址： 北京博飛-華僑港澳臺培訓學校 2 n -1 28（1） a n = a 5 + ( n - 5 d = 2n - 1. bn = b1 q = n. 3 （2）利用數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合定義法作差法來得到單調(diào)性的證明。 29（1） a = 2, k = 50 。（2） 1 1 1 1 + + L + 1 - n +1 s1 s2 sn 3 an -1 . 2 30（）由 S n = 3an - 2