哈爾濱工業(yè)大學《現(xiàn)代控制理論基礎》考試題A卷附答案

1、一（本題滿分10分）注如圖所示為一個擺桿系統(tǒng)，兩擺桿長度均為L,擺桿地質量忽略不計，擺桿，電末端兩個質量塊（質量均為M ）視為質點,兩擺桿中點處連接一條彈簧，宀與比彳亍分別為兩擺桿與豎直方向地夾角當q=02時,彈簧沒有伸長和壓縮.水平向右地外力f（t）作用在左桿中點處，假設擺桿與支點之間沒有摩擦與阻尼，而且位為移足夠小,滿足近似式sinT=T,cosT=1.創(chuàng)！ （ 1）寫出系統(tǒng)地運動微分方程；（2）寫出系統(tǒng)地狀態(tài)方程.遵 守 考 場 紀 律解（1）對左邊地質量塊，有管導核字 主領審簽對右邊地質量塊,有L cos 弓 一 k L sin 耳 一 sin r2 cos冃一 MgL sin 片ML

2、, = k 扌 sin 齊-sin 丁2 cos-MgLsin 寸2在位移足夠小地條件下，近似寫成：klML"弓-v2 -Mgl4（2）定義狀態(tài)變量十上g弓亠2 .丄4M L 4M 2ML'上卄上展巧4M 4M LXi 二片，X2 =t,X3 二去，X4 “2X1 = x2X2上 g4M LX3 = X4kx4 :4Mk+4MX3 2ML_ A g4M或寫成010k +g0kX2V4M L 丿4MX3000'X4 一k0k +gl-4Ml4ML 丿01xj01xX3-012ML00時，狀態(tài)響應為x(t)=丨2；x(0)= | 1時，狀態(tài)響應為x(t)=丨e 一廠1 一

3、廣e 一2e時地狀態(tài)響應x (t).x= Ax，其中 A R2 2. e"t2Atjl =eJ1 a <21 =e !-1J二. (本題滿分10分) 設一個線性定常系統(tǒng)地狀態(tài)方程為卄 “、1I右 x(0) =11試求當x(0) = I L3 _【解答】系統(tǒng)地狀態(tài)轉移矩陣為二eAt，根據(jù)題意有；e't 1 x(t)=°e - 巧 x(t)=丄 廠e 一合并得2er一e''I 211-1 T 一求得狀態(tài)轉移矩陣為A t e =-2teIL-e 22邛11- e _Tq4-亠-e2e;-1-21-J e-t e11 一_ e+2eJ -2/ +2e叮

4、 -e 2r-e一當 x(0)=時地狀態(tài)響應為2e?2e2123l-7et 8e2三. (本題滿分10分)已知某系統(tǒng)地方塊圖如下回答下列問題：(1) 按照上圖指定地狀態(tài)變量建立狀態(tài)空間表達式；(2) 確定使系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀時，參數(shù)k地取值范圍.【解答】(1)系統(tǒng)地狀態(tài)空間表達式為)2 一1 0一戈1= 1 0汐I 戈一(2)使系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀時，參數(shù)k = 3且k =0.四. (本題滿分10分)離散系統(tǒng)地狀態(tài)方程為皿 1) _ -45+1)口2(1 )是否存在一個有限控制序列d(0)1X1（k）. 0-3 _X2（k）_1u（k）u(1)u(N),使得系統(tǒng)由已知地初始狀態(tài)為

5、(0),X2(0)轉移到(N 1)=0,X2(N 1) = 0 ?試給出判斷依據(jù)和判斷過程(2)若存在，求N地最小值及控制序列 山(0) u(1)u(N)?.【解答】(1) 由題意，G1 h= 0 ', Q= Ih GhJ|° 1ra nkQc=2,由系統(tǒng)能控性地定義可知：存2 -3 一 1 -3 一在有限控制序列，使得在有限時間內(nèi)由狀態(tài)初值轉移到零.(2) 由系統(tǒng)狀態(tài)完全能控地性質可知，此系統(tǒng)為二階系統(tǒng)，可用適當?shù)豼(0) ,u(1),使得 x-0 ,即N地最小值為1.根據(jù)狀態(tài)方程x(k 1Gx(k) hu(k)進行遞推如下：x (1)= Gx (0) hu(0)x(2)二

6、Gx(1) hu(1) = G IGx(O) hu(O) h：；，hu(1) = G2 x(0) Ghu(0) hu(1) = 0 , 由上面最后一步可得Ghu(O) hu(1) = -G2 x (0)即h Ghl u上g2x(0)：u(O)JQclU(1)l也(0) 一U(1)= qG2 x(0) =40u(0)-18即 口(0)=18為(0) 7x2(0),u(1) = 40 為(0) 10x2(0).五. (本題滿分10分)對下列系統(tǒng)0x 二_-61 0X + I U -5一1 一試設計一個狀態(tài)反饋控制器，滿足以下要求：閉環(huán)系統(tǒng)地阻尼系數(shù).二0.707 ；階躍響應 地峰值時間等于3.14

7、秒.【解答】r/X1 I假設狀態(tài)反饋控制律為U = 1 k2|，代入狀態(tài)方程得閉環(huán)系統(tǒng)X 一11 x +-5 一 Xk2 lx0 1-6 + 匕-5+k2_閉環(huán)特征多項式為耐廿de®訂-入尸6*=25 _ k26 _ &JT根據(jù)題意地要求S'n2 ，期望特征多項式為根據(jù)多項式恒等地條件可得:解得狀態(tài)反饋控制律為u = k k |= 4兒+ 3x2.六. （本題滿分10分）設系統(tǒng)地狀態(tài)空間表達式為x= 們 X+ ? 0 _5 一100_y = 1 0 lx若該系統(tǒng)地狀態(tài)X2不可測量，試設計一個降維狀態(tài)觀測器，使降維觀測器地極點為-10, 要求寫出降維觀測器動態(tài)方程，并寫

8、出狀態(tài)X2地估計方程【解答】將狀態(tài)空間表達式寫成：乂 = x2“ X2 = -5x2 +100u=Xi進一步寫成x2 = -5% + 100u灼=y = X2設降維觀測器方程為x2 = -5 T x2 100u lx215 T x2 100u ly引入中間變量z = X2 Ty，兩邊求導數(shù)得z = x2- ly- 5 Tx2100uly Ty- 5 -Ix2100uz =: -5 - I z ly 100uz- -5-1 z-l 51 y 100u根據(jù)題意,降維觀測器地極點為-10,即-5 - l二-10,解得1 = 5. 最終得到降維觀測器地動態(tài)方程為z - - 10z - 50y 100u

9、狀態(tài)估計地表達式為x2 z 5y.七. (本題滿分10分)證明對于線性定常系統(tǒng)地線性變換，其傳遞函數(shù)(矩陣)保持不變 【證明】設原線性系統(tǒng)為H = Ax + Buy = Cx 十 Du二其傳遞函數(shù)矩陣為W (s)二C sI A B D設線性變換為x = Tz，變換后地線性系統(tǒng)為z=T 二 ATz+T 1Bu:y = CTz + Du該系統(tǒng)地傳遞函數(shù)矩陣為W(s)二 CT sI -T ' AT 'T 'B D二 CT sT _1T -T AT ' T 'B D二 CT T J si - A T ' T ' B D_J .-1_1二 CTTsi A TT B D二 C si A ' B D顯然,W(s) =W(s),即其傳遞函數(shù)(矩陣)保持不變.證畢八. (本題滿分10分)25X2 二 _X|X2 -X22x1x|，證明該系統(tǒng)在坐標原點處漸xf 3某2階非線性系統(tǒng)地狀態(tài)方程為近穩(wěn)定.【證明】取李雅普諾夫函數(shù) V(x)x；,顯然是正定函數(shù)；此外 ,沿著狀態(tài)軌線地導數(shù)為:V (x) = 2x1x1 2x2x2 = 2x1 x； -3% 2x2=瑟+2%+語-XiX；5-X