工科高數(shù)上精彩試題庫精選

1、補充習(xí)題一、極限與與連續(xù)1設(shè)k是正整數(shù)，若limn2003n(n 1)k nk存在且不為零,(A)2002(B)2003(C) 2004(D)20052若當X1時,3x ax是同階無窮小，則常數(shù) a3.設(shè) lim f (x)(A) 1(B)4.曲線5.已知函數(shù)-存在，且xxinmf(x)(C) 2(D)-22x 12x的所有水平、2x 3鉛直漸近線的方程為f(x),xx1za x、x()x,xa x0在x 0處連續(xù)，則常數(shù)a6點x 0是函數(shù)f (x)ex 1ex 11 arctan-x0的(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)無窮間斷點(D)連續(xù)點tan x x7.設(shè)f(x)喬飛，則間斷點x

2、0是第一類一間斷點&已知方程 2x 3 sinx 0僅有一個實根，則該實根所在的區(qū)間為 (必須使寫出的區(qū)間的長度d <1).x 2x 1x21(11FXX)10證明方程x4100x2 x0至少有兩個大于零的實根11 .設(shè) limXf （x）存在，且f（X）2X2x1 1 .-sin 3lim f(x),1 x x則 lim f (x)X12.設(shè) limXkxlimx 0ex)X13.設(shè) lim (Xax b) 0，則a,b的值為（(A) 1,1(B)11,(C) i,i(D)1,14 .函數(shù) f (X)0,x 1的間斷點（(A)僅為X 1僅為X(C)為 X(D)不存在15.設(shè) f

3、(x) limn2n 1X12n 1 n 1XXX(nN），試討論f(X)在(）的連續(xù)性，若有間斷點，則進行分類（須注明理由）16.設(shè) f(X)X cos一2x 1,1討論f （x）在X 1的連續(xù)性.117.設(shè)有方程 xn nx 1 0,其中n為正整數(shù)，（1）證明此方程存在唯一正實根;（2）如果把該正實根記為xn,求lim xnn（注：求lim Xn時必須有計算過程）、導(dǎo)數(shù)與微分1設(shè) f(X)x(x 1)(x 2) (x 2000)，則f (0)2設(shè) f(x)sin x(sinx 1)(sin x 2)(sin xn)，貝U f (0)3.函數(shù)ysin xx 則 d y x _24設(shè) f(x)

4、ecosx，則 lim f(x h) f(x)h 05.已知函數(shù)y f(x)滿足limx0 f(2) f (23x)1，則 dyx26設(shè)f(x)x71 e"0,7.設(shè)f(x)sin x2x0,&設(shè)f(x)ax b,x2x , x9設(shè)f(x)sin ax,ln(1 x)導(dǎo);b,，求 f (x)0，求 f (X)010設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且數(shù)連續(xù).1 xsin y , x 11 .設(shè)函數(shù) f (x)x0,(A)極限不存在(C )連續(xù)但不可導(dǎo)時,f(x)在(時，f (x)在(単Xf (0)0，證明 g(x) x0,0,(B)極限存在但不連續(xù)(D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)為0)連續(xù)且可導(dǎo);

5、0可導(dǎo)，且導(dǎo)函f (0), x則f (x)在點x 0處( )12.設(shè)曲線 y x2 ax b與2yxy31在交點(1, 1)處有公切線，求常數(shù) a,b和公16.t3 2t ，則 d2xey si nt t y 1y dx217.1(a, b為常數(shù))ax b，則(n)y18.4x2，求n階導(dǎo)數(shù)2x 1(n)y19.設(shè) yln(6x2 7x 2)，求 y(n 1)切線方程。13.設(shè)f(u)二階可導(dǎo),1y f()，則d y( )xdx2(A)1f (一)(B)14 '1f () (C)23f (-)11、 22 f ( )(D)3 11 1f -jfF)xxxxxxxxx xx14設(shè)33x

6、y3xy3，求點(2,1)處的y, y .15.設(shè)函數(shù)y y(x)由方程ey xy e所確定，求y (0)20.設(shè) f(x)丁 ，則n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)x 2x 321 .設(shè) f (x)arctan x2(1) 驗證：(1 x )f (x)1(2) 證明：(1 x2)f(n 2)(x)2(n 1)xf(n1)(x) n(n 1)f (n)(x)0;(3) 求 f(n)(0)1.計算極限(1)limx 0 ln(1 3x2)(3)limx 0tan x 1 sin x sin x(5)lim ( C0Sxx 0 sin x(6)2.當x1 時，x3(A)同階無窮小三、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1(2) lim(

7、cot x)ln xx 0(4)2 . 1x sinxln(1 x )moHxbx(a,b,c)全大于零)x2 x 1 是 x3 x2 x 1 的(B)高階無窮小(C)低階無窮小 (D)等價無窮小2x3. 指出x的取值圍，使函數(shù) f(x) 2arctanx arcsin 2的值恒為，并證明你的1 x結(jié)論4. (1)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，證明：在(a,b)至少2 2存在一點，使 2 f( ) f ( )2 f(a) b f().(2)設(shè)f (x)在可導(dǎo)，且f (a) f (b)，證明：存在一點 (ab), ，使f(a) f( )+ f ()(3)設(shè)函數(shù) f(x),g(x)都

8、在a,b上連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且 g(x) 0 , f(a) f(b) 0,試作輔助函數(shù)用羅爾定理證明：至少存在一點(a,b),使f ( )g( ) f( )g( )5. (1)已知 a。a2n0 ,證明方程23n 1a°a1xa2x2anXn0在(0, 1)至少有一個實根(2)證明方程xln(3 x2)20有且僅有一個實根.6.證明不等式：3 xsin x x6(x0).7.設(shè)f (x)可導(dǎo),且 lim f(x)e，xlim a cost17. 已知曲線(a 0)，則弧微分 ds y asint Clim f (x) f(x 1)，求常數(shù) cxx x cx&設(shè)f(x)在

9、0,a上二階可導(dǎo)，且f(0) 0, f (x) 0,證明:竺 在(0, a上單調(diào)減少x9.下列命題中，正確的是()(A)若 f(X。)0，則 yf (x)在 XX0處取得極值(B)若yf (x)可導(dǎo)，則f (X0)0(C)設(shè)f(X。)0，則點(X0, f (X0)是曲線y f (x)的拐點(D)若yf (x)在x X。處取得極值,則f (x°)0或f (x°)不存在10. f (X0)是可導(dǎo)函數(shù)f (x)的極大值的充分條件為： 對滿足x X0的任意x，都有()(a) f (x)0(B) (x x°)f(x)0 (C)(x x°)f(x)0(D) f (x

10、)011. 周長為8的等腰三角形 OAB繞底邊OB旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體，問腰長和底邊長各為 多長時，旋轉(zhuǎn)體的體積最大？(必須使用定積分計算)x12. 函數(shù)f(x) In x 2在(0,)零點的個數(shù)為 e13. 求常數(shù)p的最小值，使對一切 x 0，恒有 p > (x x2) ex14. 為正常數(shù)，使得不等式ln x x 對任意正數(shù)x成立，求的最小值.15. 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù) y x2-的性態(tài)，并作其圖形xx16. 利用導(dǎo)數(shù)討論 y xe 2的性態(tài)，并作圖.四、不定積分x edx3sin x cosx12cos xln(ex 1)dxx(1)(3)dx(5)x e3(2)ex(1 ex) dx

11、.3sin x ,(4)dx ；2 cosxdx sin x(1 cosx)(7)cos x dxIn cosx(8)2d xcos x(9)x arcta nx dxx sin x(10)(11)2xl n(x 1)dx.2. 設(shè) f (x2) ( x 0)，貝U f (x) =x3. f (2x)dx x C, 則f (x) 五、定積分與反常積分2x1 .求 limx 02x 2 cost dt 010x2x4t2x0edt求 lim-2x 0 x2x(1 e )2.設(shè)f (x)是連續(xù)函數(shù),f(0)2,F(x)x2.f(t)dt,求 F(0)sin x3.設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且o f

12、(t)dtx2 (1x)，則 f(2)4若f(x)連續(xù)，且f (1)則 lim 一x 1 x1 f(t)dt ()(A)25.計算(B)0(C)4(D) 2(1)1 qx2 (1 x2)3dx(2)2丄dx0 ,4 x2(3)a1a22 2,a x ,2 dxx(4)02、X32X2 Xdx(5)2°max1，xdx6.若fdx tanx C tan x，則04 f(x)d7.設(shè)f (x)為連續(xù)函數(shù)，且f(1)1,f(0), 1 Jarctan f (x) f (x)°,則 01A)dx =32x sin x-42x 2x 1.10 .sin x dx9. limn10.設(shè)

13、f(x)是x到離x最近的整數(shù)的距離100,則 0 f(X)dx111.已知f (x)是偶函數(shù)，且1 f (x)d x22，則 xf(10 x)d x12.證明：對任意自然數(shù) m,n，都有°xm(1 x)ndx10(11x)mxndx ;計算 Qx(1 x)9dx11 313 .設(shè) f (x) minx,-, x ,求x2, 23(1) ff(x)dx2 對f (x)和區(qū)間丄，3，拉格朗日中值定理結(jié)論中的2 2值；如果不滿足，要具體論述.14.設(shè) f(x) X0, F(x)x,x 0f(t)dt (x 1,1);(1)求F(x)的表達式，(2)討論F(x)在x 0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。)

14、上的表達式。2(1 x)2 x 015.設(shè) f(x) ' 八 ，令 F(x) f (t)dt，求 F(x)在(e c x已知lim( )X x c,x 0016.設(shè)f(X)連續(xù)，證明:1 10 f (x)dx -f(0)f(1)1 1x(12 0x)f (x)dx。17.設(shè)f (x)在0, a上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)max0 x af (x).證明：a0 f(x)dxMa22118設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)可導(dǎo)，且f(1)02x2f(x)dx 證明：存在(0,1),使得 2f( ) f ( )019.設(shè)f(x)在a, b上連續(xù)，且f (x) >0,證明方程xa f(

15、t)dtdt只有一根x f(t)20.設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，且在0,1上單調(diào)減少。證明：對任意 x(0,1)，都有21 .求反常積分2(1)1dx(x 1) - x2(2)dx1 x(1 x2)22.te2t d t，求常數(shù)c六、定積分應(yīng)用1設(shè)f（x） t t dt （ x >1）,求y f （x）與x軸所圍成的封閉圖形的面積2.求常數(shù)a , b的值，使直線 y ax b位于曲線y In x的上方（即對一切 x 0, 恒有ax b > In x）,且直線 y ax b, x 1, x 3和曲線 y In x所圍成的平 面圖形的面積最小_2 23 .設(shè)y x , y kx圍成的面積為

16、S , y x , y kx,x 1圍成的面積為S?，求k（0 k 1），使 S S S?最小24試求曲線y 2x x與y 0, y x圍成的圖形的面積，并求該圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)的體積。（必須作圖）5.族拋物線滿足：對稱軸平行于y軸，開口向下，過（0 ,0）和（1,2 ）兩點.請在該族拋物線中求出一條來（即寫出其具體的方程），使它與x圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體體積V為最小七、向量代數(shù)與解析幾何ro潔 tb| 向t.2. 已知空間三點：A(1, 1,2) , B(3,3,1) , C(3,1,3)，求 ABC 的面積.3. 設(shè)c 3a b, d 2a b，且a, b是互相垂直的單位向量，則以

17、c, d為邊的平行四邊 形面積是( )(A) 6(B) 8(C) 5(D)15»I-# II-«!»»4. 設(shè) a10，冋2 , ab12，則 ab ；5平面經(jīng)過兩點 Mi（0,1, 1）與M2（1,1,1），且垂直于平面 x y z 0 ,求該平面的方程。6 平面 Ax By Cz D 0不過原點的充要條件是 ，平行于y軸的充要7求過點（1,1,2）且與直線x y z 0一，一一、 垂直的平面方程.x 2y 3&平面直線y x 8與曲線y22x x的最短距離d9.2 2x y空間曲線x y2x4y 0是圓，該圓的圓心坐標為（10. 一直線通過平面 x y0與直線寧X-3的交點，且與直線2x 2y3x y5z 10平行,0求該直線的方程。條件是，過x軸充要條件是x 2 y 3 011.直線與平面x 2y 4z 17 0的位置關(guān)系是（）y z 5 0（A ）平行（B）垂直（C）斜交（D）直線在平面上12求過點（1,0,4），且平行于平面3x 4y z 10 0，又與直線丄衛(wèi) -相交1 1 2的直線方程.13. 求點（2, 3, 1）在直線 x一7 - -2上的投影點的坐標。123