（7年真題推薦）山東省2007-2013年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 圓錐曲線

1、圓錐曲線（一）選擇題1.（07山東卷(10)設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A） (B)(C) (D)答案：A2.(2009山東卷理)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個(gè)公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為( ).A. B. 5 C. D.【解析】:雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以=,所以,故選D.答案:D.【命題立意】:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個(gè)公共點(diǎn),則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基

2、本技能.3.(2009山東卷文)設(shè)斜率為2的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且和軸交于點(diǎn)A,若OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為( ).A. B. C. D. 【解析】: 拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為,則直線的方程為,它與軸的交點(diǎn)為A,所以O(shè)AF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B.答案:B.【命題立意】:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線的點(diǎn)斜式方程和三角形面積的計(jì)算.考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)的符號(hào)不定而引發(fā)的拋物線開(kāi)口方向的不定以及焦點(diǎn)位置的相應(yīng)變化有兩種情況,這里加絕對(duì)值號(hào)可以做到合二為一.4、（2010山東文數(shù)）（9）已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜

3、率為1的直線交拋物線與、兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為 （A） (B) (C) (D)答案：B5、（2010山東理數(shù)）(7)由曲線y=,y=圍成的封閉圖形面積為（A）(B) (C) (D) 【答案】A【解析】由題意得:所求封閉圖形的面積為,故選A?！久}意圖】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識(shí)，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積。6、（2011山東理數(shù)8）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓C:相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為A B C D答案：A7、（2011山東文數(shù)9）9設(shè)M（，）為拋物線C：上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，

4、則的取值范圍是A（0，2） B0，2 C（2，+） D2，+）答案：C8、(2012山東卷文(11)已知雙曲線：的離心率為2.若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，則拋物線的方程為D (A) (B) (C)(D)9、（2013數(shù)學(xué)理）11已知拋物線：的焦點(diǎn)與雙曲線：的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)。若在點(diǎn)處的切線平行于的一條漸近線，則（A） （B） （C） （D）答案：11D10、（2013山東理）12設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為（A）0 （B）1 （C） （D）3答案：12B 11、（2013山東數(shù)學(xué)文）(11)、拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線交于第一象限的點(diǎn)M，若在點(diǎn)M

5、處的切線平行于的一條漸近線，則=(A) (B) (C) (D) 答案：D12(2013山東數(shù)學(xué)文)(12)、設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為(A)0 (B) (C)2 (D)答案：C（二）填空題1、（07山東理）（13）設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為 答案：2、（2011山東文數(shù)15）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 答案：（三）解答題1、（07山東理）（21）（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓

6、相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， (II)設(shè)，由得，.以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為2、（08山東文）22（本小題滿分14分）已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內(nèi)切圓半徑為記為以曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)是過(guò)橢圓中心的任意弦，是線段的垂直平分線是上異于橢圓中心的點(diǎn)（1）若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是與橢圓的交點(diǎn)，求的面積的最小

7、值解：（）由題意得又，解得，因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）（1）假設(shè)所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)所在直線方程為，解方程組得，所以設(shè)，由題意知，所以，即，因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以直線的方程為，即，因此，又，所以，故又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立綜上所述，的軌跡方程為（2）當(dāng)存在且時(shí)，由（1）得，由解得，所以，解法一：由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為解法二：因?yàn)?，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)面積的最小值是當(dāng)，當(dāng)不存在時(shí)，綜上所述，的面積的最小值為3.（08山東卷22) (本小題滿分14分)如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2p

8、y(p0),M為 直線y=-2p上任意一點(diǎn)，過(guò)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；（）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（）證明：由題意設(shè)由得，則所以因此直線MA的方程為直線MB的方程為所以由、得因此，即所以A、M、B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.（）解：由（）知，當(dāng)x0=2時(shí)， 將其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的兩根，因此又所以由弦長(zhǎng)公式得又，所以p=1或p=2，因此所求拋物

9、線方程為或（）解：設(shè)D(x3,y3)，由題意得C(x1+ x2, y1+ y2), 則CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)直線AB的方程為由點(diǎn)Q在直線AB上，并注意到點(diǎn)也在直線AB上，代入得若D（x3,y3）在拋物線上，則因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）當(dāng)x0=0時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)M(0,-2p)適合題意.（2）當(dāng)，對(duì)于D(0，0)，此時(shí)又ABCD，所以即矛盾.對(duì)于因?yàn)榇藭r(shí)直線CD平行于y軸，又所以直線AB與直線CD不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的M點(diǎn).綜上所述，僅存在一點(diǎn)M(0，-2p)適合題意.4.(2009山東卷理)（本小題滿分14分）設(shè)橢圓E: （a,b>0）過(guò)M（2

10、，） ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，（I）求橢圓E的方程；（II）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。解:（1）因?yàn)闄E圓E: （a,b>0）過(guò)M（2，） ，N(,1)兩點(diǎn),所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)

11、切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.因?yàn)?所以, 當(dāng)時(shí)因?yàn)樗?所以,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),綜上, |AB |的取值范圍為即: 【命題立意】:本題屬于探究是否存在的問(wèn)題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問(wèn)題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.5. (2009山東卷文)（本小題滿分14分）設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.（1）求軌跡E的方程,并說(shuō)明該方程

12、所表示曲線的形狀;（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;(3)已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,當(dāng)R為何值時(shí),|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:（1）因?yàn)?所以, 即.當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓; 當(dāng)時(shí),方程表示的是雙曲線.(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B, 則使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且,

13、即恒成立.所以又因?yàn)橹本€為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為, 所求的圓為.當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本€與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知, 即 ,因?yàn)榕c軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B1,由（2）知得,即有唯一解則=, 即, 由得, 此時(shí)A,B重合為B1(x1,y1)點(diǎn),由 中,所以, B1(x1,y1)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即當(dāng)時(shí)|A1B1|取得最大值,最大值為1

14、.【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過(guò)解方程組法研究有沒(méi)有交點(diǎn)問(wèn)題,有幾個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題.6、（2010山東文數(shù)）（22）（本小題滿分14分）如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn).，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為、.點(diǎn)為直線上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為、和、，為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）設(shè)直線、的斜線分別為、.（i）證明：；（ii）問(wèn)直線上是否存在點(diǎn)，使得直線、的斜率、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.7、（2010山東理數(shù)）（21）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、

15、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?！久}意圖】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其中問(wèn)題

16、（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力， 8、（2011山東理數(shù)22）已知?jiǎng)又本€與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）證明和均為定值;（）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；（）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以因?yàn)樵跈E圓上，因此又因?yàn)樗杂?、得此時(shí) （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為由題意知m，將其代入，得，其中即（*）又所以因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為所以又整理得且符合（*）式，此時(shí)綜上所述，結(jié)

17、論成立。 （II）解法一： （1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知因此 （2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（I）知所以 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值為解法二：因?yàn)?所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。因此 |OM|·|PQ|的最大值為 （III）橢圓C上不存在三點(diǎn)D，E，G，使得證明：假設(shè)存在，由（I）得因此D，E，G只能在這四點(diǎn)中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線中必有一條過(guò)原點(diǎn)，與矛盾，所以橢圓C上不存在滿足條件的三點(diǎn)D，E，G.9、（2011山東文數(shù)22）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓如圖所示，斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為

18、，射線交橢圓于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)（）求的最小值；（）若，（i）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）試問(wèn)點(diǎn)，能否關(guān)于軸對(duì)稱？若能，求出此時(shí)的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由答案：（I）解：設(shè)直線，由題意，由方程組得，由題意，所以設(shè)，由韋達(dá)定理得所以由于E為線段AB的中點(diǎn)，因此此時(shí)所以O(shè)E所在直線方程為又由題設(shè)知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí) 由得因此 當(dāng)時(shí)，取最小值2。 （II）（i）由（I）知OD所在直線的方程為將其代入橢圓C的方程，并由解得又，由距離公式及得由因此，直線的方程為所以，直線（ii）由（i）得若B，G關(guān)于x軸對(duì)稱，則代入即，解得（舍去）或所以k=1，此時(shí)關(guān)于x軸對(duì)稱。又由（I）得所以A（0，1）。由于的外接圓的圓心在