淺談解析幾何綜合題的一些解題技巧 (2)

1、淺談解析幾何綜合題的一些解題技巧解析幾何綜合題體現(xiàn)了解析幾何在數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，展示了解析幾何在計算方法上的特點和技巧，表現(xiàn)出辯證思維的豐富內(nèi)涵。這部分試題重在考查圓錐曲線中的基本知識和基本方法，同時也有一定的綜合性和靈活性，一般是以圓錐曲線中有關(guān)的知識和方法為主線，結(jié)合解析幾何中其它部分的知識：平面幾何及平面向量、函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等有關(guān)知識和方法的綜合問題.所涉及到的知識點較多，對解題能力考查的層次要求較高，考生在解答時，常常表現(xiàn)為無從下手，或者半途而廢。例如：（1）與向量的綜合：（2010福建理7）若點O和點 分別是雙曲線 的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意

2、一點,則 的取值范圍為 ( ) A B C D （2）與數(shù)列的綜合：（2010年寧夏、海南、黑龍江、吉林第20題）.設(shè) 分別是橢圓 的左右焦點，過 斜率為1的直線 與E相交于A、B兩點，且 成等差數(shù)列。（1）求E的離心率；（2）設(shè)點 滿足 ，求E的方程。 二、方法解析幾何以坐標法為基礎(chǔ)，建立用代數(shù)方法研究幾何問題的知識體系，各種數(shù)學(xué)思想和方法在解析幾何中都有集中和深刻的體現(xiàn)，因而解題時就需要運用多種知識、采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。如：緊扣定義，靈活解題；巧用相關(guān)量，設(shè)而不求；引入?yún)?shù)，整體代入；數(shù)形結(jié)合，直觀顯示；適

3、時應(yīng)用“平幾”知識，簡化運算；結(jié)合平面向量，優(yōu)化解題思路等。 1. 判別式案例1: 已知雙曲線 ，直線 過點 ，斜率為 ，當 時雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線 的距離為 ，試求 的值及此時點B的坐標。分析：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線 的距離為 ”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路: 2. 韋達定理案例2:已知橢圓C: 和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使 ，求動點Q的軌跡所在曲線的方程. 分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可

4、以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的. 點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道. 3.求根公式 案例3:設(shè)直線 過點P（0，3），和橢圓 順次交于A、B兩點，試求 的取值范圍. 分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到： = ，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量

5、關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程），這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系. 點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法. 4.設(shè)而不求案例4: 如圖，已知梯形ABCD中 ，點E分有向線段 所成的比為 ，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當 時，求雙曲線離心率 的取值范圍. 分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標系 ，如圖，若設(shè)C ，代入 ，求得 ，進而求得 再代入 ，建立目標函數(shù) ，整理 ，此運算量可見是難上加難.我們對 可采取設(shè)而不求的解題策略, 建立目標函數(shù) ，整理 ,化繁為簡. 在當前的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師過于強調(diào)概念、定理和公式的死記硬背，忽視對知識形成或背景的理解；重視對數(shù)學(xué)內(nèi)容的講解，忽視數(shù)學(xué)思想方法的概括提高；當然本文只是羅列了解析幾何解題方法中的一部分，僅供參考。解題猶