材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型

1、第3章 材料科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)模型現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展的一個(gè)重要特征是各門科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)的結(jié)合越來越緊密。數(shù)學(xué)的應(yīng)用使科學(xué)技術(shù)日益精確化、定量化，科學(xué)的數(shù)學(xué)化已成為當(dāng)代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要趨勢。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)科學(xué)連接其他非數(shù)學(xué)學(xué)科的中介和橋梁，它從定量的角度對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，是對實(shí)際問題進(jìn)行理論分析和科學(xué)研究的有力工具。數(shù)學(xué)建模是一種具有創(chuàng)新性的科學(xué)方法，它將現(xiàn)實(shí)問題簡化，抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型，然后采用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求解，進(jìn)而對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行定量分析和研究，最終達(dá)到解決實(shí)際問題的目的。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)模型的建立和求解提供了新的舞臺(tái)，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)向其他技術(shù)科學(xué)的滲透。材料科學(xué)作為2

2、1世紀(jì)的重要基礎(chǔ)科學(xué)之一，同樣離不開數(shù)學(xué)。通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型對實(shí)際問題進(jìn)行研究，已成為材料科學(xué)研究和應(yīng)用的重要手段之一。從材料的合成、加工、性能表征到材料的應(yīng)用都可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。有關(guān)材料科學(xué)的許多研究論文都涉及到了數(shù)學(xué)模型的建立和求解，甚至產(chǎn)生了一門新的邊緣學(xué)科計(jì)算材料學(xué)（Computational Materials Science），正是這些數(shù)學(xué)手段才使材料研究脫離了原來的試錯(cuò)法（Trial or Error）研究，真正成為一門科學(xué)。本章將介紹數(shù)學(xué)模型的基本概念，建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟、原則和方法，同時(shí)給出一些與材料科學(xué)有關(guān)的具體建模實(shí)例。§31 數(shù)學(xué)模型及建?；A(chǔ)3

3、11 基本概念科學(xué)研究及其發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)又以數(shù)學(xué)表達(dá)式、曲線、圖形及數(shù)字的形式展現(xiàn)的，其中，數(shù)學(xué)表達(dá)式（或模型）在其中又起著非常重要的作用。無論是自然科學(xué)還是社會(huì)科學(xué)的研究都離不開數(shù)學(xué)模型。對于大多數(shù)專業(yè)人員來說，以前雖然沒有將如何建立數(shù)學(xué)模型作為一門課程學(xué)習(xí)過，但實(shí)際上，在學(xué)習(xí)過的其他課程中已經(jīng)多次接觸到了數(shù)學(xué)模型的建立。在物理學(xué)中，最典型的莫過于力學(xué)中的牛頓三定律、物理化學(xué)中的熱力學(xué)定律、電子學(xué)中反映電路理論基本規(guī)律的基爾霍夫定律，這些基本定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式都是最精美的數(shù)學(xué)模型。此外，在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也存在著大量的數(shù)學(xué)模型，如馬爾薩斯的人口模型、馬克思的描述再生產(chǎn)基本規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

4、。這些反應(yīng)某一類現(xiàn)象客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，就是這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。那么，怎樣給數(shù)學(xué)模型下一個(gè)定義呢？簡單地說：數(shù)學(xué)模型就是對實(shí)際問題的一種數(shù)學(xué)表述。具體一點(diǎn)說：數(shù)學(xué)模型就是關(guān)于以部分現(xiàn)實(shí)世界為某種目的的一個(gè)抽象的簡化的表征。更確切地說：數(shù)學(xué)模型就是對于一個(gè)特定的對象為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過邏輯推理，做出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)表征。這種數(shù)學(xué)表征可以是數(shù)學(xué)公式、算法、表格、圖示等。一個(gè)數(shù)學(xué)建模就是某事物規(guī)律的一種表現(xiàn)，建立數(shù)學(xué)模型的過程就是數(shù)學(xué)建模的過程，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型就是對某事物的一個(gè)數(shù)學(xué)模擬過程。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方

5、法，通過抽象、簡化建立能近似刻劃（刻畫）并"解決"實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。在科學(xué)研究中，通常把客觀存在的事物及其運(yùn)動(dòng)形態(tài)統(tǒng)稱為實(shí)體，而所建立的數(shù)學(xué)模型則是對所研究的實(shí)體的特征及其變化規(guī)律的一種表示或抽象。不過，這個(gè)數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)語言對某種事物系統(tǒng)的特征和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行了表達(dá)。數(shù)學(xué)模型有廣義理解和狹義理解。按廣義理解：凡是以相應(yīng)的客觀原型（即實(shí)體）作為背景加以一級抽象或多級抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)理論等都叫做數(shù)學(xué)模型。按狹義理解：那些反映特定問題或特定事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)就叫做數(shù)學(xué)模型。在應(yīng)用數(shù)學(xué)中所指的數(shù)學(xué)模型，通常是按狹義理解的，而且構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的目的

6、僅在于解決具體的實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型是為一定的目的對客觀實(shí)際所作的一種抽象模擬，它用數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)符號、程序、圖表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，是對現(xiàn)實(shí)世界的抽象、簡化而又本質(zhì)的描述。它源于實(shí)踐，卻不是原型的簡單復(fù)制，而是一種更高層次的抽象。它能夠解釋特定事物的各種顯示形態(tài)，或者預(yù)測它將來的形態(tài)，或者能為控制某一事物的發(fā)展提供最優(yōu)化策略，它的最終目標(biāo)是解決實(shí)際問題。312 數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式視對實(shí)體的描述而不同，因此，它的類型也較多。一般來說其分類方法有：1）按照人們對實(shí)體的認(rèn)識過程來分，數(shù)學(xué)模型可以分為描述性數(shù)學(xué)模型和解釋性數(shù)學(xué)模型。描述性模型是從特殊到一般，從分析具體客觀

7、規(guī)律及其狀態(tài)開始，最終得到一個(gè)數(shù)學(xué)模型?？陀^事物之間量的關(guān)系通過數(shù)學(xué)模型被概括在一個(gè)具體的抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之中。解釋性模型是由一般到特殊，從一般的公理系統(tǒng)出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)殼體，對公理系統(tǒng)給出正確解釋。2）按照建立模型的數(shù)學(xué)方法分，可以分為初等模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、微分方程模型、最優(yōu)控制模型、隨機(jī)模型、模擬模型等。初等模型指采用簡單而且初等的方法建立問題的數(shù)學(xué)模型，該模型容易被更多的人理解接受和采用。該模型包括代數(shù)法建模、圖解法建模等。圖論模型指的是根據(jù)圖論的方法，通過由點(diǎn)和線組成的圖形為任何一個(gè)包含了某中二元關(guān)系的系統(tǒng)，提供一個(gè)數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)圖的性質(zhì)進(jìn)行分析。如物質(zhì)結(jié)構(gòu)都可用點(diǎn)和線連接起

8、來的圖來模擬，有機(jī)化合物的分子結(jié)構(gòu)、同分異構(gòu)體的計(jì)算問題均可用圖論中的樹來研究。微分方程模型指的是在所研究的對象或過程中取一局部或一瞬間，然后找出有關(guān)變量和未知變量的微分（或差分）之間的關(guān)系式，從而獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。微分方程模型在材料研究中應(yīng)用很廣泛，如材料燒結(jié)中的分子擴(kuò)散問題、材料傳熱學(xué)中的熱量傳遞問題、材料電子顯微分析中的衍射運(yùn)動(dòng)學(xué)、衍射動(dòng)力學(xué)理論等。隨機(jī)模型是根據(jù)概率論的方法討論描述隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。例如描述炮彈的運(yùn)動(dòng)軌跡和著彈點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型、描述高分子材料鏈?zhǔn)交瘜W(xué)反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、多晶材料晶粒生長模擬中基于Monte Carlo方法的Ising、Q-State Potts等模型。模擬模

9、型是用其他現(xiàn)象或過程來描述所研究的現(xiàn)象或過程，用模型的性質(zhì)來代表原來的性質(zhì)。例如可用電流模擬熱流或流體的流動(dòng)，用流體系統(tǒng)模擬車流等。在材料科學(xué)中的應(yīng)用如采用非牛頓流體力學(xué)和流變學(xué)來來描述高聚物加工過程、建立液晶高分子材料本構(gòu)方程以及陶瓷注漿成形流動(dòng)情況。已發(fā)展的有液晶高分子流體B模型、涉及聚合物熔體流動(dòng)不穩(wěn)定性（例如高聚物熔體由噴絲孔擠出時(shí)產(chǎn)生的共振、擠出物表面畸變、薄膜吹塑中產(chǎn)生的不穩(wěn)定膜泡等現(xiàn)象）的擾動(dòng)本構(gòu)理論模型。3）按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域分，可以分為如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、水資源模型、再生資源利用模型、電氣系統(tǒng)模型、傳染病模型和污染模型。4）按照模型的特征分，可以分為靜態(tài)

10、模型和動(dòng)態(tài)模型、確定性模型和隨機(jī)模型、離散模型和連續(xù)性模型、線性模型和非線性模型等。在許多系統(tǒng)中，由于受到一些復(fù)雜而尚未完全搞清楚的因素的影響，使得系統(tǒng)在確定的輸入時(shí)，得到的輸出是不確定的，該系統(tǒng)稱為隨機(jī)系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型為隨機(jī)模型。反之，系統(tǒng)有確定的輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出也是確定的，這樣的系統(tǒng)稱為確定系統(tǒng)，它的數(shù)學(xué)模型稱為確定性模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是連續(xù)變量，則稱其為連續(xù)系統(tǒng)，它們的數(shù)學(xué)模型為連續(xù)性數(shù)學(xué)模型。如果系統(tǒng)的有關(guān)變量是離散變量，則稱該系統(tǒng)為離散系統(tǒng)，其模型為離散模型。離散系統(tǒng)及離散模型描述了客觀世界中很廣泛的一類系統(tǒng)。由于計(jì)算機(jī)只能對離散數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算，所以，離散模型在應(yīng)用上非常重要

11、，連續(xù)性模型有時(shí)候也要轉(zhuǎn)化成離散模型。當(dāng)采用有限單元法和有限差分法研究材料某些性質(zhì)時(shí)（比如材料的穩(wěn)、瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問題），連續(xù)性模型要被轉(zhuǎn)化成離散模型。如果系統(tǒng)輸入和輸出呈線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型成為線性模型。與之相反，如果系統(tǒng)輸入與輸出呈非線性關(guān)系，則該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型稱為非線性模型。5）按照對模型結(jié)構(gòu)了解的程度可以分為白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。它們分別代表人們對原型的內(nèi)在機(jī)理了解得清楚、不太清楚和不清楚。313 數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型進(jìn)行抽象和簡化，便于人們以用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)模型在

12、科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測（科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測是否是一個(gè)意思？）、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕馭市場經(jīng)濟(jì)乃至個(gè)人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。一門學(xué)科精密化和科學(xué)化的重要表現(xiàn)之一便是能夠采用精密的數(shù)學(xué)語言來分析和描述。材料科學(xué)從最早的試錯(cuò)法的手工操作成為當(dāng)代重要的科學(xué)支柱，數(shù)學(xué)的應(yīng)用起著非常重要的作用。利用數(shù)學(xué)這一有效的工具，可以深刻認(rèn)識客觀現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展。在材料研究和應(yīng)用中，要對有關(guān)問題進(jìn)行計(jì)算，就必須先建立該問題的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透。在材料材料工程領(lǐng)域，實(shí)驗(yàn)是非常重要的手段，但現(xiàn)在認(rèn)為

13、，除了實(shí)驗(yàn)方法之外，數(shù)學(xué)模型是與起同樣重要的餓（數(shù)學(xué)模型也起著同樣重要的作用），甚至是更好的一種方法。從材料設(shè)計(jì)上來看，要進(jìn)行理論設(shè)計(jì)首先要建立正確的數(shù)學(xué)模型，這樣才能設(shè)計(jì)出具有優(yōu)良性能、工藝可行的材料。在生產(chǎn)過程中，為了分析和改進(jìn)生產(chǎn)中出現(xiàn)的問題，先建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，然后在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行模擬計(jì)算來代替實(shí)驗(yàn)，可以節(jié)約人力、物力和財(cái)力，還可以避免發(fā)生故障或危險(xiǎn)，甚至完成實(shí)驗(yàn)不可能完成的任務(wù)。§32 數(shù)學(xué)建模型的一般步驟和原則數(shù)學(xué)模型的建立，簡稱數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模（mathematical modeling）是構(gòu)造刻畫客觀事物原型的數(shù)學(xué)模型，并用以分析、研究和解決實(shí)際問題的一種科學(xué)方法。

14、運(yùn)用這種科學(xué)方法，必須從實(shí)際問題出發(fā)，緊緊圍繞著建模的目的，運(yùn)用觀察力、想象力和邏輯思維，對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，反復(fù)探索、逐步完善，直到構(gòu)造出一個(gè)能夠反映實(shí)際問題規(guī)律并被用于分析、研究和解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。因此，數(shù)學(xué)建模不僅是一種定量解決實(shí)際問題的科學(xué)方法，而且還是一種從無到有對事物重新認(rèn)識的一個(gè)創(chuàng)新活動(dòng)過程。數(shù)學(xué)建模沒有固定的模式。但按照模型建立的過程，一般有如下基本步驟：321 數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備，就是確立建模課題，了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的的過程。實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模是一項(xiàng)創(chuàng)新活動(dòng)，它所面臨的問題是人們在生產(chǎn)和科研活動(dòng)中為了使認(rèn)識和實(shí)踐進(jìn)一步統(tǒng)一而必須解決的問題。

15、找到了需要解決的實(shí)際問題，如果這些實(shí)際問題需要給出定量的分析和解答，那么就可以把這些實(shí)際問題確立為數(shù)學(xué)建模的課題。在數(shù)學(xué)建模的準(zhǔn)備過程中，作為建模人員，應(yīng)該深入生產(chǎn)和科研實(shí)際以及社會(huì)生活實(shí)際，掌握與課題有關(guān)的第一手資料，匯集可能有關(guān)的信息和數(shù)據(jù)，弄清問題的實(shí)際背景和建模的目的，這樣才能進(jìn)行建模籌劃。322 數(shù)學(xué)建模的假設(shè)作為課題的原型往往都是具體的、復(fù)雜的。這樣的原型，如果不經(jīng)過適當(dāng)?shù)某橄蠛秃喕藗儗ζ湔J(rèn)識和歸納往往是困難的，也無法準(zhǔn)確把握它的本質(zhì)屬性。建模假設(shè)就是根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?、抽象，把那些反映問題本質(zhì)屬性的形態(tài)、量及其關(guān)系抽象出來，簡化掉那些非本質(zhì)的因素、使之?dāng)[脫原來

16、的具體復(fù)雜形態(tài)，形成對建模有用的信息資源和前提條件。這是建模最關(guān)鍵的一步。對原型的抽象、簡化不是無條件的，必須按照假設(shè)的合理性原則進(jìn)行。假設(shè)的不合理或太簡單，會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失??；假設(shè)的過于詳細(xì)或考慮因素過多，會(huì)使模型太復(fù)雜而且會(huì)降低模型的通用性。假設(shè)合理性的原則有：（1）目的性原則 堅(jiān)持從原型中抽象出與建模目的有關(guān)的因素，簡化那些與建模目的無關(guān)的或關(guān)系不大的因素的原則，明確建模過程中各因素間的關(guān)系。（2）簡明性原則 在建模過程中，所給出的假設(shè)條件要簡單、準(zhǔn)確，主次明了，有利于構(gòu)造模型。（3）最小誤差性原則 假設(shè)要科學(xué)，簡化帶來的誤差應(yīng)滿足實(shí)際問題所能允許的誤差范圍。（4）全面性原則 對

17、事物原型本身做出假設(shè)的同時(shí)，還要給出原型所處的環(huán)境條件，使模盡量能反映原型。323 構(gòu)造模型在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的內(nèi)容，首先區(qū)分哪些是常量、哪些是變量，哪些是已知的量、哪些是未知的量，然后查明各種量所處的地位、作用和它們之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征，構(gòu)造出反映實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。在構(gòu)造模型時(shí)究竟采用什么數(shù)學(xué)工具，要根據(jù)問題的特征、建模的目的要求及建模人的數(shù)學(xué)特長而定。可以說，數(shù)學(xué)的任一分支在構(gòu)造模型時(shí)都可能用到，而同一實(shí)際問題也可以構(gòu)造出不同的數(shù)學(xué)模型。一般地，在能夠達(dá)到預(yù)期目的的前提下，所用的數(shù)學(xué)工具越簡單越好。324 模型求解建立好數(shù)學(xué)模型之

18、后，首先要根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析所建模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解該模型的數(shù)學(xué)方法和算法，對其進(jìn)行求解，或編寫計(jì)算機(jī)程序或運(yùn)用與算法相適應(yīng)的軟件包，并借助計(jì)算機(jī)完成對模型的求解。所建模型應(yīng)該是能進(jìn)行求解運(yùn)算的，一個(gè)不能進(jìn)行求解運(yùn)算的模型是沒有用的模式型。325 模型分析根據(jù)建模的目的和要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性的分析（指分析的結(jié)果重復(fù)獲得的可能性），或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等。通過分析，如果不符合要求，就進(jìn)行修改或增減建模假設(shè)條件，重新建模，直到符合要求。如果通過分析符合要求，還可以對模型進(jìn)行評價(jià)、預(yù)測、優(yōu)化等方面的分析和探討。326 模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

19、分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中去對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合客觀實(shí)際，若不符合，還要修改或增減建模的假設(shè)條件，重新建模。循環(huán)往復(fù)，不斷完善，直到使其符合實(shí)際規(guī)律而獲得滿意的結(jié)果。目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，已為模型的分析、模型的檢驗(yàn)等提供了先進(jìn)的手段，充分利用這一手段，可以節(jié)約大量的時(shí)間、人力和經(jīng)費(fèi)。327 模型的應(yīng)用模型的應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，也是對模型最客觀、最公正的檢驗(yàn)。一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，必須根據(jù)建模的目的，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用，讓其對事物規(guī)律進(jìn)行很好的反映，使人們用它對事物發(fā)展進(jìn)行預(yù)測，為人們改造自然、創(chuàng)造未來服務(wù)。以上介紹的數(shù)學(xué)

20、建?；静襟E只是一般遵循的原則。在具體的數(shù)學(xué)建模過程中，應(yīng)該視具體問題靈活應(yīng)用，或交叉進(jìn)行，或平行進(jìn)行，不必拘泥于一種模式，這樣才能最大限度地發(fā)揮建模者的主觀能動(dòng)性和聰明才智。例31 以無機(jī)材料固態(tài)燒結(jié)初期的燒結(jié)動(dòng)力學(xué)模型為例探討一下建模過程。（1）建模準(zhǔn)備 燒結(jié)是無機(jī)材料制品制作的一個(gè)必須的過程，其燒結(jié)速度的快慢、時(shí)間的長短、直接影響著制品加工的效率和效益。眾所周知，無機(jī)材料如水泥、陶瓷、耐火材料等都是由固體顆粒料組成，這些顆粒料由于大小不一、形狀不一、堆積緊密程度不一，且它們的物理化學(xué)性質(zhì)也不同，研究起來相當(dāng)復(fù)雜。但對于這些固體顆粒料我們根據(jù)加工設(shè)備的特性，可以將其視做球體形狀來處理，這樣

21、抽象簡化后問題就相對簡單了，如果再將其燒成簡單的看成為雙球粘結(jié)在一起的話，那么這雙球模型還便于測定原子的遷移量，從而更易定量地掌握燒結(jié)過程并為進(jìn)一步研究物質(zhì)遷移的各種機(jī)理奠定基礎(chǔ)。因此，GCKuczynski提出粉末壓塊是由等徑球體作為模型。隨著燒結(jié)的進(jìn)行，各接觸點(diǎn)處開始形成頸部，并逐漸擴(kuò)大，最后燒結(jié)成一個(gè)整體。由于各頸部所處的環(huán)境和幾何條件相同，所以，只需確定二個(gè)顆粒形成的頸部的成長速率就基本代表了整個(gè)燒結(jié)初期的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。（2）建模假設(shè)和構(gòu)造模型 一般來說，無機(jī)材料粉料在燒結(jié)時(shí)，由于傳質(zhì)機(jī)理各異而引起頸部增長的方式不同，因此，在假設(shè)的球體模型下，還要進(jìn)一步的進(jìn)行修改假設(shè)，即雙球模型的中心距

22、可能有二種情況出現(xiàn)：一種中心距不變?nèi)鐖D31(A)；另一種中心距縮短如圖31(B)。圖3-1燒結(jié)模型 （上圖標(biāo)號A，B，C，于下面的小寫不對應(yīng)）由圖31所示的模型可以列出由簡單幾何關(guān)系計(jì)算得到的兩球形接觸的頸部曲率半徑r，頸部體積v，頸部表面積A與顆粒半徑r和接觸頸部半徑x之間的關(guān)系(假設(shè)燒結(jié)初期r變化很小，x。當(dāng)固態(tài)燒結(jié)的主要傳質(zhì)方式為蒸發(fā)凝聚時(shí)，且燒結(jié)體處于燒結(jié)初期時(shí)，在高溫下，燒結(jié)過程僅僅在高溫下蒸氣壓較大的系統(tǒng)內(nèi)進(jìn)行，如氧化鉛、氧化鋅和氧化鐵的燒結(jié)。由于表面曲率不同，必然在系統(tǒng)的不同部位有不同的蒸氣壓，于是主要通過氣相傳質(zhì)，如圖32簡化模型所示： 圖3-2蒸發(fā)-凝聚傳質(zhì)模型在這個(gè)簡化模型

23、下，由于在球形顆粒表面有正曲率半徑，而在兩個(gè)顆粒觸接處有一個(gè)小的負(fù)曲率半徑的頸部，兩處的粉體顆粒表就存在不同的蒸發(fā)蒸氣壓，物質(zhì)將從蒸氣高的凸的表面蒸發(fā)通過氣相傳遞而凝聚到低壓凹形頸部處，從而使頸部逐漸被填充。這兩處的蒸氣壓差可用開爾文公式(31)表示， （31）式中： P1曲率半徑為處的蒸氣壓；P2球形顆粒表面蒸氣壓；r表面張力；d密度。（3）模型分析和求解 對(31)式進(jìn)行分析，由于凸凹兩處的物質(zhì)蒸氣壓力差P1一P2是很小的，由高等數(shù)學(xué)可知，當(dāng)x 充分小時(shí)，ln(1+x)x。所以lnPlP2ln(1+pP2)PP2，又由于x>>，所以(31)式又可寫作： PM PodRT (32

24、)式中: P為負(fù)曲率半徑頸部和接近于平面的顆粒表面上的飽和蒸氣壓之間的壓差。由于從凸表面蒸發(fā)的氣體在壓P的作用下，向凹凝聚，根據(jù)氣體分子運(yùn)動(dòng)論可以推出物質(zhì)在單位面積上凝聚速率正比于平衡氣壓和大氣壓差的朗格繆爾(Langmuir)公式： （33）式中: Um為凝聚速率，每秒每平方厘米上凝聚的克數(shù)，g/cm2.s；a為調(diào)節(jié)系數(shù)，其值接近于1； P 為凹面與平面之間蒸氣壓差。 這樣在兩個(gè)顆粒的接觸頸部，由于氣相的凝聚使其體積增長。當(dāng)凝聚速率等于頸部體積增加時(shí)即有： (34)根據(jù)燒結(jié)模型公式(31a)中，相應(yīng)的頸部曲率半徑、頸部表面積A和體積V代人(34)式，并將(33)式代人(34)得： （35）將

25、(35)式移項(xiàng)并積分，可以得到球形顆粒接觸面積頸部生長速率關(guān)系式： （36） 此方程得出了頸部半徑(x)和影響生長速率的其它變量(r，P。，t)之間的相互關(guān)系。（4）模型檢驗(yàn) (36)式反映了蒸發(fā)凝聚傳質(zhì)機(jī)理下，固相燒結(jié)初期兩相接觸的顆粒頸部半徑(x)和影響生長速率的其它變量(r，P，t)之間的相互關(guān)系。產(chǎn)生的原因是顆粒曲率半徑和接觸點(diǎn)處的曲率半徑的差別以及滿足顆 粒足夠小的條件(顆粒足夠小時(shí)壓差才顯著)。同時(shí)也反映了顆粒曲率半徑與相對蒸氣壓差的定量關(guān)系。從幾種材料的曲率半徑、蒸氣壓差關(guān)系表31中看出只有當(dāng)顆粒半徑在l0m以下，蒸氣壓差才較明顯地表現(xiàn)出來。而約在5m以下時(shí)，由曲率半徑差異而引起

26、的壓差已十分顯著，因此一般粉末燒結(jié)過程較合適的粒度至少為10m。根據(jù)（36）式，肯格雷(Kingery)等曾以氯化鈉球進(jìn)行燒結(jié)試驗(yàn)（氯化鈉在燒結(jié)溫度下有頗高的蒸氣壓）。實(shí)驗(yàn)證明(98)式是正確的。(5）模型應(yīng)用 從(36)方程可見，接觸頸部的生長x/r隨時(shí)間(t)的13次方而變化。在燒結(jié)初期可以觀察到這樣的速率規(guī)律。而且只在開始時(shí)比較顯著，隨著燒結(jié)的進(jìn)行，頸部增長很快就停止了。因此對這類傳質(zhì)過程用延長燒結(jié)時(shí)間不能達(dá)到促進(jìn)燒結(jié)的效果。以上這就是以蒸發(fā)凝聚機(jī)理為主的燒結(jié)初期的燒結(jié)動(dòng)力學(xué)模型的建立過程。§33 常用的數(shù)學(xué)建模方法331 理論分析法理論分析法是指應(yīng)用自然科學(xué)中的定理和定律，對

27、被研究系統(tǒng)的有關(guān)因素進(jìn)行分析、演繹、歸納，從而建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。理論分析法是人們在一切科學(xué)研究中廣泛使用的方法。在工藝比較成熟、對機(jī)理比較了解時(shí)，可采用此法。根據(jù)問題的性質(zhì)可直接建立模型。第二節(jié)建模步驟中所舉之例就是這種建模方法。例32 以穩(wěn)定態(tài)一元流(管流)動(dòng)量方程的建立為例說明之圖33推導(dǎo)穩(wěn)定態(tài)管流動(dòng)量方程示意圖如圖33所示的穩(wěn)定態(tài)管流，以入口斷面Fl、出口斷面F2及管壁內(nèi)表面為控制面，將此控制體作為研究體系，流體流經(jīng)此控制體，作用在此系統(tǒng)的外力代數(shù)和為F。則根據(jù)牛頓第二定律：作于控制體的外力總和應(yīng)等于該系統(tǒng)氣體動(dòng)量的增量。用數(shù)學(xué)表達(dá)為：（3-7） 式中：為氣體的平均動(dòng)量修正系數(shù)。在實(shí)際

28、工程中，絕大多數(shù)氣體流動(dòng)屬湍流態(tài)，且根據(jù)實(shí)驗(yàn)規(guī)律可知101102，故可認(rèn)為121；當(dāng)流動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定時(shí)，可將流入流出控制體的質(zhì)量流量視作，故式(37)就可寫為： （38）式中： 管內(nèi)氣體的質(zhì)量流量，kgs； 、管道出口斷面及入口斷面上氣體的平均流速，ms； 式(38)稱為穩(wěn)定態(tài)管流動(dòng)量方程。若合外力F0，則有： (39) 式（3-9）說明作用于系統(tǒng)的合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)量是守恒的，故上式稱為動(dòng)量守恒原理。 在這個(gè)動(dòng)量方程的分析建模過程中，根據(jù)所研究的對象應(yīng)用了人們所熟悉的力學(xué)定律牛頓第二定律，并應(yīng)用了質(zhì)量守恒定律，同時(shí)只考慮了對流體的不同狀態(tài)使用時(shí)可以不考慮界區(qū)（？）中進(jìn)行的過程，只根據(jù)界面上的

29、氣體參數(shù)進(jìn)行流動(dòng)計(jì)算，但當(dāng)氣體密度變化時(shí)(12)，由能量方程不能決定體系進(jìn)出口的壓力差，只能計(jì)算壓力能的差，所以在并聯(lián)管排氣體動(dòng)力平衡計(jì)算中，不能使用能量方程而只能應(yīng)用動(dòng)量方程，它可以直接計(jì)算出壓力差(P2一P1)，這在管簇氣體動(dòng)力計(jì)算中是很方便的。 經(jīng)過上述方法所建立起來的動(dòng)量方程是噴射器和噴射式煤氣燒嘴工作的理論基礎(chǔ)。332 模擬方法當(dāng)模型的結(jié)構(gòu)及性質(zhì)已經(jīng)了解，但其數(shù)量描述及求解卻相當(dāng)麻煩時(shí)，這時(shí)一般采用模擬的方法進(jìn)行對研究的對象進(jìn)行研究。也就是：如果有另一種系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與其構(gòu)造出的模型和所研究的系統(tǒng)類似，則就可以用后一種模型來模擬原來模型，去分析或?qū)嶒?yàn)并求得其結(jié)果。例如，研究鋼鐵材

30、料中裂紋在外載荷作用下尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布，可以通過彈塑性力學(xué)及斷裂力學(xué)知識進(jìn)行分析計(jì)算，但求解非常麻煩。此時(shí)可以借助實(shí)驗(yàn)光測（？）力學(xué)的手段來完成分析。首先，根據(jù)一定比例，采用模具將環(huán)氧樹脂制備成具有同樣結(jié)構(gòu)的模型，并根據(jù)鋼鐵材料中裂紋形式在環(huán)氧樹脂模型加工出裂紋；隨后，將環(huán)氧樹脂放在恒溫箱內(nèi)，對環(huán)氧樹脂模型在凍結(jié)溫度下加載，并在載荷不變的條件下緩緩冷卻到室溫卸載；將已凍結(jié)應(yīng)力的環(huán)氧樹脂模型在平面偏振光場或圓偏振光場下觀察，環(huán)氧樹脂模型中將出現(xiàn)一定分布的條紋，這些條紋反映了模型在受載時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變情況，用照相法將條紋記錄下來并確定條紋級數(shù)，在（再）根據(jù)條紋級數(shù)計(jì)算應(yīng)力；最后，根據(jù)相似原理、材

31、料等因素確定一定的比例系數(shù)，將計(jì)算出的應(yīng)力換算成鋼鐵材料中的應(yīng)力，從而獲得了裂紋尖端的應(yīng)力、應(yīng)變分布。以上是用實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠砟M理論模型，分析時(shí)也可用相對簡單理論模型來模擬、分析較復(fù)雜理論模型，或用可求解的理論模型來分析尚不可求解的理論模型。例如，在研究材料相變的微觀理論中，統(tǒng)計(jì)理論是發(fā)展最早而且最為成熟的一個(gè)領(lǐng)域。20世紀(jì)20年代W.Lenz與E.Ising提出了一種用以解釋鐵磁相變的簡化統(tǒng)計(jì)模型，稱為Ising模型。多年來Ising模型的研究一直是相變統(tǒng)計(jì)理論的核心問題。下面介紹這種模型。例33：設(shè)有一晶體點(diǎn)陣，它的i個(gè)格點(diǎn)上的粒子的狀態(tài)可以用一自旋完全表征出來。為了最簡單地研究這一問題，作如

32、下假設(shè)：自旋僅可能采用兩種狀態(tài)向上和向下，可分別以=+1及=-1表示之；僅在最近鄰間存在有相互作用；在任何狀態(tài)下系統(tǒng)的勢能可以由最近鄰對的相互作用能相加而得到。顯然，由于自旋間相互作用能的存在將使自旋傾向于在點(diǎn)陣中規(guī)則排列。而在一定溫度下，所存在的熱運(yùn)動(dòng)又使自旋處于混亂狀態(tài)。因而在某一溫度以下，點(diǎn)陣中的自旋將有可能按一定方式規(guī)則排列，從而具有鐵磁性或反鐵磁性，也發(fā)生了自旋取向的有序化。這取決于自旋平行和反平行中哪一種排列的能量比較低。如果能求出該模型的配分函數(shù)，則該模型的一切熱力學(xué)函數(shù)都能獲得。1）一維Ising模型是最簡單的情況，自旋在一線性鏈上分布。其配分函數(shù)為 （3-10）其中， （3-

33、11）式中：是單個(gè)自旋的磁距；為玻爾茲曼常數(shù)；N為自旋個(gè)數(shù)；為同一列內(nèi)兩相鄰自旋間的相互作用能；為溫度。2）對于自旋在二維空間中排列的二維Ising模型，計(jì)算很復(fù)雜，配分函數(shù)的嚴(yán)格解如下： （3-12）其中 （3-13）上述兩種情況下，系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度平均值可根據(jù)嚴(yán)格的配分函數(shù)得出。3）對于自旋在三維空間中排列的三維Ising模型，計(jì)算極復(fù)雜，目前尚未求出其配分函數(shù)的嚴(yán)格解。系統(tǒng)的磁化強(qiáng)度平均值無法根據(jù)配分函數(shù)獲得，但可采用別的模型來模擬求出，比如采用Bethe近似模型。Bethe設(shè)計(jì)了一種就近似方法以計(jì)算三維立方點(diǎn)陣有序-無序相變，稱為Bethe近似。在該近似中，Bethe以一種特殊方式排列成

34、點(diǎn)陣的Ising模型，從而使其成為嚴(yán)格可解的。它的一種特殊情形為Bethe近似的結(jié)果。過程如下：構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)陣時(shí)，從一個(gè)中心點(diǎn)O開始，加q個(gè)等價(jià)的點(diǎn)作為它的第一殼層（第一近鄰）。然后對第一殼層上每一個(gè)點(diǎn)作q-1個(gè)等價(jià)的新的點(diǎn)作為它的近鄰，構(gòu)成了O點(diǎn)的第二殼層。這樣得到了如圖3-4所示形狀的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)不包含有回路，它被稱為Cayley樹。第r殼層上的質(zhì)點(diǎn)數(shù)是圖34q=4的cayley樹 （3-14）而所有n個(gè)殼層上的總質(zhì)點(diǎn)數(shù)為 （3-15）稱最外層的第n殼層為邊界殼層。若不考慮邊界殼層，則可以視其為配位數(shù)為q的規(guī)則點(diǎn)陣。僅考慮此圖形很深的內(nèi)部的局部區(qū)域，這些位置可以認(rèn)為是等價(jià)的，從而構(gòu)成了Be

35、the點(diǎn)陣?？紤]在此點(diǎn)陣上的Ising模型，忽略邊界上的自旋對配分函數(shù)的貢獻(xiàn)。計(jì)算Bethe點(diǎn)陣上的Ising模型的配分函數(shù) （3-16）其中，為歸一化的幾率分布。顯然，第一項(xiàng)是關(guān)于Bethe點(diǎn)陣中所有的“樹干”求和，第二項(xiàng)是關(guān)于所有的位置求和。若中心位置O的自旋為，則局域磁化強(qiáng)度，而 （3-17）從Cayley樹的結(jié)構(gòu)可以看出，若截?cái)嘁桓皹渲Α?，則Cayley樹的結(jié)構(gòu)除了它的第一近鄰為q-1，因而其各級近鄰數(shù)都減小了（q-1）倍外，仍與原Cayley樹一樣。可以利用這個(gè)特點(diǎn)來計(jì)算平均磁化強(qiáng)度。設(shè)第一次在O處切斷，則成為q段相同的樹枝。而可以寫成 （3-18）其中 （3-19）是在第k枝上位

36、置i上的自旋， i包括除了以外的所有殼層上的位置。則為第一殼層上的自旋。等式左方的下腳標(biāo)n表示每枝中仍包含有n個(gè)殼層。是第k枝上全部“成分”的貢獻(xiàn)，包括了0-1“樹干”（但無）。做第二次切斷，把割下，則第k枝又分成q-1個(gè)分枝，每個(gè)分枝和作第一次切斷后情形一樣，只是現(xiàn)在只有n-1個(gè)殼層，于是有 （3-20） 是第l個(gè)分枝上除了外所有的自旋。這樣就得到了一個(gè)遞推關(guān)系式。若記 （3-21）則由式（3-18）得到 （3-22）類似地，由式（3-17）得到 （3-23） 由于只取+1及-1兩個(gè)值，若記 （3-24）則有 （3-25）如果能求得，則獲得解。仍由Cayley樹出發(fā)，由式（3-20）和式（3

37、-21）得到 （3-26）此處由于各枝沒有差別，省略了s的上角標(biāo)k。由式（3-26），將式（3-24）化成 （3-27）上式可以寫成 （3-28）由式（3-28）迭代可以求得（）。當(dāng)時(shí)，（對應(yīng)鐵磁體）時(shí)，最后求得 （3-29）由式（3-30）結(jié)合式（3-27）迭代獲得 （3-30） 式中， （3-31） 這個(gè)由Bethe近似模型獲得的結(jié)果和準(zhǔn)化學(xué)近似獲得的結(jié)果相同。這個(gè)模型的建立和分析過程也體現(xiàn)了圖解法建模的優(yōu)點(diǎn)。 類比分析法若兩個(gè)不同的系統(tǒng)，可以用同一形式的數(shù)學(xué)模型來描述，則此兩個(gè)系統(tǒng)就可以互相類比。類比分析法是根據(jù)兩個(gè)（或兩類）系統(tǒng)某些屬性或關(guān)系的類似，去猜想兩者的其他屬性或關(guān)系也可能相似

38、的一種方法。例34 在聚合物的結(jié)晶過程中，結(jié)晶度隨時(shí)間的延續(xù)不斷增加，最后趨于該結(jié)晶條件下的極限結(jié)晶度，現(xiàn)期望在理論上描述這一動(dòng)力學(xué)過程，即推導(dǎo)（Avrami）方程。采用類比分析法。聚合物的結(jié)晶過程包括成核和晶體生長兩個(gè)階段，這與下雨時(shí)雨滴落在水面上生成一個(gè)個(gè)圓形水波并向外擴(kuò)展的情形相類似，因此可通過水波擴(kuò)散模型來推導(dǎo)聚合物結(jié)晶時(shí)的結(jié)晶度與時(shí)間的關(guān)系。在水面上任選一參考點(diǎn)，根據(jù)概率分析，在時(shí)間從0到t時(shí)刻的范圍內(nèi)通過該點(diǎn)的水波數(shù)為m的概率P(m)為Poisson分布（假設(shè)落下的雨滴數(shù)大于m，t時(shí)刻通過任意點(diǎn)p的水波數(shù)的平均值為E）。 （3-32）顯然有： （3-33） （3-34）把水波擴(kuò)散模

39、型作為結(jié)晶前期的模擬來討論薄層熔體形成“二維球晶”的情況。雨滴接觸水面相當(dāng)于形成晶核，水波相當(dāng)于二維球晶的生長表面，當(dāng)m=0時(shí)，意味著所有的球晶面都不經(jīng)過p點(diǎn)，即p點(diǎn)仍處于非晶態(tài)。根據(jù)式（3-32）可知其概率為 （3-35）設(shè)此時(shí)球晶部分占有的體積分?jǐn)?shù)為，則有 （3-36）下面求平均值E，它應(yīng)為時(shí)間的函數(shù)。先考慮一次性同時(shí)成核的情況，它對應(yīng)所有雨滴同時(shí)落入水面，到t時(shí)刻，水波前進(jìn)的距離為r，那么，以r為半徑的圓面內(nèi)的雨滴所產(chǎn)生的水波都將通過p點(diǎn)如圖1-3所示。把這個(gè)面積稱為有效面積，通過p點(diǎn)的水波數(shù)等于這個(gè)有效面積內(nèi)落入的雨滴數(shù)。設(shè)單位面積內(nèi)的平均雨滴數(shù)為N，當(dāng)時(shí)間由t增加到t+dt有效面積的

40、增量即圖中陰影部分的面積為，平均值E的增量為圖35 水波通過的有效面積示意圖 （3-37）若水波前進(jìn)速度即球晶徑向生長速度為v，則，對式（3-37）作積分得平均值同t的關(guān)系為 （3-38）代入式（3-36）得 （3-39）式（3-39）表示晶核密度為N、一次性成核時(shí)體系中的非晶部分與時(shí)間的關(guān)系。如果晶核是不斷形成的，相當(dāng)于不斷下雨的情況，設(shè)單位時(shí)間內(nèi)單位面積上平均產(chǎn)生的晶核數(shù)即晶核生成速度為I，到t時(shí)刻產(chǎn)生的晶核數(shù)（相當(dāng)于生成的水波）則為It。時(shí)間增加dt，有效面積的增量仍為，其中，只有滿足的條件下產(chǎn)生的水波才是有效的，因此有 （3-40）積分得 （3-41）代入式（3-36）得 （3-42）

41、同樣的方法可以用來處理三維球晶。這時(shí)把圓環(huán)確定的有效面積增量用球殼確定的有效體積增量來代替，對于同時(shí)成核體系（N為單位體積的晶核數(shù)），則 （3-43）對于不斷成核體系，定義I為單位時(shí)間、單位體積中產(chǎn)生的晶核數(shù)，則 （3-44）將上述情況歸納起來，可用一個(gè)通式表示： （3-45）式中：k是同核密度及晶體一維生長速度有關(guān)的常數(shù)，稱為結(jié)晶速度常數(shù)；n是與成核方式及核結(jié)晶生長方式有關(guān)的常數(shù)。該式稱為Avrami方程。下面對所建模型進(jìn)行檢驗(yàn)。圖3-6尼龍1010等溫結(jié)晶體數(shù)據(jù)的Avrami處理結(jié)果，可見在結(jié)晶前期，實(shí)驗(yàn)同理論相符，但在結(jié)晶的最后部分同理論發(fā)生了偏離。分析Avrami方程的推導(dǎo)過程，這種后期的偏離是可以理解的，因?yàn)樯L著的球晶面相互接觸后，接觸區(qū)的增長即告停止。在結(jié)晶前期球晶尺寸較小，非晶部分很多，球晶之間不致發(fā)生接觸，可以由式（3-35）來描述，隨著時(shí)間的增長，球晶增長到滿足相互接觸的體積時(shí)，總體的結(jié)晶速度就要降低，Avrami方程將出現(xiàn)偏差。圖3-6 尼龍1010等溫結(jié)晶