培優(yōu)專題講解等腰三角形含解答-

1、等腰三角形專題練習(xí)題 等腰三角形是一種特殊的三角形，它具有一般三角形的性質(zhì)，同時(shí)，還具有自身的特殊性，這些特殊性使它比一般三角形應(yīng)用更加廣泛等腰三角形的性質(zhì)和判定為證明兩個(gè)角相等和兩條線段相等提供了依據(jù)等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高所在直線是它的對稱軸，對于某些含有（或隱含）等腰三角形條件的問題，可以作等腰三角形底邊上的高或構(gòu)建等腰三角形、等邊三角形找到解決問題的途徑 例1 如圖1-1，ABC中，AB=BC，M、N為BC邊上兩點(diǎn)，且BAM=CAN，MN=AN，求MAC的度數(shù) 練習(xí)1 1如圖1-2，已知ABC中，AB=AC，AD=AE，BAE=30°，則DEC等于（ ）A75

2、76; B10° C12.5° D18° 1-2 2如圖1-3，AA、BB分別是ABC的外角EAB和CBD的平分線，且AA=AB=BB，A、B、C在一直線上，則ACB的度數(shù)是多少？ 1-33如圖1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，A=20°D是AB邊上的點(diǎn)，且AD=BC，連結(jié)CD，則BDC=_1-4 例2 如圖1-5，D是等邊三角形ABC的AB邊延長線上一點(diǎn)，BD的垂直平分線HE交AC延長線于點(diǎn)E，那么CE與AD相等嗎？試說明理由 練習(xí)21已知如圖1-6，在ABC中，AB=CD，D是AB上一點(diǎn)，DEBC，E為垂足，ED的延長線交CA的延長線于點(diǎn)F，判

3、斷AD與AF相等嗎？ 1-6 1-7 1-8 2如圖1-7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且DAC=DCA=15°，則BD與BA的大小關(guān)系是（ ） ABD>BA BBD<BA CBD=BA D無法確定3已知：如圖1-8，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長BE交AC于F，AF與EF相等嗎？為什么？ 例3 已知：如圖1-9，ABD和BEC均為等邊三角形，M、N分別為AE和DC的中點(diǎn)，那么BMN是等邊三角形嗎？說明理由 練習(xí)31已知：如圖1-10，在等邊三角形ABC中，BD=CE=AF，AD與BE交于G，

4、BE與CF交于H，CF與AD交于K，試判斷GHK的形狀 1-102已知：如圖1-11，ABC是等邊三角形，E是AC延長線上的任意一點(diǎn)，選擇一點(diǎn)D，使CDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點(diǎn)，N是線段BE的中點(diǎn)，那么CMN是等邊三角形嗎？為什么？ 1-113已知：如圖1-12，等邊三角形ABC，在AB上取點(diǎn)D，在AC上取點(diǎn)E，使AD=AE，作等邊三角形PCD、QAE和RAB，則以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形，請說明理由1-12 例4 已知：如圖1-13，等腰ABC中，AB=AC，A=100°，ABC的平分線交AC于E，試比較AE+BE與BC的大??？ 練習(xí)41如圖1-14，在A

5、BC中，AB=AC，P為底邊BC上的一點(diǎn)，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE與CF相等嗎？ 1-142已知：如圖1-15，ABC和ADE都是等邊三角形B、C、D在一條直線上，說明CE與AC+CD相等的理由1-153已知：如圖1-16，ABC是等邊三角形，延長AC到D，以BD為一邊作等邊三角形BDE，連結(jié)AE，則AD_AE+AB（填“>”或“”或“<”）1-16例5 已知：如圖1-17，ABC中，AB=AC，CE是AB邊上的中線，延長AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的幾分之幾？ 練習(xí)51如圖1-18，D、E分別是等邊三角形ABC兩邊BC、AC上的點(diǎn)，且AE

6、=CD，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P過B作BQAD于Q，請說明BP是PQ的2倍2如圖1-19，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，那么CE是BD的幾分之幾？1-19 3已知：如圖1-20，在ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的_倍1-20 答案:例1 分析 AB=AC，MN=AN可知ABC和AMN均為等腰三角形，充分利用等腰三角形的性質(zhì)尋找所求角間的關(guān)系 1-1 解：設(shè)BAM=CAN=，AMN=， MN=AN， AMN=MAN= 設(shè)ABC=， 在ABC中， ABC+BCA+CAB=180°， 由于BCA=

7、CAB=2+， 4+2+=180° 在ABM中，=+， 4+2+（-）=180° 即3（+）=180°+=60°，故MAC=60°例2 分析 要說明似乎沒有任何關(guān)系的兩條線段相等，往往需要做一些工作，如添加輔助線，構(gòu)造全等三角形等，從而達(dá)到解決問題的目的 解：延長AD到F，使AF=EF， 1-5 ABC是等邊三角形， AB=AC，A=60° AEF是等邊三角形 EA=EF，AEF=A=60° 又EH垂直平分BD， EB=ED，EBD=EDB EADEFB AD=BF 又BF=AF-AB=AE-AC=CE，AD=CE1-9 例

8、3 分析 要說明一個(gè)三角形是等邊三角形，只要能夠證明這個(gè)三角形滿足“三條邊相等或三個(gè)角相等或一個(gè)角是60°的等腰三角形”即可本題只需利用三角形全等證得BM=BN，且MBN=60°即可 解：在ABE和DBC中， ABE=60°+DBE，DBC=60°+DBE， ABE=DBC AB=BD，BE=EC ABEDBC AE=DC，MEB=NCB 又M、N分別是AE和DC的中點(diǎn)， ME=NC，又BEC為等邊三角形， BE=BC MBENBC，BM=BN MBN=MBE-NBE=NBC-NBE=60°BMN為等邊三角形例4 分析 說明一條線段的長是否等于

9、其他兩條線段長的和，常常采用截取等長線段的方法，將那些本來沒有關(guān)系的線段放在條線段上，這樣可迎刃而解 解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，連結(jié)FE、DE， AB=AC，A=100°，ABC=C=40°，又BE平分ABC， 1=2=ABC=20° 1-13 BF=BE，BEF=5=80° 在BAE和BDE中， BA=BD，1=2，BE=BE BAEBDE AE=DE，3=A=100° 4=180°-3=180°， 4=5，DE=FE，AE=FE 又6=5-C=80°-40°=40°， 6=C，

10、FE=FC故AE+BE=FC+BF=BC例5 分析 延長線段到倍長，再證明三角形全等，往往是說明線段倍分關(guān)系的重要途徑和必要手段 解：延長CE到F，使EF=CE，連結(jié)BF，CE是AB的中線，AE=EB 又FEB=AEC， 1-17 EBFEAC，EBF=A BF=AC=BD 在FBC和DBC中， FB=BD，BC=BC FBC=FBE+EBC =A+ACB DBC=A+ACB FBC=DBC BCFBCDCF=CD=2CE，故CE=CD練習(xí)11解：設(shè)DEC=x， AD=AE， ADE=AED x=AEC-ADE=（B+30°）-ADE=（B+30°）-（C+x） AB=AC

11、，B=C 2x=30°，x=15°，故選C2解：AB=BB， BAB=BBA，BBD=BAB+BBA=2BAB 又CBB=DBB， ACB=CBB+CBB=3CAB 設(shè)CAB=x，ACB=3x，CBD=4x，又AA=AB， A=ABA=CBD=4x AA平分EAB AAB=（180°-x） 又AAB=180°-（A+ABA）=180°-8x （180°-x）=180°-8x x=12°，故ACB=36°3解：如圖，作AEDBAC，連結(jié)EC 則AED=BAC=20°， DAE=ADE=B=ACB=

12、80° CAE=DAE-BAC=80°-20°=60° 又AB=AE=AC， ACE是正三角形，AE=EC=ED DEC=AEC-AED=40° EDC=（180°-DEC）=70° BDC=180°-（ADE+EDC）=30°練習(xí)2 1解：AB=AC，B=C DEBC，DEB=FEC=90° 在RtDEB與RtFEC中， B=C，BDE=F FDA=BDE， FDA=F，故AD=AF2解：以AD為邊在ADB內(nèi)作等邊ADE，連結(jié)BE 則1=2=3=60° AE=ED=AD DAC=15

13、°， EAB=90°-1-DAC=15° DAC=EAB 又DA=AE，AB=AC， EABDAC EBA=DCA=15° BEA=180°-EBA-EAB=150° BED=360°-BEA-AED=150° BEA=BED 又EB=EB，AE=ED BEABED，BD=BA 故選擇C3解：延長AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG， BD=DC，BDG=CDA，AD=DG， ADCBDE AC=BG，G=EAF， 又BE=AC，BE=BG G=BED，而BED=AEF， AEF=AFE，故FA=FE練習(xí)31解：ABC

14、是等邊三角形， AB=BC=CA ABC=ACB=BAC=60° 又BD=AF=CE， ABDBCECAF 1=2=3 BAC-1=ABC-2=ACB-3 即CAK=ABG=BCH 又AB=BC=CA， ABGBCHCAK AGB=BHC=CKA 即KGH=GHK=GKH 故GKH是等邊三角形2解：由于ABC與CDE均為等邊三角形，A、C、E三點(diǎn)共線，得知： CA=CB，CD=CE，ACD=BCE， 故ACDBCE ADC=BEC，AD=BE 又DM=AD，EN=BE， DCMECN DCM=ECN，CM=CN 又ECN+NCD=ECD=60°， NCM=MCD+NCD=6

15、0° CMN是等邊三角形3解：連結(jié)BP ABC與CDP均為等邊三角形， AC=BC，CD=CP，ACB=DCP=60° 1=2， ADCBPC CBP=DAC=60° RBP=RBA+ABC+CBP=60°+60°+60°=180°， R、B、P三點(diǎn)共線 又RAQ=RAB+BAC+CAQ=60°+60°+60°=180°， R、A、Q三點(diǎn)共線 而AQ=AE=AD=BP， RQ=RA+AQ=RB+BP=RP 又R=60°，PQR是等邊三角形 故以P、Q、R為頂點(diǎn)的三角形是等邊三

16、角形練習(xí)41解：SACB=SAPB+SAPC， 即AB·CF=AB·PD+AB·PE CF=PD+PE2解：AC=AB，CAE=BAD，AE=AD， AECADB CE=BD 又BD=BC+CD=AC+CD CE=AC+CD3解：ABC和BDE均為等邊三角形 ABE=60°-EBC=CBD，AB=BC，BE=BD ABECBD AE=CD又AB=AC， AD=AC+CD=AB+AE練習(xí)51解：CAB=C=60°，AE=CD，AB=AC，ADCBEA，CAD=EBA 又BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60°， 在RtPQB中，PBQ=30°， BP=2PQ 2解：延長CE交BA的延長線于F，