圓的垂徑定理應用

1、圓的垂徑定理應用精選一、 雙基導學：1、 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的兩條弧。垂徑定理推論 的規(guī)律： 對于一個圓和一條直線來說， 如果具備下列五個條件中的任何兩 個，那么也具有其它三個：垂直于弦，過圓心，平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧，C平分弦所對的劣弧。(當以、為題設時，“弦”不能是直徑。2、運用垂徑定理的注意事項：(1)牢記基本圖形及變式圖形(如右圖)(2)半徑r、弦長a、弦心距 d 和弓形高 h 四者的關系是：d+h=r; r2=d2+(色)22當不能用勾股定理直接計算時，要用勾股定理列方程求解。(3)當弦是特殊的直徑時，有的推論不成立。(4)常用輔助線：連接與弦的端點、過圓心

2、作弦的垂線。二、 垂經(jīng)定理的應用1、禾 U 用平分弦，解有關線段問題(1)證明線段間的關系(相等、和、差、倍、分等)例：如圖，于 N、M,(2)求半徑AB 為O0 的直徑，CD 為弦，過 C、D 分別作 CN 丄 CD、請問圖中的 AN 與 BM 是否相等， 說明理由.例.高速公路的隧道和橋梁最多.DM?丄 CD, ?分別交 AB圖3 是一個隧道的橫截面，若它的形狀是以0為圓心的圓的一部分，路面AB=10 米，凈高CD=7 米，求圓的半徑0A析解：由垂徑定理可知AOD是直角三角形，解決本題關鍵是根據(jù)勾股定理列出方程1徑OA=x米，貝 U0D=CD0C=7 x(米).因為ODL AB所以ADAB

3、=52.設半（米）.在 RtAOD中，因為AD2OD2OA2，所以52(7 x)2x2，解這個方程得:37x7(3)求弦長例.工程上常用鋼珠來測量零件上小孔的直徑，假設鋼珠的直徑是10mm 測得鋼珠頂端離零件表面的距離為 8mm 如圖4 所示，則這個小孔的直徑ABmm圖析解：要求小孔的直徑AB,關鍵是根據(jù)垂徑定理構造直角三角形，利用勾股定理來解決.如圖 5,設圓心為Q連接0A過點0作OCL AB交劣弧于D, C為垂足， 則AC=CB OA=OD110 5mm0(=8-5=3mm 在 RtAQC中,AAC_QC2J52_4，所2以AB=2AC=2X4=8(mm).(4 )、求弦心距例.如圖 6,

4、00 的半徑為 5，弦AB 8,QC AB于C，則0C的長等于_ .11析解：連接QA因為0C AB于C，所以由垂徑定理可得AOAB 84.在 Rt AQC22中，由勾股定理可得 Q(=.QA2AC2.52423.2、利用垂徑定理，構造直角三角形，利用勾股定理解題例：有一座圓弧形拱橋，橋下水面AB 寬 24m，拱頂高出水面 8m.?，F(xiàn)有一艘高出水面部分的截面為長方形的船要經(jīng)過這里，長方形的長為8m、高為 7m。此船能順利通過這座橋嗎？例.興隆蔬菜基地建圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖5 所示，已知AB=16m 半徑QA=10m 高度CD為_ m11析解：由垂徑定理可得AD=AB 168.在 Rt AQ

5、C中，22QDAD7J102826,所以CD=Q-QD=0 - 6=4(m).3、利用弦所對的弧等，進行角的計算與證明例： 如圖，00 的直徑 CD 過弦 EF 的中點 G,/ EQD = 40求/ DCF 的度數(shù)。圖 10例：.如圖 10，在OQ中，AB為OQ的直徑，弦CDLAB/AQC60O，則/B=_0圖 8C析解：因為CDLAB,AB為直徑，所以由垂徑定理可知ADAC，利用“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”定理可得11/ B=AOC=6030.224、探究線段的最小值例 6.如圖 7,0O的半徑 O/=10cm 弦AB=16cm,P為AB上一動點，則點P到圓心O的最短距離為cm .析解：因為連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，所以需作出弦11AB的弦心