(完整版)解三角形教案(精簡版)

1、高一數(shù)學必修5第一章解三角形教學設(shè)計教學過程 理解定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即a b csin A sin B sin C(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a ksin A,b ksin B , c ksin C ；(2)asin Absin Bsin C等價于asin Asin B ' sin Csin B ' sin A sin C7從而知正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin Aa -；sin B已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的

2、正弦值，如sin Aa .-sin B o b一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形例題分析例題.在 ABC中，已知aJ3, b <2, B=45 0.求A C和c.解：QB 450 900且b a,A有兩解.由正弦定理，得sin A asin B b1) 當 A=600 時,C=180 0-A-B=75 0,3?sin450 色2 萬bsinC 2sin750;-sinB sin 452) 當 A=1200時,C=180 0-A-B=15 0,bsinC2sin150sinBsin 450A 600 或 A6226221200練習:2)1) ABC 中,cAB

3、C 中,c76, A 450,a273，求 B、C、b.<6, A 450, a 2,求 b、C、b.3)已知ABC中，sin Asin B:sin C 1:2:3 ,求 a:b:c小結(jié)(由學生歸納總結(jié))(1)定理的表示形式:asin Absin Bcsin Ca b csin A sin B sin C或a ksin A, bksin B , c ksin C(k 0)(2)正弦定理的應(yīng)用范圍:已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角課題：§1.1.2余弦定理授課類型：新授課理解定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這

4、兩邊與它們的夾2abcosC角的余弦的積的兩倍。即a2b2 c22occosAb2a2c22accosBc2a2b2思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論:,222八 b c acosA ,2bc22,2a c bcosB ,2ac,222b a ccosC2ba從而知余弦定理及其推論的基本作用為:已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊;已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平 方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理

5、之間的關(guān)系?（由學生總結(jié)）若ABC中，C=900 ,貝ij cosC 0 ,這時c2 a2 b2由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。例題分析600,求b及A. 2)2 2 2 3 ( .62) cos 450b 2.2.例 1.在 ABC中，已知 a 2J3, c J6 J2, B解：: b2 a2 c2 2accosB = (2 3)2 ( 6 =12 ( 6 .2)2 4.3( 3 1) = 8求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法一： cos Ab2 c2 a2 (2.2)2 ( 6.2 )2 (2-. 3)2解法二： sin A -sinB b2bc_2

6、 2 2 (,6、2)2 30-=sin45 , 2.22, A 600.又 62 > 2.4 1.4 3.8,2用< 2 1.8 3.6,A 600. a < c ,即 00 V A< 900,評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。練習：在 ABC中，若a2 b2 c2 bc,求角A （答案：A=1200 ）小結(jié)：（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例;（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：.已知三邊求三角；.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。課題：§1.1. 3解三角形的進一步討論授課類型：新授課教學過程探索研究例1.在 ABC中，已知

7、a,b,A,討論三角形解的情況分析：先由sin B 四叱可進一步求出B；則C 1800 （A B）,從而c asin C aA1 .當a為鈍角或直角時，必須 a b才能有且只有一解；否則無解。2 .當A為銳角時，如果a >b ,那么只有一解；如果a b ,那么可以分下面三種情況來討論:（1）若a bsin A,則有兩解；（2）若a bsin A,則只有一解；（3）若a bsinA,則無解（以上解答過程詳見課本第9-10頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且bsin A a b時,有兩解；其它情況時則只有一解或無解。練習：（1）在 abc中，已知a 8

8、0, b 100, A 450,試判斷此三角形的解的情況。1 _0（2）在 ABC中，若a 1, c , C 40 ,則符合題意的 b的值有個。2（3）在 ABC中，a xcm, b 2sm,B 450,如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2） 0; （3） 2 X 2，2）利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀例2 .根據(jù)所名條件，判斷 ABC的形狀.D 在 ABC中，已知 a 7, b 5, c 32) a cos A bcosB; 3 )acos AbcosBccosCa2 b2 c2分析：由余弦定理可知 a2 b2 c2 222abcA是直角AB（g

9、直角三角形A是鈍角AB（g鈍角三角形A是銳角AB提銳角三角形(注意：A是銳角/ AB(g銳角三角形)1)解：Q 72 52 32,即 a2 b2 c2,AB(g鈍角三角形。2)解：解法一(化邊)222222由余弦定理得 a cos A bcosB a () b (- )2bc2ac2 24,22,42,2、/22.2、-a cab cb0,(ab ) (cab )02, 222,2c 2, 22a b 0 或 c a b 0 a b c 或 a b故ABC是直角三角形或等腰三角形解法二(化角)由 acosA bcosB;可得 2RsinAcosA 2Rsin BcosB即 sin2A sin2

10、B 2A 2B或 2A 2b 1800，即 A B 或 a+b=900故ABC是直角三角形或等腰三角形3）解：（化角）解法一：由正弦定理得a 馴小，b csin B sin Csin Ccsin A,cosCcos A代入已知等式得csin Acsin Bcos A sin CcosB sinCsin B sin CcosB cosC即 tan A tan B tanCA,B,C (0,)A B C 故ABC是等邊三角形2Rsin A（化邊）解法二：由已知等式得cosA2Rsin B2RsinCcosBcosC即 tan A tan B tanCA,B,C(0,)ABC是等邊三角形練習:1)A

11、BC中，已知sin Asin B：sin C1:2:3 ,判斷ABC的類型。2)ABC 中，A2,判斷 ABC的形狀。3)判斷滿足下列條件的三角形形狀,八 sin A sin BsinC =cosA cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，三角形面積公式，S= absinC ,2“化邊為角”或“化角為邊”S= bcsinA, S=例3、在 ABC中，求證：（1）22,2a b2c1.-acsinB222 sin A sin Bsin2 C2.22._一.(2)a + b + c =2 (bccosA+cacosB+abcosC )分析：這是道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的

12、特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)asin A左邊=二 bsin B22a b2cc_ = k顯然k0,所以sinCk2 sin2 A k2 sin2 B sin2 A sin2 Bk2sin2Csin2 C=右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論，b2右邊=2（bc 一2222222c a cab ab+ca+ab2bc2ca2ab2-)二(b2 +c2 - a2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c2)=a 2 +b2 +c2 =左邊變式練習1:已知在 ABC中,B=30 ,b=6,c=6 V3 ,求 a 及例 4 .在 ABC 中，A 600 ,ABC的面積 b csin A sin B sin C的值分析：可利用三角形面積定理1 .- 1-1.一 absin C -acsin B -bcsin A 以及正弦te理222a b csin A sin B sin C 解：由 S 1bcsin A 3 得csin A sin Bsin C從而2 a b c2sin A sin B sin C2 ,貝1J a' asin A練習:(1)在ABC中，若 a 55, b(2)在ABC中，其三邊分別為（答案:(1) 600或 1200 ； (2)c2 2bccosA=3,即 a J3 ,16,且此三角形的面積 S 220J3