異面直線所成角的幾種求法

1、HS=_Aa (連 AiS, - 2可知 HAS為直角三角形），GS=a （作直線4GP交BC于點(diǎn)P, 連M知四邊形 GPDS為立角梯形）。異面直線所成角的幾種求法異面直線所成角的大小，是由空間一點(diǎn)分別引它們的平行線所成的銳角（或直角）來(lái)定義的。因此，通常我們要求異面直線所成的角會(huì)要求學(xué)生通過(guò)平移直線，形成角，然后在某個(gè)三角形中求出角的方法來(lái)得到異面直線所成角的大小。在這一方法中，平移直線是求異面直線所成角的關(guān)鍵，而如何平移直線要求學(xué)生有良好的空間觀和作圖能力。一、向量法求異面直線所成的角例1:如圖，在正方體ABCD-AiBiGDi中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面BCCB及CDDiG的中心。求AE和

2、BF所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個(gè)點(diǎn)上。作法：連結(jié)BiE,取BE中點(diǎn)G及AiBi中點(diǎn)連結(jié)GH,有GHAiE。過(guò)F作CD的平行線分別交CG、DDi于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH,連結(jié)由BiHGDiFS,BiH=FS,可RS得BiF/SHo'在ZxGHS中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a。GH=-a（作直線GQBC交BBi于點(diǎn)4連QH,可知GQH為直角三角形），則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（0,2,2）,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（i,0,i）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,0,2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為BBi為z軸，設(shè)BC長(zhǎng)度為2。Cos/GHS=o6所以直線AiE與直線BiF所成的角的余弦

3、值為解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體，所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用向量的方法來(lái)求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，(2,i,i)；所以向量E4的坐標(biāo)為（-1,2,D,向量BF的坐標(biāo)為（2,1,-1）,所以這兩個(gè)向量的夾角e滿足EAi BiF coso =(1)221 1 (1)|EAi| IBiF |,（1產(chǎn)（2g （1產(chǎn)，（2產(chǎn)2 (1產(chǎn)61所以直線AiE與直線BF所成的角的余弦值為一6小結(jié)：上述解法中，解法一要求有良好的作圖能力，且能夠在作圖完畢后能夠看清楚圖形中的各個(gè)三角形，然后在所需要的

4、三角形中計(jì)算出各條線段的長(zhǎng)度，從而完成解三角形得到角的大小。而解法二不需要學(xué)生作圖，只需建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到所需向量的坐標(biāo)，求出兩個(gè)向量的夾角，即所求的兩條直線所成的角。當(dāng)然，如果題中給出的是一可以建立坐標(biāo)系的空間圖形，比如剛才的正方體，或者說(shuō)是長(zhǎng)方體，或者說(shuō)空間圖形中擁有三條直線兩兩垂直的性質(zhì)，我們就可以建立空間直角坐標(biāo)系，從而利用向量的坐標(biāo)表示來(lái)求兩個(gè)向量的夾角。如果沒(méi)有這樣的性質(zhì)，我們也可以利用空間向量基本定理，尋找空間的一組基底（即三個(gè)不共面的向量，且這三個(gè)向量?jī)蓛芍g的夾角是己知的）空間中任何一個(gè)向量都可以用這三個(gè)向量的線性組合表示出來(lái)，因而也可以運(yùn)用向量

5、的數(shù)乘來(lái)求出空間中任意二個(gè)向量間的夾角。例2:已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,的中點(diǎn)，設(shè)AM和CN所成的角為a,求COSa的值。解：由已知得，空間向量AB,AC,AD不共面,且兩兩之間的夾角均為60°o由向量的加法可以得到1-AM=-(AB+AC),NC=AD+AC22所以向量AM與向量NC的夾角0（即角a或者a的補(bǔ)角）-1-AMNC.,其中l(wèi)|NC|一1AlMCFWC-nqAEWAC)(221/=(212=a2(21-AR-211AD+ABAC+1-AD+AC)21-ADAAC112+1)=一a2：42IB1(AB+AC)=一(1+1+1423ai

6、2=41AD+AC)=J_+11a2=Aa2242所以COSa=1COSOgo3例3:已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3,E、F分別是BC、AD上的點(diǎn),且BE:EC=AF:FD=1:2,EF=,7,求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上點(diǎn)G,使AG:GC=1:2o連結(jié)EG、FG,可知EG/AB,FG/CD,3EG=2AB,3FG=CD。-21-由向量的知識(shí)可知EF=EG+GF=BA+CD,33設(shè)向量BA和CD的夾角為0。2 121則由|EF(=(BA+CD)(一BA+CD)=4+1+4cos0=7,3 3331WCOSO=-,所以AB和CD所成的角為60°。2二、利用模型求異

7、面直線所成的角引理：己知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為01,平面a內(nèi)的一條直線COS0=COS01COSb與斜線a所成的角為0，與它的射影a'所成的角為02。求證:證明：設(shè)PA是a的斜線，OA是PA在a上的射影,OB/b,如圖所示。則/PAO=01,ZPAB=0,ZOAB=過(guò)點(diǎn)。在平面a內(nèi)作OB_LAB,垂足為B,連結(jié)PB?？芍狿B±ABoOAAB所以COS01COS0=，COS02=PAPA所以COS0=COS01COS02oABOA02。1叫做線面這一問(wèn)題中，直線a和b可以是相交直線，也可以是異面直線。我們不妨把0角，0叫做線線角，02叫做線影角。很明顯，線線角是這

8、三個(gè)角中最大的一個(gè)角。我們可以利用這個(gè)模型來(lái)求兩條異面直線a和b所成的角，即引理中的角0。從引理中可以看出，我們需要過(guò)a的一個(gè)平面a,以及該平面的一條斜線b以及b在a內(nèi)的射影。例4:如圖，MA_L平面ABCD,四邊形MB既9髓嬴且MA=AB=a,試求異而直線解：由圖可知，直線MB在平面ABCD內(nèi)的射影為直線MB與平面ABCD所成的角為45°,直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45所以直線AC與直MB所成的角為0,滿足1cos°COS45一，=cos4502所以直線AC與MB所成的角為60°。例5:如圖，在立體圖形P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)直角梯AD/BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA，底面ABCD,PD與底面成30°角，AE_LPD于D。求形，/BAD=90異面直線AE與CD所成的角的大小。解：過(guò)E作的平行線EF交AD于F,由PA_L底面ABCD可知，直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為AD,直線AE與平面ABCD所成的角為/DAE,其大小為60°,射影AD與直線CD所成的角為/CDA,其大小為45°,所以直線與直線所成