熱力學(xué)與統(tǒng)計物理期末復(fù)習(xí)題

1、熱力學(xué)統(tǒng)計物理1、請給出炳、恰、自由能和吉布斯函數(shù)的定義和物理意義解：爛的定義：SB-SA = f¥=>dS = ¥沿可逆過程的熱溫比的積分，只取決于始、末狀態(tài)，而與過程無關(guān)，與保守力作功類似。 因而可認(rèn)為存在一個態(tài)函數(shù)，定義為爛。熔的定義：H = U+pV焰的變化是系統(tǒng)在等斥可逆過程中所吸收的熱量的度量。自由能的定義：F = U TS£1由能的減小是在等溫過程中從系統(tǒng)所獲得的最大功。吉布斯函數(shù)的定義：G =F + pV = U-TS + pV在等溫等壓過程中，系統(tǒng)的古布斯函數(shù)永不增加。也就是說，在等溫等壓條件下，系統(tǒng)中 發(fā)生的不可逆過程總是朝著吉布斯函數(shù)減

2、少的方向進(jìn)行的。2、請給出熱力學(xué)第零.第一.第二.第三定律的完整表述解：熱力學(xué)第零定律：如果兩個熱力學(xué)系統(tǒng)中的每一個都與第三個熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡 （溫度相同），則它們彼此也必定處于熱平衡。熱力學(xué)第一定律：自然界一切物體都具有能量，能量有各種不同形式，它能從一種形式轉(zhuǎn) 化為另一種形式，從一個物體傳遞給另一個物體，在轉(zhuǎn)化和傳遞過程中能量的總和不變。 熱力學(xué)第二定律：克氏表述：不可能把熱星從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化；開氏表述：不可能從單一熱源吸熱使之完全變成有用的功而不引起其他變化。熱力學(xué)第三定律：能氏定理：凝聚系的埔在等溫過程中的改變隨熱力學(xué)溫度趨于零，B|Jlimo（AS）r =

3、O 絕對零度不能達(dá)到原理：不肯能通過有限的步驟使一個物體冷卻到熱力學(xué)溫度的零度。通 常認(rèn)為，能氏定理和絕對零度不能達(dá)到原理是熱力學(xué)第三定律的兩種表述。3、請給出定壓熱容與定容熱容的定義，并推導(dǎo)出理想氣體的定壓熱容與定容熱容關(guān)系式:Cp Cy = llR解：定容熱容：5 _ （為V表示在體積不變的條件下內(nèi)能隨溫度的變化率;定壓熱容：Cp = （g） -P（罟）p =（等）p表示在壓強(qiáng)不變的情況下的埔增; 對于理想氣體，定容熱容G的偏導(dǎo)數(shù)可以寫為導(dǎo)數(shù)，即(1)定壓熱容Cp的偏導(dǎo)數(shù)可以寫為導(dǎo)數(shù)，即(2)理想氣體的爛為H=U + pV = U + nRT（3）由（1） （2） （3）式可得理想氣體的定

4、圧熱容與定容熱容關(guān)系式:14、分別給出體漲系數(shù)a,壓強(qiáng)系數(shù)"和等溫壓縮系數(shù)叼的定義，并證明三者之間的關(guān)系:#解：體漲系數(shù)：a =a給出在圧強(qiáng)不變的條件下，溫度升高1 K所引起的物體的體積的相對變化；壓強(qiáng)系數(shù)：“ = *（尋），"給出在體積不變的條件下，溫度升高1 K所引起的物體的體積 的相對變化；等溫斥縮系數(shù)：叼=-右（詈）j叼給出在溫度不變的條件下，增加單位圧強(qiáng)所引起的物體 的體積的相對變化；由于0 V. 7三個變量之間存在函數(shù)關(guān)系f（p, T, K） =0,其偏導(dǎo)數(shù)存在以下關(guān)系：（養(yǎng)）丁 69” （軌=t因此a, B,叼滿足a =衍旳5、分別給出內(nèi)能，焙，自由能，吉布斯

5、函數(shù)四個熱力學(xué)基本方程及其對應(yīng)的麥克斯韋關(guān)系 式解：內(nèi)能的熱力學(xué)基本方程：6U = TdS- pdV對應(yīng)的麥克斯韋關(guān)系式：（亂=-（軌焙的熱力學(xué)基本方程：dH = T6S + Vdp對應(yīng)的麥克斯韋關(guān)系式：（g）s = ®p自由能的熱力學(xué)基本方程：dF = -SdT + Vdp對應(yīng)的麥克斯韋關(guān)系式：（勒=（軌吉布斯函數(shù)的熱力學(xué)基本方程：dG = -SdT 一 pdV對應(yīng)的麥克斯韋關(guān)系式：（g）r = Op6、選擇T, P為獨(dú)立變量，證明：5 = 丁 （亂，（鈴）T= T ©V - P證明：選擇7,卩為獨(dú)立變量，內(nèi)能的全微分為心（黑嚴(yán)+（軌di/又己知內(nèi)能的熱力學(xué)基本方程 dU

6、 = TdS- pdV （2）以T，卩為自變量時，爛S的全微分為4$ =僚）嚴(yán)+ （篇）嚴(yán) 將（3）式代入（2）式可得僚）嚴(yán)+ P（紡-Pd（4）將（4）式與（1）式比較可得H（孰（S） r = T Ov - P 7、簡述節(jié)流過程制冷，氣體絕熱膨脹制冷，磁致冷卻法的原理和優(yōu)缺點(diǎn)解：節(jié)流過程制冷：原理：讓被床縮的氣體通過一絕熱管，管子的中間放置一多孔塞或頸縮管。由于多孔塞的 作用，氣體在它的兩側(cè)形成壓強(qiáng)差，氣體從高壓側(cè)緩慢流到低壓側(cè)，并達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)，這 個過程被稱為節(jié)流過程。優(yōu)點(diǎn)：（1）裝置沒有移動的部分，低溫下移動部分的潤滑是十分困難的問題；（2）在一定的斥強(qiáng)降落下，溫度愈低所獲得的溫度降落愈

7、大。缺點(diǎn)：節(jié)流過程降溫，氣體的初始溫度必須低于反轉(zhuǎn)溫度。絕熱膨脹制冷：原理：能量轉(zhuǎn)化的角度看，系統(tǒng)對外做功，內(nèi)能減少，膨脹分子間半均距離增大，分子間 相互作用勢能增加，分子的平均動能必減少，溫度必降低。優(yōu)點(diǎn)：不必經(jīng)過預(yù)冷；缺點(diǎn)：膨脹機(jī)有移動的部分，溫度愈低降溫效應(yīng)愈小。磁致冷卻法：在絕熱過程中順磁性固體的溫度隨磁場的減小而下降。優(yōu)點(diǎn)：可以獲得更低的溫度：缺點(diǎn)：磁致冷卻過程是單一循環(huán)，不能連續(xù)工作。8、選擇T, 了為獨(dú)立變量，推導(dǎo)出吉布斯一亥姆霍茲方程解：（1）已知自由能的全微分表達(dá)式為dF = -SdT 一 pdV因此s =-冷p = -£如果已知尸（幾D,求尸對T的偏導(dǎo)數(shù)即可得出爛

8、S（7； K）；求尸對卩的偏導(dǎo)數(shù)即可得出 壓強(qiáng)p IT, F）,這就是物態(tài)方程。根據(jù)自由能的定義，F(xiàn)二卜TS,有dFU = F + TS = F- T dT即為吉布斯一亥姆霍茲方稈：（2）已知吉布斯函數(shù)的全微分表達(dá)式為dG = -SdT + Vdp因此S = _籌，P = _券如果己知GIT, D,求&對7的偏導(dǎo)數(shù)即可得出爛S（7, K）；求尸對卩的偏導(dǎo)數(shù)即可得出 壓強(qiáng)plT, K）,這就是物態(tài)方程。根據(jù)吉布斯函數(shù)的定義，G=U-TSpV,有dG dGU = GTS.pV = G.T_.p_由焙的定義H = +pU,得dGH=G-TdT即為吉布斯一亥姆霍茲方程。9. 推導(dǎo)出克拉珀龍方程

9、和理想氣體的蒸汽壓方程解：設(shè)（T, p）和（7'七7；戸七7'）是兩相平衡曲線上臨近的兩點(diǎn)，在這兩點(diǎn)上，兩相的化學(xué) 勢都相等：譏八 p）=/（T, p）liaT + dT, p + dp) = p0(T + d7 p 4- dp)兩式相減的dr = d“0（1）表示當(dāng)沿著平衡曲線由（7, p）變到（7*七7；戸七7'）時，兩相的化學(xué)勢的變化相等。化學(xué)勢 的全微分為dM = -SmdT 4- Vmdp（2）Sm和Kn分別表示摩爾爛和摩爾體積, 將（2）式代入（1）式得S%dT 4- vdp = -SdT 十啾dp3以厶表示lmol物質(zhì)由a相轉(zhuǎn)變到B相所吸收的相變潛熱，因為

10、相變時物質(zhì)的溫度不變，則4(4)將(4)式代入(3)式可得dpL而_T(瞪_*)(5)即為克拉珀龍方程;在(5)式中略去并把氣相看作理想氣體= 則(5)式可化簡為ldP _ L萬而=麗 (6)如果更進(jìn)一步近似地認(rèn)為相變潛熱與溫度無關(guān)，將(6)式積分可得Llnp =-麗+力(7)即為蒸汽壓方程的近似表達(dá)式。10、簡述一級相變和二級相變的特點(diǎn)解：一級相變：在相變點(diǎn)兩相的化學(xué)式連續(xù)，但化學(xué)式的以及偏導(dǎo)數(shù)存在突變。在一級相 變中兩相有各口的非奇異的化學(xué)式函數(shù)，相變點(diǎn)是兩和化學(xué)勢函數(shù)的交點(diǎn)：在和變點(diǎn)兩相 的化學(xué)勢相等，兩相可以平衡共存，但是兩相化學(xué)勢的一級導(dǎo)數(shù)不等，轉(zhuǎn)變時有潛熱和比 體積突變；在相變的兩

11、側(cè)，化學(xué)勢較低的相是穩(wěn)定相，化學(xué)勢較低的相可以作為亞穩(wěn)態(tài)存 在。二級相變：在相變點(diǎn)兩相的化學(xué)勢和化學(xué)勢的一級偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，但化學(xué)勢的二級偏導(dǎo)數(shù)存 在突變。二級相變沒有相變潛熱和比體積突變，但是定壓比熱、定壓膨脹系數(shù)和等溫壓縮 系數(shù)存在突變。11簡述你對吉布斯佯謬的理解解：假設(shè)有兩氣體，物質(zhì)的量各為力，令他們在等溫等壓下混合，則由C = -Rininxi (1) 可知，混合后的埔增為C2加?Ln2(2),這結(jié)果與氣體的具體性質(zhì)無關(guān)。不過應(yīng)強(qiáng)調(diào)，由于在推導(dǎo)理想氣體的吉布斯函數(shù)G時用了膜平衡條件，式中的為 是對不同氣體的求和, 因而(1)式(2)式僅適用于不同氣體，對于同種氣體，由爛的廣延性可知，“混

12、合”后氣 體的爛應(yīng)等于“混合”前兩氣體的墻之和。因此，由性質(zhì)任意接近的兩種氣體過渡到同種 氣體，爛由2nKln2突變?yōu)榱恪＿@成為吉布斯佯謬。12、給出吉布斯相率的數(shù)學(xué)表達(dá)式并詳細(xì)解釋其含義和物理意義解：吉布斯相率的數(shù)學(xué)表達(dá)式：f = k + 2 p；f稱為稱為多元相系的白由度，式多元復(fù)相系可以獨(dú)立改變的的強(qiáng)度變量的數(shù)目，卩表示多元復(fù)相系有卩個相，k表示每個相有"個組元，2表示外界因素n,多數(shù)取n=2,代 表壓力和溫度；物理意義：吉布斯相律說明了平衡體系中，系統(tǒng)的|'1由度與相數(shù)、組元數(shù)Z間的關(guān)系。13簡述熱力學(xué)和統(tǒng)計物理學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系解：熱力學(xué)是用宏觀的方法研究熱現(xiàn)象，統(tǒng)計物

13、理學(xué)是用微觀的方法研究熱現(xiàn)象。雖然兩 者都是研究熱現(xiàn)象的，但理論體系是完全不一樣的；熱力學(xué)是一門極其優(yōu)美的理論，只使 用最簡單的數(shù)學(xué)方法，通過四大基本定律，也就是熱力學(xué)第零定律、熱力學(xué)第一定律、熱 力學(xué)第二定律、熱力學(xué)第三定律，完全不依靠實驗，僅從四大基本定律推導(dǎo)出整個理論體 系。統(tǒng)計物理學(xué)則要使用復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法，還要依靠實驗：是由微觀到宏觀的橋梁，它為 各種宏觀理論提供依據(jù)，已經(jīng)成為氣體、液體、固體和等離子體理論的基礎(chǔ)，并在化學(xué)和 生物學(xué)的研究中發(fā)揮作用；統(tǒng)計物理為熱力學(xué)提供了清晰的物理圖像和定量的解釋。14.分別給出玻爾茲曼統(tǒng)計分布，波色一愛因斯坦分布，費(fèi)米一狄克拉公式，并簡述三種 分布之

14、間的關(guān)系解：玻爾茲曼統(tǒng)計分布：卬=3違一"0習(xí)波色一愛因斯坦分布：© =諾二 費(fèi)米一狄克拉分布：© =諾石三者之間的關(guān)系：玻耳茲曼系統(tǒng)遵從玻耳茲曼分布。（如順磁固體等定域系統(tǒng)）：玻色系統(tǒng) 遵守玻色分布：費(fèi)米系統(tǒng)遵守費(fèi)米分布：滿足經(jīng)典極限條件時，玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿 足玻耳茲曼分布。16、給出定域系統(tǒng)下滿足玻爾茲曼統(tǒng)計的粒子配分函數(shù)，并用其表達(dá)出內(nèi)能、廣義力和爛 解：定域系統(tǒng)下滿足玻爾茲曼統(tǒng)計的粒子配分函數(shù)為：U = N 訥內(nèi)能的統(tǒng)計表達(dá)式:廣義力的統(tǒng)計表達(dá)式:埔的統(tǒng)計表達(dá)式:解：能量均分定理：對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項 的半均值

15、級對于單原子分子，定壓熱容與定容熱容之比y = ? = = 1.667,此理論結(jié)果與實驗結(jié)果符 53合的很好，但是在討論中是將原子看作一個質(zhì)點(diǎn)，完全沒有考慮原子內(nèi)電子的運(yùn)動，原子 內(nèi)的電子對熱容沒有貢獻(xiàn)是經(jīng)典理論所不能解釋的，要用屋子理論才能解釋。（沒有考慮原 子內(nèi)的電子運(yùn)動）；對于雙原子分子，定圧熱容與定容熱容之比y-1.40,除了在低溫之下的氫氣以外， 實驗結(jié)果與理論結(jié)果都符合。氫氣在低溫下的性質(zhì)經(jīng)典理論不能解釋。此外不考慮兩原子 的相對運(yùn)動也缺乏根據(jù)。更為合理的假設(shè)是兩原子保持一定的平均距離做相對簡諧振動。 但是，如果采取這個假設(shè)，雙原子分子的能量將有七個平方項，能量均分定理給出的結(jié)果

16、將與實驗結(jié)果不符。這一點(diǎn)也是經(jīng)典理論所不能解釋的。（不能解釋低溫氫氣的性質(zhì)和柔性 連接情況）；對于固體，Cv=3Nk,將理論結(jié)果與實驗結(jié)果相比較，在室溫范圍內(nèi)符合的很好，但在低 溫范幣內(nèi)，實驗發(fā)現(xiàn)固體的熱容隨溫度降低的很快，當(dāng)溫度趨緊絕對零度時，熱容趨近于 零。這個結(jié)果經(jīng)典理論不能解釋。此外金屬中存在自由電子，如果將能量均分定理應(yīng)用于 電子，自由電子的熱容與粒子振動的熱容將具有相同的能級。實驗結(jié)果是，在3K以上自由 電子的熱容與粒子振動的熱容相比，可以忽略不計，這個事實經(jīng)典理論也不能解釋。（不能 解釋所有理想固體有相同的熱容最）。17、給出普朗克公式，并討論其在低頻和高頻內(nèi)的結(jié)果解：普朗克公式

17、：現(xiàn)在討論普朗克公式在高頻和低頻范圍內(nèi)的極限結(jié)果:為在方0/kTvvl的低頻范圍，e-l + ,普朗克式可近似為kTV ,U (°T)d0 = . ekTd/y7VC得到瑞利一金斯公式：在方0/kT>>1的高頻范圍內(nèi)有e/kT » 1,可將普朗克公式分母中的-1忽略而得U (T)d =力 se-/kTd7TC得到維恩公式：由上式可以看出，當(dāng)尿y/kT»l時，當(dāng)(3, T)隨3的增加而迅速地趨于零，這意味著, 在溫度7的平衡輻射中，Tzry/kT>>1的高頻光子是兒乎不存在的：也可以理解為，溫度 為7*時窖壁發(fā)射方e»kT的高頻光子概率是極小的。18>試討論電子在 琢?xí)r的分布(提示：費(fèi)米能級的定義及其物理意義)解：電子在0K時服從費(fèi)米分布，電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限 制每一量子態(tài)最多只能容納一個電子，因此電子從£ = 0的狀態(tài)起依次填充至“(0)止。0K時電子氣體的內(nèi)能為0) = ¥“(0),可知0K時電子的平均能最為*(0)； 0K時電子氣 體的壓強(qiáng)為p(0) = |n/z(0)o可以看