機構(gòu)學(xué)與機器人學(xué)-2運動學(xué)中的向量法

1、第二章第二章 運動學(xué)中的向量法運動學(xué)中的向量法 向量法是描述剛體運動的一種基本方法，可用直向量法是描述剛體運動的一種基本方法，可用直角坐標(biāo)，也可用極坐標(biāo)表示。角坐標(biāo)，也可用極坐標(biāo)表示。2-1 復(fù)數(shù)矢量法復(fù)數(shù)矢量法(復(fù)極向量法復(fù)極向量法)一、復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù) 用兩個實數(shù)用兩個實數(shù)x、y表示一個復(fù)數(shù)表示一個復(fù)數(shù)iyxzx、y 分別稱為復(fù)數(shù)的實部和虛部，實部分別稱為復(fù)數(shù)的實部和虛部，實部單位為單位為“1”，略去不寫，虛部單位，略去不寫，虛部單位“i”有求法規(guī)則：有求法規(guī)則： 1iiiyxzz2221)(yxz zz 對實軸的對稱點也對應(yīng)一個復(fù)數(shù)：對實軸的對稱點也對應(yīng)一個復(fù)數(shù)： 21)( z zz則稱則稱

2、是是z的共軛復(fù)數(shù)，的共軛復(fù)數(shù)，定義為復(fù)數(shù)定義為復(fù)數(shù)z的模的模記為：記為：模等于模等于1的復(fù)數(shù)稱為單位復(fù)數(shù)：的復(fù)數(shù)稱為單位復(fù)數(shù)：sincosizsincosieiiezz 稱為幅角，由稱為幅角，由Euler公式：公式：ieiasincosyxiiaaiaaeaaa)sin(cos二、復(fù)數(shù)矢量的表示二、復(fù)數(shù)矢量的表示a如圖的自由矢量如圖的自由矢量的表示為：的表示為：a ，則該矢量可表示為：，則該矢量可表示為：設(shè)在復(fù)平面上有一個單位矢量設(shè)在復(fù)平面上有一個單位矢量（2-1）yxaa 、于是矢量于是矢量的分量分別為：的分量分別為：aiiiaeaeiaisimaiaei )()sin()cos()cos(

3、)(a相當(dāng)于矢量相當(dāng)于矢量轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過90900 0。1 1）向量）向量與單位矢量與單位矢量相乘：相乘：a ie)()(iiiaeaee（2-2）表示向量表示向量逆時針轉(zhuǎn)過一個逆時針轉(zhuǎn)過一個角。角。a與虛數(shù)單位與虛數(shù)單位i的乘積：的乘積：2）向量）向量a)2()2sin()2cos()sincos(iiaeiaiaiae（2-3）同理：同理：轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過1800。a相當(dāng)于矢量相當(dāng)于矢量（2-4）是單位矢量是單位矢量的共軛矢量的共軛矢量ieie1sincos)sin)(cossin(cos22iieeii3）2cosiiee2siniieeisinsincoscos)cos(sincoscossin)s

4、in(4）兩個有用公式）兩個有用公式（2-5）（2-6）（2-7）（2-8）iiiiieireriererredtddtrd )()(5）復(fù)數(shù)矢量的微分）復(fù)數(shù)矢量的微分iiierer 、 rr 、 等式右邊可看作二個復(fù)數(shù)矢量等式右邊可看作二個復(fù)數(shù)矢量其中其中iiiee 、分別為它們的矢量大?。＃?，分別為它們的矢量大小（模），為單位方向矢。為單位方向矢。，表示某一點相對于固定參考系坐標(biāo)，表示某一點相對于固定參考系坐標(biāo)irer 設(shè)矢量設(shè)矢量原點的位置，則一階導(dǎo)數(shù)：原點的位置，則一階導(dǎo)數(shù)：（2-9）二階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：iiiiiiiierrerriierierriererredtd)2()()()

5、()()(222 繼續(xù)求導(dǎo)可求出高階導(dǎo)數(shù)。繼續(xù)求導(dǎo)可求出高階導(dǎo)數(shù)。（2-10）JIRO可寫成：可寫成：則矢量則矢量a)cossin(jeaai為為式中式中為矢量為矢量在復(fù)平面（在復(fù)平面（ORI平面）上的投影平面）上的投影與與J 軸的夾角。軸的夾角。與實軸與實軸R間夾角，間夾角，aa三、空間矢量的復(fù)數(shù)表示三、空間矢量的復(fù)數(shù)表示aR為實軸，為實軸，I、J為虛軸，為虛軸，取坐標(biāo)系取坐標(biāo)系ORIJ，矢量，矢量如圖，如圖，（2-11）可看成長度可看成長度a與單位向量與單位向量矢量矢量由式由式211的乘積。的乘積。a a則單位向量：則單位向量：cossinjeai（2-12）實實虛虛虛虛aaaaaaaaa

6、aaaaaa 2，其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為，其一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)為: sin)cossin(jieai)cos(sin )sin(coscos2)(sin222 jeeiieaiii式中：式中：（2-13）（2-14）（2-15）2-2 利用復(fù)數(shù)向量進行機構(gòu)的運動分析利用復(fù)數(shù)向量進行機構(gòu)的運動分析 機構(gòu)的運動分析是在已知機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸機構(gòu)的運動分析是在已知機構(gòu)的結(jié)構(gòu)和幾何尺寸的條件下，在原動件的運動規(guī)律給定時，確定從動件的條件下，在原動件的運動規(guī)律給定時，確定從動件任一任一運動變量的變化規(guī)律運動變量的變化規(guī)律。 運動分析包括：運動分析包括：位置分析，速度和加速度分析位置分析，速度和加速度分

7、析。其中位置分析方程通常是非線性的，只有簡單的二級其中位置分析方程通常是非線性的，只有簡單的二級機構(gòu)才能列出輸出變量和輸入變量的顯函數(shù)表達式，機構(gòu)才能列出輸出變量和輸入變量的顯函數(shù)表達式，而其他情況下，方程的求解就需要利用各種數(shù)值解法。而其他情況下，方程的求解就需要利用各種數(shù)值解法。 1、鉸鏈四桿機構(gòu)、鉸鏈四桿機構(gòu) 建立封閉矢量方程，可有兩種形式：建立封閉矢量方程，可有兩種形式： a、連續(xù)頭尾相接的封閉鏈；、連續(xù)頭尾相接的封閉鏈； b、到達同一研究點的兩個不同途徑的兩個分支。、到達同一研究點的兩個不同途徑的兩個分支。 雷文（雷文（Raven）稱為）稱為“獨立位置方程獨立位置方程”法，這法，這

8、一方法對解決輸入和輸出構(gòu)件都繞各自固定點一方法對解決輸入和輸出構(gòu)件都繞各自固定點 中心轉(zhuǎn)動的問題特別有效。中心轉(zhuǎn)動的問題特別有效。一、平面機構(gòu)的運動分析一、平面機構(gòu)的運動分析 如圖鉸鏈四桿機構(gòu)，假設(shè)各桿長度為如圖鉸鏈四桿機構(gòu)，假設(shè)各桿長度為r1、r2、r3、r4輸輸入角入角2 已知，可列出獨立位置方程：已知，可列出獨立位置方程： 4324132iiiBerrererr位置分析的目的是求出位置分析的目的是求出3 3和和4 4的值。的值。 （2-16）（1）位置分析）位置分析？解題思路：解題思路：1）利用已知）利用已知r1、r2和和2，求出對角線矢，求出對角線矢量量d。2）利用矢量）利用矢量d和和

9、r4求出矢量求出矢量r3，解出，解出3和和4 。首先確定對角線首先確定對角線d 的長度：的長度：122rdeerdii )()()(222221222122121 iiiiiieerrrrderrerrdededd 將式（將式（217）移項后，分別求上它們各自的共軛復(fù)數(shù)：）移項后，分別求上它們各自的共軛復(fù)數(shù)：（2-17）或：或：2212221cos2rrrrd （2-18）ddrrcoscos122ddrsinsin22將式（將式（217）分解為實部和虛部，得：）分解為實部和虛部，得：22sinsindrddrrd221coscos由此解得：由此解得：所以：所以：22122cossintanr

10、rrd （2-19）4343iiierdeerd44334433)(iiiiiiererdeerdeerdd)(3)(32232433ddiiderderdrr324223333223242)cos()cos(2drrdrdrdrrdd 由式（由式（217）計算）計算d，很容易判別，很容易判別d的象限，的象限，當(dāng)矢量當(dāng)矢量 可確定后，由于：可確定后，由于：?。ㄈ。?21）實部得：）實部得：（2-20）（2-21）d移項，兩邊分別乘以各自的共軛復(fù)數(shù)：移項，兩邊分別乘以各自的共軛復(fù)數(shù)：消去消去44433sinsinsinrdrd4334sinsinsinrdrd 有兩個可能解，根據(jù)連續(xù)條件確定一個

11、。有兩個可能解，根據(jù)連續(xù)條件確定一個。同樣，同樣，4有可能有有可能有2個解，根據(jù)連續(xù)條件加以確定。個解，根據(jù)連續(xù)條件加以確定。)(3d?。ㄈ。?20）的虛部得：）的虛部得：（2-22）（2）速度分析）速度分析4324132iieierrerer432443322iiiierierier由位置方程由位置方程 進行求導(dǎo)：進行求導(dǎo)： 由于鉸鏈四桿機構(gòu)中均為剛體，因此利用上式）由于鉸鏈四桿機構(gòu)中均為剛體，因此利用上式）矢量微分，將不包含徑向分量項，由此得：矢量微分，將不包含徑向分量項，由此得：（2-23）iiieirerredtd )(332iiiieieie 、 、 43322arrr 、 、 43

12、2rrr 、 、 2 2該式由相對運動速度多邊形圖示說明為：該式由相對運動速度多邊形圖示說明為：分別表示分別表示的方向，它們是的方向，它們是的方向轉(zhuǎn)過的方向轉(zhuǎn)過所得，所得，是已知的。是已知的。 432443322iiiierierier444333222444333222coscoscossinsinsinrrrrrr43 、 222444333222444333cos)cos()cos(sin)sin()sin(rrrrrr將上述矢量方程分解為實部分量和虛部分量：將上述矢量方程分解為實部分量和虛部分量：未知量未知量左移：左移：（2-24）最后，用最后，用Cramer（克萊姆）法則解（克萊姆）

13、法則解（224）432443322iiiierierier4433443344222442223 coscossinsincoscossinsinrrrrrrrr于是可得：于是可得：)sin()sin(cossinsincoscossinsincos4332422434343434242424223rrrrrrrrrr)sin()sin(43423224 rr類似可求得：類似可求得： （2-25）（2-26）（3）加速度分析）加速度分析 同樣方法對（同樣方法對（216）進行二次微分得：）進行二次微分得：)()()()()()(443322244442333322222iiiiiierierer

14、iererier （2-27）將（將（2-27）分解為實數(shù)分量和虛數(shù)分量，便可）分解為實數(shù)分量和虛數(shù)分量，便可得含有未知數(shù)得含有未知數(shù) 和和 的兩個方程：的兩個方程：3 4 BrrrrrrArrrrrr424432332222222444333424432332222222444333sinsinsincos)cos()cos(coscoscossin)sin()sin( 由此得：由此得：)sin(sincos1coscossinsincossin434434433443344443BArrrrrrBrA )sin(sincos1433344BAr 2、偏置曲柄滑塊機構(gòu)、偏置曲柄滑塊機構(gòu) 列出

15、列出B點的獨立位置方程，再由位置方程一次、二次微點的獨立位置方程，再由位置方程一次、二次微分得速度。加速度方程。通過分離實數(shù)分量和虛數(shù)分量的方分得速度。加速度方程。通過分離實數(shù)分量和虛數(shù)分量的方法最終求出未知量：法最終求出未知量：ibxererriiB3232xierierriiB)()(323322xiereriererriiiiB )()(33223323322222？22 、 444444 rrr 、及 3、擺動導(dǎo)桿機構(gòu)、擺動導(dǎo)桿機構(gòu)，求不同位置的，求不同位置的已知：構(gòu)件已知：構(gòu)件1和構(gòu)件和構(gòu)件2 長度為長度為 r1、r2 ，構(gòu)件構(gòu)件2（曲柄）（曲柄） 的角速度和角加速度為的角速度和角加

16、速度為（1）位置分析）位置分析42412iierirer 獨立位置方程為：獨立位置方程為：（2-27）？4422coscosrr44122sinsinrrr221224cossinarctanrrr4224coscosrr 分成實數(shù)分量和虛數(shù)分量：分成實數(shù)分量和虛數(shù)分量：兩式相除得：兩式相除得：代入（代入（228）：）：（2-28）（2-29）（2-30）44244422iiiierereir4ie（2）速度分析）速度分析兩邊乘以兩邊乘以則：則：對（對（227）求導(dǎo)桿的速度方程：）求導(dǎo)桿的速度方程：（2-31）444)(2242irreiri)sin(42224rr將上式分成實數(shù)分量和虛數(shù)分量

17、得：將上式分成實數(shù)分量和虛數(shù)分量得：442224)cos(rr4422)2()(4444244422222iiiiierrerrerier 4ieirrrrerierii)2()(44442444)(222)(224242 44444222242222)sin()cos( rrrr（3）對位置方程二次微分得加速度方程：）對位置方程二次微分得加速度方程：兩邊同乘兩邊同乘得：得：取虛數(shù)分量：取虛數(shù)分量： （2-32）（2-33）（2-34）444222242224421 rrrr)sin()cos(2244422224222 rrrr)cos()sin(2444222242224)cos()sin

18、( rrrr因此：因此：取（?。?23）實數(shù)分量：）實數(shù)分量：因此得：因此得：（2-35）（2-36） 203 ， 12742mmrmmrmmbmma406102 ， smmc1101022 ， 433 、 及如圖所示如圖所示RSSR機構(gòu)，機構(gòu)，桿桿2在在IJ平面旋轉(zhuǎn)，桿平面旋轉(zhuǎn)，桿4在平面在平面RJ平面旋轉(zhuǎn)，平面旋轉(zhuǎn)，已知：已知：時桿時桿3的位置角的位置角二、空間機構(gòu)的運動分析二、空間機構(gòu)的運動分析453042 ， 求當(dāng)：求當(dāng)：？由于桿由于桿2在在IJ平面內(nèi)運動，所以矢量平面內(nèi)運動，所以矢量2r與與R軸夾角軸夾角2=900，又由于桿，又由于桿4在平行于在平行于RJ平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，因

19、 此向量此向量r4在在IR平面內(nèi)的投影與平面內(nèi)的投影與R軸夾角軸夾角4=0。在在IR平面內(nèi)的投影平面內(nèi)的投影對對B點可列兩個獨立位置方程：點可列兩個獨立位置方程：)cossin()cossin()cossin(444333222432432jerjcibajerjerrjcibarrriiiB(1) (1) 位置分析位置分析（2-37）矢量矢量A0B0可表達為：可表達為：A0B0a+i b+ j c)cos(sin)cossinsinsin(cos)cossin(444333333222 jrjcibajirjir展開：展開：44333sinsincosrarbrr33322sinsinsin

20、443322coscoscosrcrr22333sinsinsinrbr分別取分別取R、I、J分量得：分量得： 由（由（2）移項：）移項：（1）（2）（3）（4）0 90 42 ，)cos(sin)cossin()cossin(444333229023 jrjcibajerjerii代入得：代入得：44223 14 sinsintan)()(rarb36.543224433coscoscosrrcr 54)()(22442233coscossintansinrrcrb169.72sin)coscos(sintan32244223rctrrbar由（由（3）式移項得：）式移項得：（5） 可對（可

21、對（237）式一次微分后，分別?。┦揭淮挝⒎趾?，分別取R、I、J分量，分量，也可直接（也可直接（1）、（）、（2）、（）、（3）一次微分得速度分量。求）一次微分得速度分量。求導(dǎo)時各長度尺寸為常數(shù)，導(dǎo)時各長度尺寸為常數(shù)，42 、 角不變的。由此得：角不變的。由此得：（2）速度分析）速度分析44433333333cossinsincoscosrrr0cossinsincoscos33333333222rrr444333222sinsinsinrrr由（由（6）式移項得：）式移項得：（6）（7）（8）由（由（7）式移項得：）式移項得：33334443333sinsincoscoscosrrr3333

22、3333222sincoscossincosrrr（9）（10）32322434433cossincoscoscosr )10()9(rr（11）（11）代入（）代入（8）得：）得：)cossincoscos(sinr)sinsincoscos(sinr33434443323222由此得：由此得：1/s 60812.19)cossincoscossinsinsincoscossin(rr33434332324224（3）加速度分析）加速度分析 （略）（略）三、復(fù)數(shù)矢量法進行機構(gòu)的綜合三、復(fù)數(shù)矢量法進行機構(gòu)的綜合 復(fù)數(shù)矢量法能夠方便的應(yīng)用于桿機構(gòu)的綜合，特復(fù)數(shù)矢量法能夠方便的應(yīng)用于桿機構(gòu)的綜合，

23、特別是平面機構(gòu)的綜合。如要綜合一平面鉸鏈四桿機構(gòu)，別是平面機構(gòu)的綜合。如要綜合一平面鉸鏈四桿機構(gòu)，而該機構(gòu)在某一位置時各構(gòu)件必須滿足規(guī)定的角速度、而該機構(gòu)在某一位置時各構(gòu)件必須滿足規(guī)定的角速度、角加速度，可用復(fù)數(shù)矢量法。角加速度，可用復(fù)數(shù)矢量法。2-3 利用直角坐標(biāo)向量的機構(gòu)運動分析利用直角坐標(biāo)向量的機構(gòu)運動分析一、直角坐標(biāo)向量標(biāo)記法一、直角坐標(biāo)向量標(biāo)記法zyxaka jaia、空間任意一點空間任意一點A A的位置在直角坐標(biāo)系中可用向量的位置在直角坐標(biāo)系中可用向量a來表示，來表示， xyzo 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系，若，若x x、y y、z z方向上的單位向量為：方向上的單位向量為： ,i,jk

24、，則我們可以將向量表示為：，則我們可以將向量表示為：分別是向量分別是向量zyxaaa , ,a在三個方向上的分量。在三個方向上的分量。二、桿組分類法（阿蘇爾運動鏈）二、桿組分類法（阿蘇爾運動鏈）1、桿組的定義、桿組的定義 機構(gòu)可以認(rèn)為是由機架、主動件和從動件系統(tǒng)三部分組機構(gòu)可以認(rèn)為是由機架、主動件和從動件系統(tǒng)三部分組成。從動件系統(tǒng)的自由度為零。因此，從動件系統(tǒng)一定可以成。從動件系統(tǒng)的自由度為零。因此，從動件系統(tǒng)一定可以分解成一個或若干個不可再分解的自由度為零的運動鏈，這分解成一個或若干個不可再分解的自由度為零的運動鏈，這種運動鏈稱為桿組。種運動鏈稱為桿組。 機構(gòu)是由一個或若干個自由度為零的運動

25、鏈依次聯(lián)接到機構(gòu)是由一個或若干個自由度為零的運動鏈依次聯(lián)接到機架和主動件上而形成的。機架和主動件上而形成的。 2、桿組的分類、桿組的分類 桿組的構(gòu)件數(shù)桿組的構(gòu)件數(shù)n與低副數(shù)與低副數(shù)p滿足：滿足： 3n-2p=0 運動副運動副A、C為桿組的外為桿組的外副，副，B為內(nèi)副，外副若為轉(zhuǎn)為內(nèi)副，外副若為轉(zhuǎn)動副畫為實心圓，三個運動動副畫為實心圓，三個運動副為移動副則失去桿組性質(zhì)。副為移動副則失去桿組性質(zhì)。n=4，p=6n=6，p=9桿組按其包含的封閉形是幾邊形進行分級。桿組按其包含的封閉形是幾邊形進行分級。桿組運動確定性：外副若與運動已知的構(gòu)件相聯(lián)，則桿組中桿組運動確定性：外副若與運動已知的構(gòu)件相聯(lián)，則桿組中每一構(gòu)件的運動都是確定的。每一構(gòu)件的運動都是確定的。桿組靜力確定性：如桿組上作用的外力系已知，則桿組的各桿組靜力確定性：如桿組上作用的外力系已知，則桿組的各運動副中的約束反力未知數(shù)可由桿組本身各構(gòu)件的平衡方程運動副中的約束反力未知數(shù)可由桿組本身各構(gòu)件的