分離變量法(§2.5)_第1頁
分離變量法(§2.5)_第2頁
分離變量法(§2.5)_第3頁
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1、§2.5 非齊次邊界條件的處理前面討論的定解問題,無論方程是齊次還是非齊次的,邊界條件都是齊次的,對于邊界條件為非齊次的如何處理?原理:將邊界齊次化。下以波動方程的定解問題為例說明。考慮如下定解問題: (1)為應用分離變量法,設法作一代換將邊界條件齊次化,為此令 (2)適當選擇,使得的邊界條件化為齊次的,即 (3)因此,由(1)和(2)可知,滿足 (4)所以只要找到滿足(4)就達到目的。對于這樣的有很多選法,例如取其為一次式,即要滿足(4),則可得從而這樣只要作代換 (5)就能使得滿足齊次邊界條件,即有 (6)顯然(6)可以用特征函數(shù)法求解。注:1 上面選擇一次式,是因為簡單易求,可

2、以有別的形式;2 若f,u1,u2與t無關,則可選適當?shù)氖沟脻M足的方程和邊界條件都是齊次的,減少求解的工作量。(見例1)3 此方法對其他類邊界條件依然成立,只不過是表達式不同而已。分離變量法總結:一、 根據(jù)邊界形狀選擇適當?shù)淖鴺讼?,原則是使此邊界條件表達式最簡單化,如圓,環(huán),扇型用極坐標系,柱或球用柱坐標系和球坐標系;二、 若邊界條件非齊次,則無論方程是否齊次先將邊界條件齊次化;三、 齊次方程直接用分離變量法求解;非齊次方程用特征函數(shù)法求解。例1 求定解問題解:方程和邊界條件都是非齊次的,故應先將邊界條件齊次化。由A,B與t無關,則可以經(jīng)過一次代換將邊界和方程都化成齊次的。做法如下:令代入方程可得為使方程和邊界齊次化,令求解可得下面用分

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