分離變量法(§2.5)_第1頁
分離變量法(§2.5)_第2頁
分離變量法(§2.5)_第3頁
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文檔簡介

1、§2.5 非齊次邊界條件的處理前面討論的定解問題，無論方程是齊次還是非齊次的，邊界條件都是齊次的，對于邊界條件為非齊次的如何處理？原理：將邊界齊次化。下以波動方程的定解問題為例說明。考慮如下定解問題： （1）為應(yīng)用分離變量法，設(shè)法作一代換將邊界條件齊次化，為此令 （2）適當選擇，使得的邊界條件化為齊次的，即 （3）因此，由（1）和（2）可知，滿足 （4）所以只要找到滿足（4）就達到目的。對于這樣的有很多選法，例如取其為一次式，即要滿足（4），則可得從而這樣只要作代換 （5）就能使得滿足齊次邊界條件，即有 （6）顯然（6）可以用特征函數(shù)法求解。注：1 上面選擇一次式，是因為簡單易求，可

2、以有別的形式；2 若f，u1，u2與t無關(guān)，則可選適當?shù)氖沟脻M足的方程和邊界條件都是齊次的，減少求解的工作量。（見例1）3 此方法對其他類邊界條件依然成立，只不過是表達式不同而已。分離變量法總結(jié)：一、 根據(jù)邊界形狀選擇適當?shù)淖鴺讼担瓌t是使此邊界條件表達式最簡單化，如圓，環(huán)，扇型用極坐標系，柱或球用柱坐標系和球坐標系；二、 若邊界條件非齊次，則無論方程是否齊次先將邊界條件齊次化；三、 齊次方程直接用分離變量法求解；非齊次方程用特征函數(shù)法求解。例1 求定解問題解：方程和邊界條件都是非齊次的，故應(yīng)先將邊界條件齊次化。由A，B與t無關(guān)，則可以經(jīng)過一次代換將邊界和方程都化成齊次的。做法如下：令代入方程可得為使方程和邊界齊次化，令求解可得下面用分

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