圓的相關(guān)知識點

1、圓的相關(guān)知識 最好配以簡單的習(xí)題掌握 板塊一：圓的有關(guān)概念 一、圓的定義： 1. 描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段 0A繞它固定的一個端點 0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A隨之旋轉(zhuǎn)所形成 的圖形叫做圓，其中固定端點 0叫做圓心，0A叫做半徑. 2. 集合性定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑 3. 圓的表示方法：通常用符號 O表示圓，定義中以 0為圓心，0A為半徑的圓記作“ OO ”讀作“圓0, 4. 同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓； 能夠重合的兩個圓叫做等圓 . 注意：同圓或等圓的半徑相等. 二、弦和弧

2、 1. 弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦. 2. 直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的 2倍. 3. 弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距. 4. ?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以 A、B 為端點的圓弧記作 ?AB ，讀作弧 AB. 5. 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧. 6. 半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓. 7. 優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧. 8. 弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形. 三、圓心角和圓周角 1. 圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.將整個圓分為 360等份，每一份的弧對應(yīng)

3、1 的圓心角，我們也稱 這樣的弧為 1 的弧.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等. 2. 圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 3. 圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半. 推論 1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等. 推論 2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角， 90 的圓周角所對的弦是直徑. 推論 3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 4. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相 等，所對的弦的弦心距相等. 推論：在同圓或等圓中，如果兩

4、個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它 們所對應(yīng)的其余各組量分別相等. 板塊二：圓的對稱性與垂徑定理 一、 圓的對稱性 1. 圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是經(jīng)過圓心的任意一條直線. 2. 圓的中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心. 3. 圓的旋轉(zhuǎn)對稱性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，無論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少角度，都能與其自身重合. 二、 垂徑定理 1. 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧. 2. 推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦

5、，并且平分弦所對的另一條弧. 3. 推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 板塊三：點與圓的位置關(guān)系 一、點與圓的位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系有：點在圓上、點在圓內(nèi)、點在圓外三種，這三種關(guān)系由這個點到圓心的距離與半徑 的大小關(guān)系決定. 設(shè)OO的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，則有： 點在圓外 d r ;點在圓上 d r ;點在圓內(nèi) d r. 如下表所示： 劉蕾老師整合 宀護方 位置大糸 圖形 定義 性質(zhì)及判定 點在圓外 點在圓的外部 d r 點P在OO的外部 點在圓上 點在圓周上 d r 點P在OO的圓周上 點在圓內(nèi) 點在圓的內(nèi)部 d r 點P在OO的內(nèi)部 、確定圓的條件 1. 圓的確定 確定

6、一個圓有兩個基本條件：圓心（定點） ，確定圓的位置；半徑（定長），確定圓的大小.只有當 圓心和半徑都確定時，遠才能確定. 2. 過已知點作圓 經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點 0為圓心，以O(shè)A的長為半徑，即可作出過點 A的圓，這樣的 圓有無數(shù)個. 經(jīng)過兩點 A B的圓：以線段 AB中垂線上任意一點 0作為圓心，以 0A的長為半徑，即可作出過點 A B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個. 過三點的圓：若這三點 A、B、C共線時，過三點的圓不存在；若 A B、C三點不共線時，圓心是線 段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點 0是唯一存在的，這樣的圓有唯 個. 過n n 4個點的圓：只可以作 0個或1個，當

7、只可作一個時，其圓心是其中不共線三點確定的圓的 圓心. 3. 定理：不在同一直線上的三點確定一個圓. 注意：“不在同一直線上”這個條件不可忽視，換句話說，在同一直線上的三點不能作圓； “確定” 一詞的含義是“有且只有” ，即“唯一存在”. 4. 三角形的外接圓 經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓， 外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點， 叫 做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形. 三角形外心的性質(zhì)： 三角形的外心是指外接圓的圓心， 它是三角形三邊垂直平分線的交點， 它到三角形各頂點的距離相 等； 三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的， 但一個圓

8、的內(nèi)接三角形卻 有無數(shù)個，這些三角形的外心重合 銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部； 直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點處 （即直角三角形外接圓 半徑等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部 板塊四：直線和圓的位置關(guān)系 、直線和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定 設(shè)OO的半徑為r，圓心0到直線I的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表: 宀護方 位置大糸 圖形 定義 性質(zhì)及判定 相離 直線與圓沒有公共點. d r 直線1與OO相離 相切 直線與圓有唯一公共點，直線叫做 圓的切線，唯一公共點叫做切點 . d r 直線1與OO相切 相交 直線與圓有兩個公共點，直線叫做 圓的割線. d r 直線1與

9、OO相交 從另一個角度，直線和圓的位置關(guān)系還可以如下表示: 直線和圓的位置關(guān)系 相交 相切 相離 公共點個數(shù) 圓心到直線的距離 d與半徑r的關(guān)系 公共點名稱 交占 八、 切點 無彳 直線名稱 割線 切線 無 、切線的性質(zhì)及判定 1.切線的性質(zhì)： 定理：圓的切線垂直于過切點的半徑. 推論1:經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點. 推論2:經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心. 2. 切線的判定 定義法：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線； 距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線； 定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 3. 切線長和切線長定理： 切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓

10、的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長. 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線 的夾角. 三、三角形內(nèi)切圓 1. 定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫 做圓的外切三角形. 2. 多邊形內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形. 板塊五：圓和圓的位置關(guān)系 一、圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定 設(shè)OOi、O 02的半徑分別為 R r （其中R r ）,兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表： 宀護方 位置大糸 圖形 定義 性質(zhì)及判定 外離

11、 兩個圓沒有公共點，并且每個圓上 的點都在另一個圓的外部. d R r 兩圓外離 外切 兩個圓有唯一公共點， 并且除了這 個公共點之外， 每個圓上的點都在 另一個圓的外部. d R r 兩圓外切 相交 兩個圓有兩個公共點. R r d R r 兩圓相交 內(nèi)切 兩個圓有唯一公共點， 并且除了這 個公共點之外， 一個圓上的點都在 另一個圓的內(nèi)部. d R r 兩圓內(nèi)切 內(nèi)含 兩個圓沒有公共點， 并且一個圓上 的點都在另一個圓的內(nèi)部， 兩圓冋 心是兩圓內(nèi)含的一種特例. 0 d R r 兩圓內(nèi)含 說明：圓和圓的位置關(guān)系，既考慮了他們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點的個數(shù)來 分，又可分

12、為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩 圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況. 二、兩圓的連心線 1. 定義：通過兩圓圓心的直線叫做連心線. 2性質(zhì)： 如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上； 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦. 三、兩圓的公切線 1. 定義：和兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線. 外公切線：兩個圓在公切線同側(cè)時，這樣的公切線叫做外公切線; 內(nèi)公切線：兩個圓在公切線兩側(cè)時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線. 2. 公切線條數(shù)與兩圓的位置關(guān)系 若兩圓外離， 則外公切線條數(shù)為 2 , 內(nèi)公切線條數(shù)為 2，公切線總數(shù)為 4 ； 若兩圓外

13、切， 則外公切線條數(shù)為 2 , 內(nèi)公切線條數(shù)為 1，公切線總數(shù)為 3 ； 若兩圓相交， 則外公切線條數(shù)為 2 , 內(nèi)公切線條數(shù)為 0 ,公切線總數(shù)為 2 ； 若兩圓內(nèi)切， 則外公切線條數(shù)為 1 , 內(nèi)公切線條數(shù)為 0，公切線總數(shù)為 1 ； 若兩圓內(nèi)含， 則外公切線條數(shù)為 0, 內(nèi)公切線條數(shù)為 0 ,公切線總數(shù)為 0 ； 3性質(zhì)： 若兩圓有兩條外（內(nèi)）公切線，并且相交，則兩圓的連心線必經(jīng)過交點且平分這兩條公切線 的夾角； 若兩圓外切，則兩圓的連心線垂直兩圓的內(nèi)公切線；若兩圓內(nèi)切，則兩圓的連心線垂直兩圓 的外公切線. 特別地，若兩圓為等圓，則它的兩條外公切線均與連心線平行. 4. 公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長. 5. 公切線長定理：兩圓的兩