圓的相似綜合題

1、相似與圓綜合題目練習(xí) 2. (2013?湛江)如圖，已知 AB 是O O 的直徑，P 為OO 外一點(diǎn)，且 OP/ BC, / P=Z BAC . (1) 求證：PA 為O O 的切線； (2) 若 OB=5 , OP=，求 AC 的長. 3. (2013?營口)如圖，點(diǎn) C 是以 AB 為直徑的O O 上的一點(diǎn)，AD 與過點(diǎn) C 的切線互相垂直，垂足為點(diǎn) D . (1) 求證：AC 平分/ BAD ; (2) 若 CD=1 , AC= . | ，求OO 的半徑長. 4. ( 2013?西寧)如圖，O O是厶ABC 的外接圓，BC 為O O 直徑，作/CAD= / B，且點(diǎn) D 在 BC 的延長

2、線上，CE 丄 AD 于點(diǎn) E. (1) 求證：AD 是O O 的切線; (2) 若O O 的半徑為 8, CE=2，求 CD 的長. 6. (2013?寧夏)在 RtA ABC 中，/ ACB=90 D 是 AB 邊上的一點(diǎn)，以 BD 為直徑作 O O 交 AC 于點(diǎn) E,連結(jié) DE 并延長，與BC 的延長線交于點(diǎn) F.且 BD=BF . (1) 求證：AC 與O O 相切. (2) 若 BC=6 , AB=12，求 O O 的面積. 7. (2013?黃岡)如圖，AB 為OO 的直徑，C 為O O 上一點(diǎn)，AD 和過 C 點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為 D，且 AC 平 分 / DAB . (1

3、) 求證：DC 為O O 的切線； (2) 若O O 的半徑為 3, AD=4，求 AC 的長. 9. (2013?朝陽)如圖，直線 AB 與O O 相切于點(diǎn) A，直徑 DC 的延長線交 AB 于點(diǎn) B , AB=8 , OB=10 (1) 求O O 的半徑. (2) 點(diǎn) E 在O O 上，連接 AE , AC , EC,并且 AE=AC ,判斷直線 EC 與 AB 有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論. (3) 求弦 EC 的長.11. (2013?巴中)如圖，在平行四邊形 ABCD 中，過點(diǎn) A 作 AE 丄 BC,垂足為 E,連接 DE , F 為線段 DE 上一點(diǎn), 且 / AFE= /

4、B (1) 求證： ADF DEC ; (2) 若 AB=8 , AD=6 . ;, AF=4 -二求 AE 的長. 12. (2012?岳陽)如圖所示，在 O O 中，=，弦 AB 與弦 AC 交于點(diǎn) A，弦 CD 與 AB 交于點(diǎn) F,連接 BC. (1) 求證：AC2=AB ?AF ； (2) 若O O 的半徑長為 2cm, / B=60 求圖中陰影部分面積. 14. (2012?陜西)如圖，正三角形 ABC 的邊長為 3+. :. (1) 如圖，正方形 EFPN 的頂點(diǎn) E、F 在邊 AB 上，頂點(diǎn) N 在邊 AC 上，在正三角形 ABC 及其內(nèi)部，以點(diǎn) A 為 位似中心，作正方形 E

5、FPN 的位似正方形 E F P N 且使正方形 E F P N 的面積最大(不要求寫作法)； (2) 求(1)中作出的正方形 E FP N 的邊長； (3) 如圖，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在邊 AB 上，點(diǎn) P、N 分別在 邊 CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由. 圖 圖 15. (2012?河南)類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補(bǔ) 充完整. 原題：如圖 1，在平行四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 是線段 AE 上一點(diǎn)，BF 的延長線交

6、射線 CD 于點(diǎn) G.若 型=3，求里的值. EF CG 繆的值是 (2)類比延伸 如圖 2,在原題的條件下, 若塑=m (m0),則 EF -的值是 (用含有 m 的代數(shù)式表示)，試寫出解答 (1) 在圖 嘗試探究 1 中，過點(diǎn) E作 EH / AB 交 BG 于點(diǎn) H, 則 AB 和 EH 的數(shù)量關(guān)系是 ,CG 和 EH 的數(shù)量關(guān)系是 G 過程. (3) 拓展遷移 DC / AB，點(diǎn) E 是 BC 的延長線上的一點(diǎn)， AE 和 BD 相交于點(diǎn) F. 杠!： =a,上=b, (a0, CD BE b 0) ，則型的值是 (用含 a、b 的代數(shù)式表示) EF如圖 3,梯形 ABCD 中, 初中

7、數(shù)學(xué)組卷 一.解答題(共 15 小題) 2. (2013?湛江)如圖，已知 AB 是O O 的直徑，P 為O O 外一點(diǎn)，且 (1) 求證：PA 為O O 的切線； 考點(diǎn)：切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì). 分析： (1)欲證明 PA 為O O 的切線，只需證明 OA丄 AP ; 2)通過相似三角形 ABC s PAO 的對應(yīng)邊成比例來求線段 解答： (1)證明：/ AB 是O O 的直徑， / ACB=90 / BAC+ / B=90 又/ OP/ BC , / AOP= / B , / BAC+ / AOP=90 / / P=Z BAC . / P+Z AOP=90 由三角形內(nèi)

8、角和定理知 Z PAO=90 即 OA 丄 AP. 又/ OA 是的O O 的半徑， PA 為O O 的切線; （2）解：由（1）知，Z PAO=90 / OB=5 , OA=OB=5 . 又/ OP, 3 在直角 APO 中，根據(jù)勾股定理知 PA=二 I , 由（1）知，Z ACB= Z PAO=90 / Z BAC= Z P, ABC POA , AB AC P0= PA 10 AC 25= 2 0 3 3 (2) 若 OB=5 , OP=，求 AC 的長. OP / BC, Z P=Z BAC . AC 的長度. 解得 AC=8 .即 AC 的長度為 8. 點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)有切線的

9、判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等, 進(jìn)而得到兩個三角形相似，是解答( 2)題的關(guān)鍵. 3. (2013?營口)如圖，點(diǎn) C 是以 AB 為直徑的O O 上的一點(diǎn)，AD 與過點(diǎn) C 的切線互相垂直，垂足為點(diǎn) D . (1) 求證：AC 平分/ BAD ; (2) 若 CD=1 , AC= . | i,求OO 的半徑長. 考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì). 專題： 壓軸題. 分析： (1) 連接 OC.先由 OA OC,可得/ ACO / CAO,再由切線的性質(zhì)得出 OC 丄 CD，根據(jù)垂直于冋一直線 的兩直線平行得到 AD / CO,由平行

10、線的性質(zhì)得 / DAC= / ACO，等量代換后可得 / DAC= / CAO ,即卩 AC 平分/ BAD ; (2) 解法一：如圖 2，過點(diǎn) O 作 OE 丄 AC 于 E.先在Rt ADC 中，由勾股定理求出 AD=3，由垂徑定 理求出 AE=丄!衛(wèi)，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明 AEO ADC，由相似三角形對應(yīng)邊成比例 2 | 得到塑旦，求出 AO=-!，即OO 的半徑為上；解法二：如圖 2，連接 BC .先在 Rt ADC 中，由勾股 AD AC 3 g 定理求出 AD=3，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明 ABC ACD，由相似三角形對應(yīng)邊成比例 得到塑型，求出AB=2

11、2，則O O 的半徑為上. AD AC 3 3 解答： (1)證明：連接 OC . / OA=OC , / ACO= / CAO . / CD 切 O O 于 C, OCXCD, 又/ AD 丄 CD , AD / CO , / DAC= / ACO , / DAC= / CAO , 即 AC 平分/ BAD ; (2)解法一：如圖 2，過點(diǎn) O 作 OE 丄 AC 于 E.在 Rt ADC 中，AD= VAC2-DC2=7 -K, / 0E 丄 AC , 2 | 2 / / CAO= / DAC , / AEO= / ADC=90 AEO s ADC , Vio 二一 J 即： 肓， i，

12、A0=5，即O O的半徑為衛(wèi). 國 3 解法二：如圖 2，連接 BC . 在 Rt ADC 中，2=寸人嚴(yán)口”=4（怖）龍_注3. / AB 是 O O 直徑， / ACB=90 / / CAB= / DAC , / ACB= / ADC=90 ABC ACD , 二 i-L m 即 _ , 3 710 vio AE=AC= 圖？ 即0 0的半徑為二 點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形、平行線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)此 題難度適中，注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 4. ( 2013?西寧)如圖，O O 是厶 ABC 的外接圓，BC 為O O 直徑，作/

13、CAD= / B，且點(diǎn) D 在 BC 的延長線上，CE 丄 AD 于點(diǎn) E. (1)求證：AD 是O O 的切線； 考點(diǎn)： 切線的判定；解分式方程；相似三角形的判定與性質(zhì). 分析： (1) 首先連接 OA,由 BC 為 O O 直徑，CE 丄 AD , / CAD= / B ,易求得 / CAD+ / OAC=90 即/OAD=90 則可證得 AD 是O O 的切線； (2) 易證得 CED OAD， 然后設(shè) CD-x，則 OD=x+8 ,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例， 可得方程： 解答： (1)證明：連接 OA , / BC 為O O 的直徑， / BAC-90 / B+ / ACB-90 /

14、 OA-OC , / OAC- / OCA , / / CAD- / B , / CAD+ / OAC-90 即 / OAD-90 OA 丄 AD , 點(diǎn) A 在圓上， AD 是O O 的切線； (2)解：/ CE 丄 AD , / CED= / OAD=90 CE / OA , CED OAD , ,CE=2, 設(shè) CD=x，貝 U 0D=x+8 , 即, 解得 x= 經(jīng)檢驗(yàn) x=二是原分式方程的解, 3 此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)此題難度適中，注意掌握輔助 線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 5. (2013?紹興)在 ABC 中，/ C

15、AB=90 AD 丄 BC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)，EC 與 AD 交于點(diǎn) G,點(diǎn) F 在 BC 上. (1) 如圖 1, AC : AB=1 : 2, EF 丄 CB,求證：EF=CD . (2) 如圖 2, AC : AB=1 : 二 EF 丄 CE,求 EF: EG 的值. 圍 1 2 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì). 專題：壓軸題. 分析：(1)根據(jù)同角的余角相等得出 / CAD= / B，根據(jù) AC : AB=1 : 2 及點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)，得出 AC=BE，再 利用 AAS 證明 ACD BEF，即可得出 EF=CD ; (2)作 EH 丄

16、 AD 于 H, EQ 丄 BC 于 Q,先證明四邊形 EQDH 是矩形，得出 / QEH=90 則/ FEQ= / GEH , 再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明 EFQ EGH，得出 EF: EG=EQ : EH，然后在 BEQ中，根據(jù) 1 Jg 正弦函數(shù)的定義得出 EQ=BE，在 AEH 中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出 EH= _ AE，又 BE=AE，進(jìn)而求出 2 2 EF : EG 的值. 解答：(1)證明：如圖 1, 在厶 ABC 中，/ Z CAB=90 AD 丄 BC 于點(diǎn) D , Z CAD= Z B=90 - Z ACB . / AC : AB=1 : 2, AB=2AC ,

17、點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， AB=2BE , AC=BE .點(diǎn)評: 所以 CD=li. 在厶 ACD 與厶 BEF 中， fZCAD=ZB ZADC=ZBFE=90 IAOBE ACD BEF , CD=EF，即 EF=CD ; (2)解：如圖 2，作 EH 丄 AD 于 H , EQ 丄 BC 于 Q, / EH 丄 AD , EQ 丄 BC, AD 丄 BC , 四邊形 EQDH 是矩形， / QEH=90 / FEQ= / GEH=90 - / QEG , 又/ / EQF= / EHG=90 EFQEGH , EF: EG=EQ: EH. / AC : AB=1 :小，/ CAB=90

18、 / B=30 在厶 BEQ 中，/ / BQE=90 sin / B= EQ4BE . AS 2 EH= E 點(diǎn) E 為 AB 的中點(diǎn)， BE=AE , EF： EG=EQ : EHTBE：亨心航 Hl 點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜 合性較強(qiáng)，有一定難度解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形 EQDH 是矩形. 6. (2013?寧夏)在 RtA ABC 中，/ ACB=90 D 是 AB 邊上的一點(diǎn)，以 BD 為直徑作 O O 交 AC 于點(diǎn) E,連結(jié) DE 并延長，與在厶 AEH 中，/ / AHE=90

19、 / AEH= / B=30 C BC 的延長線交于點(diǎn) F.且 BD=BF . (1) 求證：AC 與O O 相切. (2) 若 BC=6 , AB=12，求 O O 的面積. 考點(diǎn)：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì). 分析： (1)連接 OE，求出/ ODE= / F= / DEO，推出 OE/ BC ,得出 OE 丄 AC ,根據(jù)切線的判定推出即可; (2)證厶 AEO ACB，得出關(guān)于 r 的方程，求出 r 即可. / OD=OE , / ODE= / OED , / BD=BF , / ODE= / F, / OED= / F, OE / BF , / AEO= / ACB=90 A

20、C 與O O 相切； (2)解：由(1)知/ AEO= / ACB，又/ A= / A , AOE ABC , ， f r 12- r 設(shè)O O 的半徑為 r, 6 12 解得：r=4, O O 的面積n 42=16 兀 點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主 要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力，用了方程思想. 7. (2013?黃岡)如圖，AB 為OO 的直徑，C 為O O 上一點(diǎn)，AD 和過 C 點(diǎn)的直線互相垂直，垂足為 D，且 AC 平 分 / DAB . (1) 求證：DC 為O O 的切線； (2) 若O O 的半徑為 3, AD=

21、4，求 AC 的長. 考點(diǎn)：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì). 分析：(1)連接 0C,由 OA=OC 可以得到/ OAC= / OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明 / DAC= / OCA , 接著利用平行線的判定即可得到 OC/ AD，然后就得到 0C 丄 CD，由此即可證明直線 CD 與OO 相切于 C 占； 八、 2)連接 BC,根據(jù)圓周角定理的推理得到 / ACB=90 又/ DAC= / OAC ,由此可以得到 ADC ACB , 然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題. 解答：(1)證明：連接 0C OA=OC / OAC= / OCA / AC 平分 / DAB / DAC

22、= / OAC / DAC= / OCA OC / AD / AD 丄 CD OC 丄 CD 直線 CD 與O O 相切于點(diǎn) C; (2)解：連接 BC,則/ ACB=90 / / DAC= / OAC , / ADC= / ACB=90 ADC ACB , 二二 AC2=AD ?AB , / O O 的半徑為 3, AD=4 , AB=6 , AC=2 . . 點(diǎn)評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件 證明三角形相似即可解決問題. 點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)， (1 )求出三角形全等的條件 /仁/

23、 E 是 解題的關(guān)鍵，(2) (i)根據(jù)兩次三角形相似求出 AP=BF 是解題的關(guān)鍵，(ii)判斷出路徑為三角形的中位線 是解題的關(guān)鍵. 9. (2013?朝陽)如圖，直線 AB 與O O 相切于點(diǎn) A，直徑 DC 的延長線交 AB 于點(diǎn) B , AB=8 , OB=10 (1) 求O O 的半徑. (2) 點(diǎn) E 在O O 上，連接 AE , AC, EC,并且 AE=AC ,判斷直線 EC 與 AB 有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論. 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì). 分析：(1)連接 OA，交 EC 于 F，根據(jù)切線性質(zhì)得出 / OAB=90 根據(jù)勾股定理求出即可；

24、(2) 根據(jù) AE=AC 推出弧 AE=弧 AC,根據(jù)垂徑定理求出 OA 丄 EC,根據(jù)平行線判定推出即可; (3) 證厶 OFCOAB，求出 FC,根據(jù)垂徑定理得出 EC=2FC ,代入求出即可. 解答： (1)解：連接 AO ,交 EC 于 F, / AB 切 O O 于 A , OA 丄 AB , / OAB=90 在 Rt OAB 中，由勾股定理得： OA= | | 二=-=6, 答：OO 的半徑是 6. (2) 直線 EC 與 AB 的位置關(guān)系是 EC / AB . 證明：/ AE=AC , 弧 AE=弧 AC , / OA 過 O, OA 丄 EC, / OA 丄 AB , EC

25、/ AB . (3) 解：/ EC / AB , OFCOAB , FC 0C -= 曲 6 8 10 FC= 24 / OA 丄 EC , OA 過 O , 點(diǎn)評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué) 生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力. 10. (2013?百色)如圖，在等腰梯形 ABCD 中，DC / AB , E 是 DC 延長線上的點(diǎn)，連接 AE，交 BC 于點(diǎn) F. (1) 求證： ABF ECF; 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰梯形的性質(zhì). 分析：(1)由 兩直線平行，內(nèi)錯角相等 ”推知/ B= / ECF, / BAF= /

26、 E.則由 兩角法”證得結(jié)論； (2) 利用(1)中的相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到 口丄，即丄=衛(wèi)所以CE=_J (cm). CE CT CE 2 3 解答： (1)證明：/ DC / AB , / B= / ECF, / BAF= / E, ABF ECF . (2)解：在等腰梯形 ABCD 中，AD=BC , AD=5cm , AB=8cm , CF=2cm , BF=3cm . / 由(1)知， ABF ECF , 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等腰梯形的兩腰相等. 11. (2013?巴中)如圖，在平行四邊形 ABCD 中，過點(diǎn) A 作 AE 丄 BC,垂足為 E,連

27、接 DE , F 為線段 DE 上一點(diǎn), 且 / AFE= / B 考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì). 專題： 壓軸題. 分析： (1) 利用對應(yīng)兩角相等，證明兩個三角形相似 ADF DEC ； (2) 利用 ADF DEC，可以求出線段 DE 的長度；然后在在 Rt ADE 中，利用勾股定理求出線段 AE 的長度. BF C 8 .3 CE 點(diǎn)評: 體，求 AE 的長. 求 CE 的長. ，即 cm). (1)求證： ADF DEC ; 解答： (1)證明：/ ?ABCD , AB / CD, AD / BC , / C+Z B=180 / ADF= / DEC .

28、 / Z AFD+ Z AFE=180 Z AFE= Z B, Z AFD= Z C. 在厶 ADF 與厶 DEC 中， fZAFD=ZC rtZADF=ZDEC AC=2AE=2 cm , ADF sDEC . (2)解：/ ?ABCD , CD=AB=8 . 由(1)知 ADF s DEC , 鏈 DE=亞 g_12 CD，AF 血 在 Rt ADE 中，由勾股定理得： AE珂曲-血I -翻) 5 點(diǎn)評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理三個知識點(diǎn)題目難度不大，注 意仔細(xì)分析題意，認(rèn)真計(jì)算，避免出錯. O O 中，=，弦 AB 與弦 AC 交于點(diǎn) A，弦 CD

29、 與 AB 交于點(diǎn) F,連接 BC. (1) 求證：AC2=AB ?AF ； (2) 若O O 的半徑長為 2cm, / B=60 求圖中陰影部分面積. 考點(diǎn)： 扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì). 專題： 幾何綜合題. 分析： (1) 由 r, L 呻,利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等 的兩三角形相似可得出 ACF 與厶 ABC 相似，根據(jù)相似得比例可得證； (2) 連接 OA , OC ,利用同弧所對的圓心角等于圓周角的 2 倍，由/ B 為 60求出/ AOC 為 120 過 O 作 OE 垂直于 AC,

30、垂足為點(diǎn) E ,由 OA=OC ,利用三線合一得到 OE 為角平分線，可得出 / AOE 為 60在 Rt AOE中，由 OA 及 cos60的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出 OE 的長，在 Rt AOE 中，利用勾股定理 求出 AE 的長，進(jìn)而求出 AC 的長，由扇形 AOC 的面積- AOC 的面積表示出陰影部分的面積，利用扇形 的面積公式及三角形的面積公式即可求出陰影部分的面積. 解答： (1)證明：-匸 / ACD= / ABC , 又 / BAC= / CAF , ACF ABC , 斗十，即 AC2=AB?AF ； (2)解：連接 OA , OC,過 O 作 OE 丄 AC,垂足為點(diǎn)

31、 E, 如圖所示： / / ABC=60 / AOC=120 , 又 OA=OC , / AOE= / COE=XI20 60 2 在 Rt AOE 中，OA=2cm , OE=OAcos60 =1cm, cm, 12. (2012?岳陽)如圖所示，在 2 則 S 陰影=S 扇形 OAC - SAOC=1 戈。兀 2 2 - 3xi=73) cm2. 350 2 3 點(diǎn)評：此題考查了扇形面積的求法，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，弧、圓心角及弦之間的關(guān)系，等 腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵. 14. (2012?陜西)如圖，正三角形 AB

32、C 的邊長為 3+. :. (1) 如圖，正方形 EFPN 的頂點(diǎn) E、F 在邊 AB 上，頂點(diǎn) N 在邊 AC 上，在正三角形 ABC 及其內(nèi)部，以點(diǎn) A 為 位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 EFPN,且使正方形 EFPN 的面積最大(不要求寫作法)； (2) 求(1)中作出的正方形 E F P N 的邊長； (3) 如圖，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 DE、EF 在邊 AB 上，點(diǎn) P、N 分別在 邊 CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由. 考點(diǎn)：位似變換；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì). 專題：幾何綜

33、合題；壓軸題. 分析：(1)利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形 EFPN 的位似正方形 E F PN ，如答圖所示； (2) 根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式 E F+AE+BF =AB，列方程求得 正方形 E F P N 的邊長； (3) 設(shè)正方形DEMN、正方形 EFPH 的邊長分別為 m、n (m 務(wù)),求得面積和的表達(dá)式為： S 二二(m- n) 2 2 2，可見 S 的大小只與 m、n的差有關(guān)： 當(dāng) m=n時，S 取得最小值； 當(dāng) m 最大而 n最小時，S 取得最大值.m 最大 n最小的情形見第(1) ( 2)問. 解答：解：(1)如圖，正方形 E F P N 即為所求. (2)設(shè)正方形 E F P N 的邊長為 x. ABC 為正三角形, AE =BF = _ x. x=，