第九章 梁彎曲(2)應力(于英1001)

1、9-2 9-2 梁的彎曲內力梁的彎曲內力剪力和彎矩剪力和彎矩 9-3 9-3 用內力方程法繪制剪力圖和彎矩圖用內力方程法繪制剪力圖和彎矩圖9-4 9-4 用微分關系法繪制剪力圖和彎矩圖用微分關系法繪制剪力圖和彎矩圖9-5 9-5 用疊加法畫彎矩圖用疊加法畫彎矩圖9-69-6 梁彎曲時的應力及強度計算梁彎曲時的應力及強度計算 9-7 9-7 梁的變形梁的變形 9-8 9-8 梁的應力狀態(tài)梁的應力狀態(tài) 第九章第九章 梁的彎曲梁的彎曲9-1 9-1 平面彎曲平面彎曲一、梁橫截面上的正應力一、梁橫截面上的正應力三、梁的強度條件三、梁的強度條件四、四、提高彎曲強度的一些措施提高彎曲強度的一些措施(了解了

2、解) 9-6 9-6 梁彎曲時的應力及強度計算梁彎曲時的應力及強度計算二、梁橫截面上的剪（切）應二、梁橫截面上的剪（切）應力力MV MVM 9-6 9-6 梁彎曲時的應力及強度計算梁彎曲時的應力及強度計算 V梁彎曲時橫截面上的應力梁彎曲時橫截面上的應力彎曲正應力彎曲正應力彎曲剪（切）應力彎曲剪（切）應力剪（切）應力剪（切）應力 正應力正應力 梁的內力：梁的內力：梁的應力：梁的應力：Fa(+)M圖圖Fa橫力彎曲橫力彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時，橫截面上既有彎矩又時，橫截面上既有彎矩又有剪力（有剪力（ ）。）。0,0MV FFFV圖圖(+)(-)F純彎曲純彎曲梁彎曲變形梁彎曲變形時，橫截面上只有彎矩

3、時，橫截面上只有彎矩而無剪力（而無剪力（ ）。）。0,0MV 純彎曲純彎曲橫力橫力彎曲彎曲橫力橫力彎曲彎曲一、梁橫截面上的正應力一、梁橫截面上的正應力FFlaaABDC實驗現(xiàn)象實驗現(xiàn)象1122cabd1122cabdMMabcd1212MM平平截截面面假假設設單單向向受受力力假假設設一、梁橫截面上的正應力一、梁橫截面上的正應力 （1）平截面假設平截面假設 各橫向線代表橫截面，各橫向線代表橫截面，變形前后都是直線，表變形前后都是直線，表明橫截面變形后仍保持明橫截面變形后仍保持平面，且仍垂直于彎曲平面，且仍垂直于彎曲后的梁軸線。后的梁軸線。 （2）單向受力假設單向受力假設 將梁看成由無數纖維組將梁

4、看成由無數纖維組成，各纖維只受到軸向成，各纖維只受到軸向拉伸或壓縮，不存在相拉伸或壓縮，不存在相互擠壓?；D壓。上邊縮短上邊縮短下邊伸長下邊伸長長度保持長度保持不變的縱不變的縱向纖維向纖維中性軸中性軸：中性層與橫截面的交線。：中性層與橫截面的交線。中性層中性層：既不伸長也不縮短：既不伸長也不縮短的一層纖維層。的一層纖維層。1 1正應力分布規(guī)律正應力分布規(guī)律結論結論: 純彎曲梁段純彎曲梁段橫橫截面上只有正應力無截面上只有正應力無剪應力剪應力MMMM梁彎曲時橫截梁彎曲時橫截面上的正應力面上的正應力沿截面高度呈沿截面高度呈線性分布規(guī)律線性分布規(guī)律變化變化 1 1正應力分布規(guī)律正應力分布規(guī)律zMyI

5、2 2正應力計算公式正應力計算公式距中性層為距中性層為 y 處的正應力處的正應力: minM max中性軸通過截面形心中性軸通過截面形心梁的上下邊緣處，有最大彎曲正應力，值為：梁的上下邊緣處，有最大彎曲正應力，值為： zyxM maxmaxzzMM|(I / y)W zzmaxIWy Wz抗彎截面模量抗彎截面模量 minM maxM 3.3.橫截面上最大正應力橫截面上最大正應力maxmaxzM yI maxzMI / y zWM1.1.矩形截面矩形截面321226zzzbhIIbhWh/ 4.典型截面對中性軸的慣性矩和典型截面對中性軸的慣性矩和抗彎截面模量抗彎截面模量2.2.實心圓截面實心圓截

6、面4464264zzzdIIdWd / 3.截面為外徑截面為外徑D、內、內徑徑d(a a=d/D)的空心圓的空心圓: 44341641232zzzDI()IDW()D/ a a a a zbhzddzD)(Ddaz5.5.橫截面上正應力的畫法橫截面上正應力的畫法 線彈性范圍線彈性范圍正應力小于比例極限正應力小于比例極限 p； 精確適用于純彎曲梁；精確適用于純彎曲梁； ( )1( )( )zzM xyM xIxEI ，6.6.公式適用范圍公式適用范圍1zMEI 對于橫力彎曲的細長梁對于橫力彎曲的細長梁(跨度與截面高度比跨度與截面高度比 l / h 5)，上述公式的誤差不大，但公式中的，上述公式的

7、誤差不大，但公式中的M應為所研究截應為所研究截面上的彎矩，即為截面位置的函數。面上的彎矩，即為截面位置的函數。 minM max minM maxzMyI zEI抗彎剛度抗彎剛度。 注意注意： （1 1）在計算正應力前，）在計算正應力前，必須弄清楚所要求的是哪必須弄清楚所要求的是哪個截面上的正應力個截面上的正應力，從而確定該截面上的彎矩及該截從而確定該截面上的彎矩及該截面對中性軸的慣性矩面對中性軸的慣性矩；以及；以及所求的是該截面上哪一點所求的是該截面上哪一點的正應力的正應力，并，并確定該點到中性軸的距離確定該點到中性軸的距離。 （2 2）要特別注意）要特別注意正應力在橫截面上沿高度呈線性正應

8、力在橫截面上沿高度呈線性分布的規(guī)律分布的規(guī)律，在中性軸上為零，而，在中性軸上為零，而在梁的上下邊緣處在梁的上下邊緣處正應力最大正應力最大。 （4 4）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣）必須熟記矩形截面、圓形截面對中性軸的慣性矩的計算式。性矩的計算式。 （3 3）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓，）梁在中性軸的兩側分別受拉或受壓，正應力正應力的正負號（拉或壓）可根據彎矩的正負及梁的變形狀的正負號（拉或壓）可根據彎矩的正負及梁的變形狀態(tài)來確定態(tài)來確定。 注意注意： V1 1剪剪( (切切) )應力分布規(guī)律假設應力分布規(guī)律假設（2）橫截面上距中性軸等距離各點處剪）橫截面上距中性軸等距離各點處剪(

9、切切)應力大小應力大小 相等，即沿截面寬度為均勻分布。相等，即沿截面寬度為均勻分布。*A（1）各點處的剪）各點處的剪(切切)應力應力 都與剪力都與剪力V方向一致；方向一致； 二、梁橫截面上的剪二、梁橫截面上的剪(切切)應力應力（3）剪）剪(切切)應力大小沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。應力大小沿截面高度按拋物線規(guī)律變化。 V1 1剪剪( (切切) )應力分布規(guī)律假設應力分布規(guī)律假設*zzVSI b bhzycyc*A2 2矩形截面梁的剪（切）應力計算公式矩形截面梁的剪（切）應力計算公式矩形截面梁矩形截面梁橫截面上橫截面上的最大剪（切）應力的最大剪（切）應力max31 52VV.bhA maxy z

10、3 3工字形截面梁的剪應力工字形截面梁的剪應力 *zzVSI d 對于工字鋼，對于工字鋼，* maxzzIS可由型鋼表中查得?？捎尚弯摫碇胁榈谩Ｒ砭壱砭?dmax maxmaxmax max*z*zzzVSVI d(IS)d zy腹板腹板bymax V3 3工字形截面梁的剪應力工字形截面梁的剪應力1 1、彎曲正應力強度條件：、彎曲正應力強度條件：maxmax zMW可解決工程中有關強度方面的三類問題：可解決工程中有關強度方面的三類問題：（1 1）強度校核強度校核，即已知，即已知 檢驗梁是否安全；檢驗梁是否安全；, ,maxzWM（2 2）設計截面設計截面，即已知，即已知 可由可由 確定確定 截

11、面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxMmaxMWz（3 3）求許可載荷求許可載荷，即已知，即已知 可由可由 確定。確定。, ,ZWmaxzWM 三、梁的強度條件三、梁的強度條件maxmaxmaxz *zVSI b 與正應力強度條件相似，也可以進行與正應力強度條件相似，也可以進行有關強度方面的有關強度方面的三類計算：三類計算： 1、強度校核，、強度校核，2、截面設計，、截面設計，3、確定梁的許可荷載、確定梁的許可荷載 但通常用于但通常用于校核校核。特殊的特殊的：1、梁的最大彎矩小，而最大剪力大；、梁的最大彎矩小，而最大剪力大；2、焊接組合截面，腹板厚度與梁高之比小于型鋼的相應比值；、焊接組合截面，

12、腹板厚度與梁高之比小于型鋼的相應比值； 3、木梁因其順紋方向的抗剪強度差。、木梁因其順紋方向的抗剪強度差。需進行切應力強度計算。需進行切應力強度計算。2.2.彎曲剪（彎曲剪（切）應力強度條件：切）應力強度條件：2.2.剪（剪（切）應力強度條件：切）應力強度條件： 在梁的強度計算中，必須在梁的強度計算中，必須同時滿足正應同時滿足正應力和剪（切）應力兩個強度條件力和剪（切）應力兩個強度條件。通常先按。通常先按正應力強度條件設計出截面尺寸，然后按剪正應力強度條件設計出截面尺寸，然后按剪（切）應力強度條件進行校核。（切）應力強度條件進行校核。 三、梁的強度條件三、梁的強度條件1 1、彎曲正應力強度條件

13、：、彎曲正應力強度條件：maxmax zMWmaxmaxmaxz *zVSI b3.在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：在進行梁的強度計算時，需注意以下問題：（1 1）對于）對于細長梁細長梁的彎曲變形，的彎曲變形，正應力的強度條件是正應力的強度條件是主要的主要的，剪應力的強度條件是次要的剪應力的強度條件是次要的。但對于。但對于校粗的校粗的短梁短梁，當集中力較大時，截面上的，當集中力較大時，截面上的剪力較大剪力較大而而彎矩較彎矩較小小，或是，或是薄壁截面梁薄壁截面梁時，也需要時，也需要校核剪應力強度校核剪應力強度。例如例如:lABF0.9lABFF0.2l0.2l0.6lFV圖圖F+-V圖圖0

14、.9F0.1F+-M圖圖0.09Fl-M圖圖0.2Fl+【例例9-23】如圖所示，一懸臂梁長如圖所示，一懸臂梁長l=1.5m，自由端，自由端 受集中力受集中力F=32kN作用，梁由作用，梁由22a工字鋼制成，工字鋼制成， 自重按自重按q=0.33kN/m計算，計算， 。試校核。試校核 梁的正應力強度。梁的正應力強度。160MPa 3cm 309zW【解解】求最大彎矩的絕對值求最大彎矩的絕對值2 2查型鋼表，查型鋼表，22a22a工字鋼的抗彎截面系數為：工字鋼的抗彎截面系數為： 3 3校核正應力強度校核正應力強度 滿足正應力強度條件滿足正應力強度條件2max22132 1 50 33 1 548

15、 4 kN m2qlMFl. 6maxmax348 4 10157 MPa309 10zM.W FqlAB M圖(kNm)34【例例9-24】一熱軋普通工字鋼截面簡支梁，如圖所示，一熱軋普通工字鋼截面簡支梁，如圖所示，已知：已知：l=6m，F(xiàn)1=15kN，F(xiàn)2=21kN，鋼材的許用應力，鋼材的許用應力，試選擇工字鋼的型號。，試選擇工字鋼的型號。 170MPa 1)求支反力求支反力17kN()19kN()ABRR 【解】【解】1畫彎矩圖，確定畫彎矩圖，確定maxABF1l/3l/3l/3F2RARB33361cm 5 .223mm 105 .2231701038maxMWz由附錄查型鋼表得由附錄

16、查型鋼表得2020a工字鋼的工字鋼的z=237cm3，略，略大于所需的大于所需的Wz1 =237cm3，故采用，故采用20a20a號工字鋼。號工字鋼。2 2計算工字鋼梁所需的抗彎截面系數為計算工字鋼梁所需的抗彎截面系數為2)繪繪圖，最大彎矩發(fā)生在圖，最大彎矩發(fā)生在F2作用截面上，其值為作用截面上，其值為1)求支反力求支反力17kN()19kN()ABRR max38kNm3 3選擇工字鋼型號選擇工字鋼型號【解】【解】1 1畫彎矩圖，確定畫彎矩圖，確定maxmax【例【例9-24】【例【例9-25】 如圖所示，如圖所示，40a號工字鋼簡支號工字鋼簡支 梁，梁， 跨度跨度l=8m，跨中點受集中力，

17、跨中點受集中力F 作用。已知作用。已知F140MPa，考慮自重，求許用荷載，考慮自重，求許用荷載【解】【解】 1求最大彎矩求最大彎矩工字鋼每米長自重工字鋼每米長自重q67.6kgf/m676N抗彎截面系數抗彎截面系數Wz1090cm3 mN )25408(8418676814822maxFFFlqlM2由型鋼表查有關數據由型鋼表查有關數據AB4m4mFzmaxWM631014010109025408FkN 73.6N 73600F3按強度條件求許用荷載按強度條件求許用荷載 解得根據強度條件【解】【解】 1求最大彎矩求最大彎矩工字鋼每米長自重工字鋼每米長自重q67.6kgf/m676N抗彎截面系

18、數抗彎截面系數Wz1090cm3 mN )25408(8418676814822maxFFFlqlM2由型鋼表查有關數據由型鋼表查有關數據【例【例9-25】【例【例9-26】 一外伸工字型鋼梁，字鋼的型號為一外伸工字型鋼梁，字鋼的型號為22a，梁上荷載如圖，梁上荷載如圖a所示。已知所示。已知l6m，F(xiàn)30kN，q6kN/m， ， ，170MPa檢查此梁是否安全。檢查此梁是否安全。100MPa【解】【解】1繪剪力繪剪力 圖、彎矩圖，確圖、彎矩圖，確 定最大內力。定最大內力。Mmax39kNm Vmax17 kNm1)求支反力求支反力29kN()13kN()BDRR2)繪繪M、V圖圖BD2m3m3

19、mF=30kNACq=6kN/mRBRD121713V 圖圖(kN)1713+-39M圖圖(kN.m)12+-cm 9 .18*maxSzIMPa 170MPa 12610309103936maxmaxzWM 2由型鋼表查得有關數據由型鋼表查得有關數據 梁是安全的。梁是安全的。3校核正應力強度及切應力強度校核正應力強度及切應力強度b0.75cm Wz309cm3【例【例9-26】Mmax39kNm Vmax17 kNm【解】【解】1繪剪力圖、彎矩圖，確定最大內力繪剪力圖、彎矩圖，確定最大內力maxmaxmaxz*zVSI d 3171018 9107 5. 12MPa =100MPa 對于對于

20、T字形截面，字形截面，,max2max1yy則則,max11yIWzz1maxmaxzWMmaxmaxz2M,W 對于對于低碳鋼低碳鋼等材料，等材料，,因此只需計算因此只需計算1maxmaxzWM對于對于鑄鐵鑄鐵材料，材料，,因此需計算因此需計算1maxmaxzWM,2maxmaxzWMzmax2ymax1ymax22yIWzz4. 4. T字形截面梁的應力字形截面梁的應力( (了解了解) )200mm30200mmyczzcyD)(maxD)(maxzA)(maxA)(maxzAB2m1m3mP=20kNCDq=10kN/m10M圖圖(kN.m)20+-30kN()10kN()ADRR RA

21、RB例例:四、提高彎曲強度的一些措施四、提高彎曲強度的一些措施( (了解了解) )彎曲正應力強度條件：彎曲正應力強度條件：maxmaxzWM在在 一定時，提高彎曲強度的主要途徑：一定時，提高彎曲強度的主要途徑：max,MWz（一）、選擇合理截面（一）、選擇合理截面（1 1）矩形截面中性軸附近的材）矩形截面中性軸附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根據應力分布的規(guī)律選擇：、根據應力分布的規(guī)律選擇：z截面積相同時截面積相同時：工字形優(yōu)于：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。形優(yōu)于圓形。（一）、選擇合理截面（一）、選擇合理截面（2 2）為降低重量，可在中性軸附近開孔。）為降低重量，可在中性軸附近開孔。1、根據應力分布的規(guī)律選擇：、根據應力分布的規(guī)律選擇：2、根據材料特性選擇、根據材料特性選擇:ycz1y2y使最大拉、壓應力同時達到