第十講-棋盤中的數(shù)學(xué)(一)

1、第十講 棋盤中的數(shù)學(xué)（一）什么是棋盤中的數(shù)學(xué)所謂棋盤，常見(jiàn)的有中國(guó)象棋棋盤（下圖（1），圍棋盤（下圖（2），還有國(guó)際象棋棋盤（下圖（3）以這些棋盤為背景而提出的問(wèn)題統(tǒng)稱為棋盤問(wèn)題這里面與數(shù)學(xué)推理、計(jì)算相關(guān)的棋盤問(wèn)題，就叫做棋盤中的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決棋盤中的數(shù)學(xué)問(wèn)題所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)，統(tǒng)稱棋盤中的數(shù)學(xué) 作為開(kāi)篇我們先解幾道競(jìng)賽中的棋盤問(wèn)題例1 這是一個(gè)中國(guó)象棋盤，（下圖中小方格都是相等的正方形，“界河”的寬等于小正方形邊長(zhǎng)）黑方有一個(gè)“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個(gè)，紅方有兩個(gè)“相”，它們只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的兩個(gè)位置 問(wèn)：這三個(gè)棋子（一個(gè)黑“象

2、”和兩個(gè)紅“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？解：我們?cè)O(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1單位則小方格正方形面積為1平方單位由于三個(gè)頂點(diǎn)都在長(zhǎng)方形邊上的三角形面積至多為這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半所以要比較三角形面積的大小，只要比較三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所在邊的外接長(zhǎng)方形面積的大小就可見(jiàn)端倪直觀可見(jiàn)，只須比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形面積就可以了頂點(diǎn)為（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面積為：87=28；頂點(diǎn)為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積等于： 96=27。所以頂點(diǎn)在（2，10，12）或（3，1

3、0，12）時(shí)三角形面積最大答：黑“象”在2或3的位置，兩個(gè)紅“相”分別在 10，12的位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面積最大，如下圖所示 說(shuō)明：本題是以棋盤格點(diǎn)為基礎(chǔ)組成圖形計(jì)算面積其實(shí)，這類問(wèn)題所在多有，我們把mn的方格陣稱為廣義棋盤，則可以設(shè)計(jì)出許多這類的問(wèn)題例2 下左圖是一個(gè)圍棋盤，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個(gè)正方陣時(shí)，尚多余12枚棋子，如果要將這個(gè)正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿 問(wèn)：這堆棋子原有多少枚？解：第一次排方陣剩余12枚，加上第二次排方陣所不足的9枚，恰是原正方陣擴(kuò)大后“貼邊”的部

4、分（如上右圖所示），共21枚，它恰是原正方陣每邊棋子數(shù)與“擴(kuò)陣”每邊棋子數(shù)之和恰是兩個(gè)相鄰自然數(shù)之和，所以原正方陣每邊10枚棋子，新正方陣每邊11枚棋子這堆棋子總數(shù)是 10212=112枚答：這堆棋子原有112枚說(shuō)明：本題也可以列方程求解設(shè)原正方陣每邊m枚棋子，由題意得：（m1）29m212即2m121，解得 m10所以棋子總數(shù)為10212112枚本題與圍棋盤并無(wú)本質(zhì)聯(lián)系，問(wèn)題可改述為“一堆棋子若擺成一個(gè)實(shí)心方陣，剩余12粒棋子，若改擺每邊各加一枚的方陣，則差9枚棋子，問(wèn)這堆棋子原有多少枚？”應(yīng)用圍棋盤顯得更加直觀、具體例3 如下左圖是一個(gè)國(guó)際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由

5、白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過(guò)的格子不能第二次進(jìn)入請(qǐng)問(wèn)，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)格子最后返回到A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由 解：這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條，如上右圖所示例4 在88的方格棋盤中，如下圖所示，填上了一些數(shù)字1，2，3，4試將這個(gè)棋盤分成大小和形狀都相同的四塊，并且每塊中都恰有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字 分析 注意這個(gè)正方形的面積是8864個(gè)平方單位，因此切分后的每一塊的面積為16個(gè)平方單位，即由16個(gè)小方格組成解：將兩個(gè)并列在一起的“4”分開(kāi)，先畫出這段劃分線，并將它分別繞中心旋轉(zhuǎn)90，180和270，得到另外三段劃分線，如下圖（1）所示 仿

6、照上述方法，畫出所有這樣的劃分線，如上圖（2）所示 從最里層開(kāi)始，沿著畫出的劃分線作設(shè)想分塊，如上圖（3），這個(gè)分塊中要含1，2，3，4各一個(gè)，且恰為16塊小方格將上面的陰影部分繞中心旋轉(zhuǎn)180，可以得到符合條件的另一塊，空白部分的兩塊也符合條件，所求的劃分如上頁(yè)圖（4）所示例5 國(guó)際象棋的棋盤有64個(gè)方格，有一種威力很大的棋子叫“皇后”，當(dāng)它放在某格上時(shí)，它能吃掉此格所在的斜線和直線上對(duì)方的棋子，如下左圖上虛線所示如果有五個(gè)“皇后”放在棋盤上，就能把整個(gè)棋盤都“管”住，不論對(duì)方棋子放在哪一格，都會(huì)被吃掉請(qǐng)你想一想，這五個(gè)“皇后”應(yīng)該放在哪幾格上才能控制整個(gè)棋盤？ 解：本題是構(gòu)造性的題目用五個(gè)

7、子管住六十四格，如上右圖所示就是一種放置皇后的方案例6 如下圖是半張棋盤，請(qǐng)你用兩個(gè)車、兩個(gè)馬、兩個(gè)炮、一個(gè)相和一個(gè)兵這八個(gè)子放在這半個(gè)棋盤上，使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個(gè)點(diǎn)的控制之下（要符合象棋規(guī)則，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置馬走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等） 解：這仍是一個(gè)占位問(wèn)題，只需要把指出的幾個(gè)子排布成所要求的陣勢(shì)即可，如下圖所示 本節(jié)我們初步看到了一些棋盤問(wèn)題，它們的特點(diǎn)是：以棋盤為背景提出各種問(wèn)題，無(wú)論圍棋盤、中國(guó)象棋盤或是國(guó)際象棋盤更為一般的提法是mn方格上的數(shù)學(xué)問(wèn)題這些問(wèn)題有面積計(jì)算，圖形分割，棋子計(jì)數(shù)，棋子布局等各種類型，這些問(wèn)題一般屬于智巧類的問(wèn)題或更深一步的組合數(shù)學(xué)問(wèn)題。習(xí)題十1在44的棋盤中每一格分別填入字母A、B、C、D要求每行、每列、兩條斜線的四個(gè)格都恰有A、B、C、D各一個(gè)2把A、B、C、D四個(gè)棋子放在44的棋盤的方格里，使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子問(wèn)共有多少種不同的放法？3下圖是1616棋盤，每個(gè)小正方格面積都是1，求圖中這只狗所占的圖形的面積 4中國(guó)象棋規(guī)定馬走“日”字定義：在中國(guó)象棋盤上從點(diǎn)A到B馬走的最少步數(shù)稱為A與B的馬步距離，記作ABm如下圖在33的