2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(理科)廣東卷

1、2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學（理科）逐題詳解參考公式:臺體的體積公式,其中分別是臺體的上、下底面積,表示臺體的高.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1設(shè)集合,則( )A . B C D【解析】D；易得,所以,故選D2定義域為的四個函數(shù),中,奇函數(shù)的個數(shù)是( )A . B C D【解析】C；考查基本初等函數(shù)和奇函數(shù)的概念,是奇函數(shù)的為與,故選C3若復數(shù)滿足,則在復平面內(nèi),對應(yīng)的點的坐標是( )A . B C D【解析】C；對應(yīng)的點的坐標是,故選C4已知離散型隨機變量的分布列為正視圖俯視圖側(cè)視圖第5題圖 則

2、的數(shù)學期望 ( )A . B C D【解析】A；,故選A5某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 ( )A . B C D【解析】B；由三視圖可知,該四棱臺的上下底面邊長分別為和的正方形,高為,故,故選B6設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( )A . 若,則 B若,則C若,則 D若,則【解析】D；ABC是典型錯誤命題,選D7已知中心在原點的雙曲線的右焦點為,離心率等于,在雙曲線的方程是 ( )A . B C D【解析】B；依題意,所以,從而,故選B8設(shè)整數(shù),集合.令集合 若和都在中,則下列選項正確的是( )A . , B, C, D, 【解析】B；特殊值法,不妨令

3、,則,故選B如果利用直接法:因為，所以，三個式子中恰有一個成立；，三個式子中恰有一個成立.配對后只有四種情況：第一種：成立，此時，于是，；第二種：成立，此時，于是，；第三種：成立，此時，于是，；第四種：成立，此時，于是，.綜合上述四種情況，可得，.二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分是否輸入輸出結(jié)束開始第11題圖n(一)必做題(913題)9不等式的解集為_【解析】；易得不等式的解集為.10若曲線在點處的切線平行于軸,則_.【解析】；求導得,依題意,所以.11執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的值為_.【解析】；第一次循環(huán)后:；第二次循環(huán)后:； 第三次循環(huán)后:

4、；第四次循環(huán)后:；故輸出.12. 在等差數(shù)列中,已知,則_.【解析】；依題意,所以. 或:xy441O13. 給定區(qū)域:,令點集是在上取得最大值或最小值的點,則中的點共確定_條不同的直線.【解析】；畫出可行域如圖所示,其中取得最小值時的整點為,取得最大值時的整點為,及共個整點.故可確定條不同的直線.（二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計前一題的得分）14.(坐標系與參數(shù)方程選講選做題)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在點處的切線為,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則的極坐標方程為_.AEDCBO第15題圖【解析】；曲線的普通方程為,其在點處的切線的方

5、程為,對應(yīng)的極坐標方程為,即.15. (幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,點在圓上,延長到使,過作圓的切線交于.若,則_.【解析】；依題意易知,所以,又,所以,從而.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16（本小題滿分12分）已知函數(shù),.() 求的值； () 若,求【解析】()；() 因為,所以,所以,所以.17（本小題滿分12分） 第17題圖某車間共有名工人,隨機抽取名,他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個位數(shù).() 根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；() 日加工零件個數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有

6、幾名優(yōu)秀工人；() 從該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀工人的概率.【解析】() 樣本均值為； () 由()知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為,故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人.() 設(shè)事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優(yōu)秀工人,則.18（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點,.COBDEACDOBE圖1圖2為的中點.將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.CDOBEH() 證明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.【解析】() 在圖1中,易得連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知,所以,所以,理可證, 又,所以平面.() 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié),因為平面,所

7、以,所以為二面角的平面角.結(jié)合圖1可知,為中點,故,從而CDOxE向量法圖yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值為.向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,則,所以,設(shè)為平面的法向量,則,即,解得,令,得由() 知,為平面的一個法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值為.19（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,.() 求的值；() 求數(shù)列的通項公式；() 證明:對一切正整數(shù),有.【解析】() 依題意,又,所以； () 當時, 兩式相減得 整理得,即,又 故數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以. () 當時,；當時,； 當時, 綜上,對一切正整數(shù),有.20（本小題滿分14分）

8、已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.() 求拋物線的方程；() 當點為直線上的定點時,求直線的方程；() 當點在直線上移動時,求的最小值.【解析】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得. 所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導得設(shè),(其中),則切線的斜率分別為,所以切線的方程為,即,即同理可得切線的方程為因為切線均過點,所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為.() 由拋物線定義可知,所以聯(lián)立方程,消去整理得由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以又點在直線上,所以,所以所以當時, 取得最小值,且最小值為.21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)(其中). () 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 當時,求函數(shù)在上的最大值.【解析】() 當時, , 令,得, 當變化時,的變化如下表:極大值極小值 右表可知,函數(shù)