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文檔簡介

1、任意角和弧度制1. 理解1弧度的角、弧度制的定義2. 掌握角度與弧度的換算公式3. 熟記特殊角的弧度數(shù)(一)角的概念:1任意角正角:按順時(shí)針方向形成的角負(fù)角:按逆時(shí)針方向形成的角2象限角定義:角的頂在原點(diǎn)始邊與 X軸重合,終邊在第幾象限此角就是第幾象限角。與角有相同終邊所有角表示為: +2k( k為任意整數(shù))(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角:注意:若角的終邊在坐標(biāo)軸上,就說這個(gè)角不屬于任何象限,它叫象限界角。(2) 與角終邊相同的角的集合: |3600k , k Z或 | 2k ,k Z(3)區(qū)間角的表示:象限角:象限角象限角的集合表示第一象限角的集合xk 360o V < k 360o 90

2、o,k Z第二象限角的集合xk 360o 90o V V k 360o 180o,k Z第三象限角的集合xk 360o 180o V V k 360o 270o, k Z第四象限角的集合xk 360o 270o V V k 360o 360°,k Z寫出圖中所表示的區(qū)間角:由 的終邊所在的象限,來判斷一所在的象限,來判斷 所在的象限2 3(二)弧度制1弧度角的規(guī)定它的單位是rad讀作弧度如圖: AoB=IradA0C=2rad周角=2 rad定義:長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。與圓的半徑無關(guān)以弧度為單位來度量角的制度叫弧度制。(1) 正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是

3、負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是0(2) 角 的弧度數(shù)的絕對(duì)值-(I為弧長,r為半徑)r(3) 用角度制和弧度制來度量零角,單位不同,但數(shù)量相同(都是0)弧度制與角度制的換算公式:弧度制=角度制* /180角度制=弧度制*180o/ 2 =360弧度數(shù)與弧長L與半徑R的關(guān)系:L=Ra(可用來求弧長與半徑)(4)弧長公式:L=Ra ;扇形面積公式:S丄R22弧長公式:n rl,扇形面積公式:180S 扇 nJR (初中)3602弧度制與角度制的換算:因?yàn)橹芙堑幕《葦?shù)是 2 ,角度是360 °,所以有3602rad180rad1180rad0.01745 rad把上面的關(guān)系反過來寫2 rad 360

4、rad 1801801 rad ()rad 57.3057 180 360之間的一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的互化必需熟練掌握度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度02353264323462類型一:角的概念問題1 .終邊相同的角的表示例1若角 是第三象限的角,則角的終邊在第象限答案:二解析:因?yàn)?是第三象限的角,故 k 360o 270o V V k 360o 180o,k Z,則 k 360o 270o V <k 360o 180o,k

5、 Z,故的終邊在第二象限.練習(xí):與610o角終邊相同的角可表示為 .【答案:k 360o 250o(k Z)】2. 象限角的表示例2已知角 是第二象限角,問(1)角是第幾象限的角? ( 2)角2終邊的位置2思路:先根據(jù)已知條件得出角的范圍,再通過討論k值來確定象限角解析:(1)因?yàn)?是第二象限的角,故k 360o 90o V V k 360o 180°(k Z ),故k 18045 k 18045 k 180° 45o V V k 180°90°(k Z).當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí), 在2 2 2第一象限;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),在第三象限,故為第一或第三象限角.2 2(

6、2)由 k 360° 90° V V k 360° 180°(k Z),得2k 360° 180° V 2 V 2k 360°360°(k Z),故角 2 終邊在下半平面.點(diǎn)評(píng):已知 所在象限,求一(n n*)所在象限的問題,一般都要分幾種情況進(jìn)行討論n結(jié)論:第一象限第二象限第三象限第四象限2第一、三象限第、三象限第二、四象限第二、四象限類型二:弧度制與弧長公式1.角度制與弧度制的互化例3把下列各角的度數(shù)化為弧度數(shù): 150 37 30 ' 22 30' 315解因?yàn)?rad ,所以18051501

7、50 rad rad180 6337 30'37237 12180radrad2422 30'221221rad rad221808315315rad7rad1804練習(xí):把下列各角的弧度數(shù)化為度數(shù):3 59 rad 3.5rad rad rad4 34解因?yàn)閞ad = 180 ,所以3 3 rad =× 180 = 135 ;4 4 3.5rad = 3.5 Irad 3.5 57.30200.55 ;5 5 rad =× 180 = 300 3 3'99rad =× 180 =405 .4 4例4(1)設(shè)750o,用弧度制表示,并指出它

8、所在的象限;解析:(1)750252 2,故在第一象限.18066(2 )3 (II3O)O3108o ,與它終邊相同的角可表示為kOO360180 (kZ),由55720o k 360o180oV0°:,得233- k <,故 k2 或 k1 ,即在720o-0o范圍3(2)設(shè),用角度制表示,并在 720o0o內(nèi)找出與它有相同終邊的所有角5導(dǎo)思:(1)角度與弧度應(yīng)如何進(jìn)行互化? (2)確定角為第幾象限角的依據(jù)是什么? (3)怎樣找終邊相同的角?依據(jù)是什么?10 10內(nèi)與 有相同終邊的所有角是612o和252o.點(diǎn)評(píng):角度與弧度進(jìn)行互化,關(guān)鍵是對(duì)轉(zhuǎn)化公式的理解和應(yīng)用;判斷一個(gè)角

9、所在的象限,關(guān)鍵 是在0,2 內(nèi)找到與該角終邊相同的角.練習(xí):(1)設(shè)570,用弧度制表示,并指出它所在的象限;(2)設(shè)7用角度制表示,并在720o 0o內(nèi)找出與它有相同終邊的所有角3解析:(1)(19570)2 25故在第二象限.18064660o.71807(2) 7(180)° ( 7 )420o ,故在720o0o范圍內(nèi)與有相同終邊的角是332.求弧長與扇形面積 例5已知一扇形中心角為,所在圓半徑為R.(1)若,R3IOcm ,求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積;(2)若扇形的周長為一定值 C(C >0),當(dāng) 為何值時(shí),該扇形面積最大,并求此最大值導(dǎo)思:(1)扇形的弧長公

10、式是什么? ( 2)怎樣由扇形面積來求弓形的面積?(4)怎樣求最大值?能用二次函數(shù)來求嗎?能用基本不等式來求嗎?10,弓形面積為S弓,則I 叢(Cm),33)如何用扇形的周長C表示扇形面積?(解析:(1)設(shè)弧長為I1故 S扇 =2RIC11012S10102Sin 50()( Cm )232332由扇形周長C2RI ,得IC2R,11 “CoC2R(C 2R)R2-RC(R)22416S扇有最大值且最大值為C2此時(shí)IC 2R C,162(2)解法一:故生 S扇當(dāng)R C4時(shí),2.故當(dāng)2時(shí),該扇形有最大面積.解法二:由扇形周長2R I2RR ,得R故S扇=2R2(2C2 aG24- G ,416當(dāng)

11、且僅當(dāng)4,即a 2時(shí),扇形面積最大為C6點(diǎn)評(píng):在應(yīng)用扇形弧長和面積公式時(shí),如果圓心角用角度表示,則應(yīng)先化為弧度;注意不要把弓形面積與扇形面積相混淆 練習(xí):設(shè)扇形的周長為8 Cm)面積為4c?,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 .0 ,解得r 2 ,故I 4 ,從而1 2 解:S -(8 2r)r 4 ,即 r 4r 41、下列角中終邊與330°相同的角是()D . -630A. 30° B . -30 ° C . 630°答案:B2、 1120°角所在象限是A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限答案:D3、把1485 ° 轉(zhuǎn)化

12、為+ k 360 °( 0°V 360 ° , k Z)的形式是()A . 45° 4× 360° B. 45° 4× 360° C. 45° 5× 360° D. 315° 5× 360° 答案:D4、寫出-720 °至U 720 °之間與-1068 °終邊相同的角的集合 .答案:708 I 348 ,12 ,372136、已知A=第一象限角, B=銳角, C=小于90的角,那么A B、C關(guān)系是A. B=A C B

13、答案:B7、下列結(jié)論正確的是(.B C=CC . AD . A=B=CA.三角形的內(nèi)角必是一、二象限內(nèi)的角第一象限的角必是銳角5、終邊在第二象限的角的集合可以表示為:()A . 90° < <180° B . 90°+ k 180° <<180°+ k 180°, k ZC . 270°+ k 180°< < 180 °+ k 180°, k ZD . I 270° + k 360°< < 180°+ k 360

14、76; , k Z答案:DC.不相等的角終邊一定不同D | k 36090 Ik18090 Ik Z答案:D&若是第四象限的角,A.第一象限的角則 180答案:是.B.第二象限的角 C .第三象限的角 D .第四象限的角答案:C9、與1991 °終邊相同的最小正角是 ,絕對(duì)值最小的角是 答案:191 與 169 ;10、若角的終邊為第二象限的角平分線,則的集合為 | k 360135 Ik Z基礎(chǔ)鞏固、選擇題1 . (2014 東濟(jì)南商河弘德中學(xué))已知=- 3,則角的終邊所在的象限是()A.第一象限B.第二象限D(zhuǎn) .第四象限答案C解析1801rad= () ° 貝U

15、 =- 3r<ad =540U2 .與-13終邊相同的角的集合是3()B .A .3C. = 2k TH- 3, k ZD.答案D解析與一3 7終邊相冋的角=2k-13 3 , = (2k- 6) ÷ 6n cC.第三象限k Z,O= 2k+ 5, k Z) - 171.9 ; 是第三象限角.5 35 =(2k- 6) , (k Z).3 .已知集合 A = 2k (2k+ 1) k Z , B = Oa- 4 4,貝U A B=()B . a0 C . a- 4 4|D . a- 4 - 或 0 答案D解析k - 2 或 k 1 時(shí) A B = ?; k=- 1 時(shí) A B=

16、 4, n; k= 0 時(shí),A B= 0 , n; 故 A B = 4,- 0 , 故選 D.4 .一條弧所對(duì)的圓心角是2rad,它所對(duì)的弦長為 2,則這條弧的長是()1sin11sin22sin12D. sin2答案C解析1 1 2所在圓的半徑為r=而,弧長為2×而=而.5. (2014浙江象山中學(xué)高-一月考)某扇形的面積為1cm2 ,它的周長為4 Cm ,那么該扇形的圓心角等于()A . 2 °B . 2C. 4 °D. 4答案B2r + l = 4解析設(shè)扇形的半徑為r,弧長為I ,由題意得12r = 1r = 1 解得l = 2該扇形圓心角= *= 2(ra

17、d),故選B.6.如圖中,圓的半徑為5,圓內(nèi)陰影部分的面積是(175 125 7-75 C. 7834 答案AJ I解析40 = 40 ×面=30°= 30 ×1806,1 2 2 1 2 175 s= 2寫+尹=石.、填空題7.若兩個(gè)角的差是1 °,它們的和是1弧度,則這兩個(gè)角的弧度數(shù)分別是 答案180+ 180 360、360 - =面180 + 180 解析設(shè)兩角為 則 =c 、360= 360 .+ = 18正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)等于 答案n 2n解析T正n邊形的內(nèi)角和為(n 2) 一個(gè)內(nèi)角的弧度數(shù)是-Ln三、解答題9 .已知a = 570

18、°° a2= 750 °3 C 7 = 5,= J.(1)將 a、Oa用弧度制表示出來,并指出它們各自所在象限;(2)將 0、用角度制表示出來,并在一 720。0 °范圍內(nèi)找出與 、有相同終邊的角.570 = 19 180 = 6=-4+ 5,65第二象限,6=4+ 6,在第二象限. 750。= 750= 25 180 6 750。與終邊相同,在第一象限,6 6 在第一象限. =3= (I× 18O) = 108° 與其終邊相同的角為108 + k360, kZ,在一720°0°范圍內(nèi)與有相同終邊的角是一612。和

19、一252 °同理,2= 420 °且在一7200°范圍內(nèi)與 有相同終邊的角是一 60 °能力提升、選擇題扇形的一條弦長等于半徑,則這條弦所對(duì)的圓心角是.弧度.()答案C 解析I圓心角所對(duì)的弦長等于半徑,該圓心角所在的三角形為正三角形, 圓心角是護(hù)度.2 .在直角坐標(biāo)系中,若角a與角終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則必有 ()A .a= C . a= + B . a= 2k0k Z)D . a= 2k + + 0k Z)答案D 解析將旋轉(zhuǎn)的奇數(shù)倍得3.在半徑為3cm的圓中,60°的圓心角所對(duì)的弧的長度為 ()Cm3 C. 2cmB . Cm2 D. Cm319

20、答案B解析由弧長公式得,=R=3×3= (Cm)4 .下列各組角中,終邊相同的角是() 2k+ 2 k ZC. k + 2k±, k ZD. k±k, k Z答案A解析2k + 1與4k±1都表示的是奇數(shù),故選A.二、填空題5.把一寫成+ 2k k Z)的形式,使最小的的值是4.3 答案-11 3 c 5 .解析=2=4 4使最小的的值是一36 用弧度表示終邊落在y軸右側(cè)的角的集合為 .答案 2+ 2k<<2 + 2k, k Z解析y軸對(duì)應(yīng)的角可用一 2表示,所以丫軸右側(cè)角的集合為 + 2k<+ 2k k Z.三、解答題7. X正半軸上

21、一點(diǎn) A繞原點(diǎn)依逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)A每分鐘轉(zhuǎn)過角(0< )經(jīng)過2min到達(dá)第三象限,經(jīng)過 14min回到原來的位置,那么是多少弧度?解析因?yàn)?< 所以0<2 2 .又因?yàn)? 在第三象限,所以 <2<3因?yàn)?14 = 2k, k Z,所以 2= "7 k Z.當(dāng)k分別取4、5時(shí),2 分別為87 爭 它們都在 ¥內(nèi).因此 = 4rad 或 = 5Tad.358. 設(shè)集合 A = = 2k, k Z , B= = 3k |k| 10, k Z,求與 A B 的角終邊相同的角的集合.解析設(shè)o A B,則ao A 且 o B ,所以 ao=

22、 k 5.Oa= k2 ,3所以 k = k2 即 k = 1°k2因?yàn)?k2 10,k2 Z ,且k Z,所以 k = 0, ±10. YY= 2k或 Y= (2k +因此A B= 0 ,- 15, 15,故與A B的角的終邊相同的角的集合為 1) k Z = Y= n, n Z.9 .已知扇形AOB的周長為8cm.(1) 若這個(gè)扇形的面積為 3cm2 ,求圓心角的大?。?2) 求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的弧度數(shù)和弦長AB.解析設(shè)扇形的圓心角為扇形所在圓的半徑為 X(Cm),2x+ X = 8依題意有1,解得= 2或6,2x2= 332即圓心角的大小為弧度或6弧度.8 2x(2)由于扇形的圓心角=-,入于是扇形面積 S= 2x2 8

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