新利息理論教案第3章

1、第3章：變額年金本課程第2章討論的都是等額支付的年金問題。本章將討論年金不相等的情況。如果每次支付的金額沒有任何變化規(guī)律，那么只好分別計(jì)算每次付款的現(xiàn)值與終值，然后將其相加求得年金的現(xiàn)值與終值。但某些變額年金仍然是有規(guī)律可循的，本節(jié)將討論這方面的年金。第3.1節(jié)：遞增年金本節(jié)內(nèi)容：3.1.1期末付遞增年金假設(shè)第一期末支付1元，第二期末支付2元，第n期末支付n元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增的。一、年金現(xiàn)值(Ia)nl如果用(Ia)n表示其現(xiàn)值，則有(Ia)nv2v23v3.nvn(1)公式推導(dǎo)過程：上式兩邊同乘(1+i)(1i)(Ia)n|12V3v2.nvn1用第二式減去第一式/.、222

2、3n1ni(Ia)ni(1vvv.v)nvnnv所以：(Ia)nn nvi(2)公式的另一種推導(dǎo)思路(略)、年金終值(Is)n(Is)n (1 i)n(Ia)n snSn1(n 1i三、例題例1、一項(xiàng)20年期的遞增年金，在第1年末支付65元，第2年末支付70元，第3年末支付75元，以此類推，最后一次支付發(fā)生在第20年末，假設(shè)年實(shí)際利率為6%求此項(xiàng)年金在時(shí)刻零的現(xiàn)值。解：最后一次支付的金額應(yīng)該為65195160元。將此年金分解成一項(xiàng)每年末支付60元的等額年金和一項(xiàng)第1年末支付5,每年遞增5元的遞增年金。這時(shí)：上述年金的現(xiàn)值為：60a205(Ia篇1181.70例2、一項(xiàng)遞增年金，第1年末支付30

3、0元，第2年末支付320元，第3年末支付340元，以此類推，直到最后一次支付600元，假設(shè)年實(shí)際利率為5%試計(jì)算此項(xiàng)年金在最后一次支付時(shí)刻的終值。解：支付金額每次遞增20元，因?yàn)?003001520,所以一共支付了16次。最后一次支付發(fā)生在第16年末。將此年金分解成一項(xiàng)每年末支付280元的等額年金和一項(xiàng)第1年末支付20,每年遞增20元的遞增年金。這時(shí)：人d280s詞20(s)10160.25上述年金的終值為：280s同(Is)163.1.2期初付遞增年金假設(shè)第一期初支付1元，第二期初支付2元，第n期初支付n元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞增的。一、年金現(xiàn)值如果用(ia&n表示其年金現(xiàn)值，則有(

4、I&n (1 i)(Ia)n二、年金終值n nvd如果用(Is&n表示年金現(xiàn)值，則有(咻(1 1)(端/sn 1l(n 1)三、永續(xù)年金當(dāng)n趨于無窮大時(shí):1(Ia)n d1(I&h 7四、例題1(1 (13 I 1)2 I1、確定期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值，每次付款為1、2、3、。設(shè)實(shí)際利率為1=5%。11(11)解：(Ia”dlII=420本節(jié)重點(diǎn):年金現(xiàn)值(Ia)n的計(jì)算公式本節(jié)難點(diǎn):年金現(xiàn)值(Ia)n的公式推導(dǎo)第3.2節(jié)：遞減年金本節(jié)內(nèi)容：3.2.1期末付遞減年金假設(shè)第一期末支付n元，第二期末支付n-1元，第n期末支付1元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減的。、年金現(xiàn)值(Da)n如果用(Da)n

5、表示其現(xiàn)值，則有(Da)nnv(n1)v2(n2)v3.nn(1)公式推導(dǎo)過程：上式兩邊同乘(1+i)(1i)(Da)nn(n1)v(n2)v2.vn1用第二式減去第一式i(Da)nn(vv2v3.vn)nan所以：(Da)nI(2)公式的另一種推導(dǎo)思路(略)、年金終值(Ds)n(Ds)n (1 i)n(Da)nn(1i)nSn3.2.2期初付遞減年金假設(shè)第一期初支付n元，第二期初支付n-1元，第n期初支付1元，那么這項(xiàng)年金就是按算術(shù)級(jí)數(shù)遞減的。、公式1、如果用(D&n表示其年金現(xiàn)值，則有(D&)n (1 i)(Da)nn and2、如果用(D&【n表示年金現(xiàn)值，則有(D&)n (1 i)(D

6、s)nn(1 i)nSn說明：遞減年金不存在永續(xù)年金的情況。、例題本節(jié)重點(diǎn):(Da)年金現(xiàn)值n和(Da&n的計(jì)算公式本節(jié)難點(diǎn):年金現(xiàn)值(Da)n公式的證明。第3.3節(jié)：付款金額按幾何級(jí)數(shù)變化的年金(復(fù)遞增年金)本節(jié)內(nèi)容：3.3.1期末付復(fù)遞增年金假設(shè)第一年末付款1元，第二年末付款(1+r)元，第三年末付款(1r)2n1第n年末付款(1r)元，那么這項(xiàng)年金就是按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)，其中(1r)當(dāng)r0時(shí)，年金為遞增的，當(dāng)r0時(shí)，年金為遞增的，當(dāng)r0時(shí)，年金為遞減的。1、如果用Aft示其年金現(xiàn)值，則有1（nA（1DJ2、如果用&表示年金終值，則有&(1i)(1i)n(1r)nir3、關(guān)于永續(xù)年金1（片在A

7、ir中，當(dāng)ri時(shí)極限存在，永續(xù)年金的現(xiàn)值為i時(shí)極限不存在。4、例題如果年利率例1、20年期末付年金，首次付款1000元，以后每年遞增4%為7%計(jì)算年金現(xiàn)值。解：i=7%,r=4%1二)10現(xiàn)值10001ir=14459元本節(jié)重點(diǎn):(1iir。本節(jié)難點(diǎn):H）n1iir的推導(dǎo)。第3.4節(jié)：每年支付m次的變額年金本節(jié)討論的年金屬于廣義變額年金。本節(jié)內(nèi)容：本部分內(nèi)容以期末付為例進(jìn)行分析本部分為確定年金中最復(fù)雜的情況，主要以下述年金為例說明。假設(shè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期為n,每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付款項(xiàng)m次，那么總的付款次數(shù)為mn,如果每個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期支付款項(xiàng)m次，付款又是逐期遞增的，在第一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付1/m元

8、，在第二個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付2/m元，在第n個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末支付n/m元。下面分兩種情況討論：一、在同一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)付款相同，但后一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期比前一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期每次多付1/m元。這樣在第一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款1/m元，在第二個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款2/m元，在第n個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)每次付款mn/m元。年金現(xiàn)值記為(Ia)n1、(Ia)nm a(m)(1 2v 3v2可以推導(dǎo)出計(jì)算公式。nvn 1)&nvn(m)i同里也可以推出終值的計(jì)算公式。2、例題為了保證在第一個(gè)利息結(jié)2/m元，在第n個(gè)利息二、在同一個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期內(nèi)付款也是逐期遞增。轉(zhuǎn)周期末付款1/m元，在第二個(gè)利息結(jié)轉(zhuǎn)周期末付

9、款結(jié)轉(zhuǎn)周期末付款n/m元，假設(shè)第一次付款m2元,第二次付款m2元，第三次付mn2-2款m元，第mn次付款m 計(jì)算公式。m元。年金現(xiàn)值記為(I%)：以推導(dǎo)出1、(I (m)a)出m) n&nVi (m)2、例題本節(jié)重點(diǎn)：遞增年金的計(jì)算公式 本節(jié)難點(diǎn)：(I(m)a)零 (m) innv的推導(dǎo)。3.5節(jié)：連續(xù)支付的變額年金本節(jié)內(nèi)容：3.5.1 連續(xù)支付的變額年金 一、連續(xù)支付的遞增年金1、現(xiàn)值阿nnnv2、終值(IS)n3、永續(xù)年金現(xiàn)值(Ia儲(chǔ)、連續(xù)支付的遞減年金1、現(xiàn)值的nn an2、終值(DS)nn(1 i)n3.5.2連續(xù)支付連續(xù)遞增的年金m(I(m)a)n&T nvni(m)推出Snn公式(

10、Ia)n公式的直接推導(dǎo)3.5.3 連續(xù)支付連續(xù)遞減的年金(略)3.5.4 一般連續(xù)變額年金一、現(xiàn)值ntPVtexpsdsdt00二、終值nnFVtexpsdsdt0t本節(jié)重點(diǎn)：連續(xù)變額年金公式的推導(dǎo)本節(jié)難點(diǎn):般連續(xù)變額年金現(xiàn)值的表示。第3.6節(jié)：年金問題的案例一、固定養(yǎng)老金計(jì)劃1 .一般情景責(zé)任：退休前時(shí)，每月初存入一定的金額，具體方式為，25-29歲，月付x1元；30-39歲，月付x2元；40-49歲，月付x3元；50-59歲，月付x4元。權(quán)益：從60歲(退休)開始每月初領(lǐng)取p元，一直進(jìn)行20年。問題：在給定年利率i情況下，分析x1、x2、x3、x4與p的關(guān)系。2 .(1)假設(shè)某人25歲參加

11、保險(xiǎn)，則基本價(jià)值方程為12P&02)12月&12)(1D3012x2&12)(1i)2012x3端2)(1i)1012x4用2)于是，x1S35(x2S3。(x3x2)S20(x4xS。pa20x3=500 元，x4=1000 元。若i=10%,x1=200元，x2=300元，2s35S302s205s10p10580.48(2)a20如果從30歲開始加入,P則(3)1003s30 2s20 5s108077.89如果從40歲開始加入,a20500s20S104299.73a20二、購房分期付款某人采用貸款方式購房。已知房?jī)r(jià)為50萬元，首付比例為30%貸款的年實(shí)際利率為8%若每月底等額付款。求相應(yīng)貸款期為五年，八、十年時(shí)的月還款額。512解：(1k)p12Ran計(jì)算出i(12)=7.7208%o五年期：月付款額7050.05元八年期：月付款額4898.33元。十年期：月付款額4194.98元三、汽車零售某汽車商計(jì)劃采用如下零售策略：（1）若一次付清款項(xiàng)，價(jià)格為10萬元；（2）以年利