1第1章有理數(shù)

1、第1章 有理數(shù)11具有相反意義的量專題 有理數(shù)的分類1 既不是正數(shù)，又不是整數(shù)的有理數(shù)是()A零和正分數(shù) B零和負分數(shù) C只有負分數(shù) D零和分數(shù)2 寫出三個有理數(shù)，使它們滿足：是負數(shù)；是整數(shù)；能被2、3、5整除3 將有理數(shù)3，0，20，125，1，|12|，(5)放入恰當?shù)募现小局R要點】1在具有相反意義的一對量中，把其中的一種量用正數(shù)表示，另一種量用負數(shù)表示20既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負數(shù) 3 正整數(shù)、零和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)；整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)【溫馨提示】1在有理數(shù)的分類中，要特別注意“0”，它既不是正數(shù)，也不是負數(shù)2在分類時，要做到不遺漏，不重

2、復【方法技巧】1判斷是否是具有相反意義的一對量，可以不管數(shù)量，只看前面的關鍵詞是不是我們通常所說的“反義詞”2在分類中，任何一個數(shù)有且只有一個合適的類別，凡出現(xiàn)“無家可歸”或“腳踏兩只船”的現(xiàn)象的分類都是錯誤的參考答案1B 【解析】A選項中正分數(shù)是正數(shù)，C選項中還有零，D選項中的分數(shù)可能是正數(shù)，只有B選項正確故選B2解：所求的數(shù)是負數(shù)又是整數(shù)，而且還是2、3、5的最小公倍數(shù)，據(jù)此即可寫出答案符合條件的數(shù)有30、60、90、120等故答案為：30，60，90(答案不唯一)3 解：如圖所示：12數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值專題一 絕對值的非負性1 小明、小亮、小花、小倩四人是一個學習小組的同學，下面是該小

3、組學習有理數(shù)的絕對值時進行的小組討論：小明說：“a的絕對值是它的相反數(shù)a”；小亮說：“如果有理數(shù)a的絕對值是它本身，那么a一定是正數(shù)”；小花說：“如果a為有理數(shù)，那么|a|一定是負數(shù)”；小倩說：“你們說得都不對”你認為這四位同學中誰說錯了？誰說對了？錯的該怎樣改正？2 若a、b、c都是有理數(shù)，且|a1|+|b+2|+|c4|=0，求a+|b|+c的值3 探究題(1)比較下列各式的大?。簗2|+|3| |2+3|；|3|+|5| |(3)+(5)|；|0|+|5| |0+(5)|；(2)通過(1)的比較，請你分析，歸納出當a，b為有理數(shù)時，|a|+|b|與|a+b|的大小關系(3)根據(jù)(2)中你

4、得出的結論，求當|x|+5=|x5|時，求x的取值范圍專題二 數(shù)軸、相反數(shù)與絕對值的 “大融合”4 已知有理數(shù)a與b互為相反數(shù)，有理數(shù)c到原點的距離為1，有理數(shù)d為絕對值最小的數(shù)，求式子2013(a+b)+c+2013d的值5 如圖，數(shù)軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示4，點G表示8.(1)點B表示的有理數(shù)是 ，表示原點的是點是 (2)圖中的數(shù)軸上另有點M到點A，點G距離之和為13，則這樣的點M表示的有理數(shù)是 (3)若將原點取在點D，則點C表示的有理數(shù)是 ，此時點B與點 表示的有理數(shù)互為相反數(shù)6 一個有理數(shù)x在數(shù)軸上對應的點為A，將A點向左移動3個單位長度，再向左移動2個

5、單位長度，得到點B，點B所對應的數(shù)和點A對應的數(shù)的絕對值相等，求點A的對應的數(shù)x是多少？【知識要點】1規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫作數(shù)軸任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上唯一的一個點來表示2如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中的一個數(shù)叫作另一個數(shù)的相反數(shù)0的相反數(shù)是03一個數(shù)的絕對值等于數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離正數(shù)的絕對值是它的本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等一般地，如果a表示一個數(shù)，則：(1)當a是正數(shù)時，；(2)當a=0時，；(3)當a是負數(shù)時，即是指a和-a中非負數(shù)的那一個【溫馨提示】(針對易錯)1畫數(shù)軸時必須具備三要素：原點、正方向和單位長

6、度2任何一個數(shù)都有相反數(shù)，兩個互為相反數(shù)的絕對值相等3一個數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，在求一個數(shù)的絕對值時，不能只是去掉絕對值符號，一定要考慮絕對值符號內的式子表示的數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)【方法技巧】1求一個數(shù)的相反數(shù)，在這個數(shù)的前面加上負號即可2求一個數(shù)的絕對值時，先分清這個數(shù)是正數(shù)、0還是負數(shù)，再按照相應的情況“對號入座”，即去掉絕對值后是否添上負號3幾個非負數(shù)之和等于零，其中每一個數(shù)都等于零參考答案1 解：小明、小亮、小花都說錯了只有小倩是對的小明說錯了，因為a的絕對值應該分情況進行討論，即；小亮說錯了，因為a的絕對值等于本身的數(shù)除了正數(shù)還有0；小花說錯了，因為|a|不一定是負數(shù)，還可能是0，即|

7、a|0故小倩是對的2 解：因為|a1|+|b+2|+|c4|=0，所以|a1|=0，|b+2|=0，|c4|=0，所以a=1，b=2，c=4，所以a+|b|+c=1+2+4=73 解：(1)因為|2|+|3|=5，|2+3|=1，所以|2|+|3|2+3|.因為|3|+|5|=8，|(3)+(5)|=8，所以|3|+|5|=|(3)+(5)|.因為|0|+|5|=5，|0+(5)|=5，所以|0|+|5|=|0+(5)|.故答案為，=，=(2)根據(jù)(1)中規(guī)律可得出：|a|+|b|a+b|(3)因為|5|=5，所以|x|+5=|x|+|5|=|x+(5)|=|x5|.所以x0.即當|x|+5=

8、|x5|時，x04 解：因為有理數(shù)a與b互為相反數(shù)，所以a+b=0.因為有理數(shù)c到原點的距離為1，所以c=1 或c=-1.因為有理數(shù)d為絕對值最小的數(shù)，所以d=0.所以當c=1時，原式=2013×0+1+0=1；當c=-1時，原式=2013×0+(-1)+0=-1所以原式的值為1或15 (1) 2，C；(2) 45或85；(3) 2；F 【解析】 (1)因為數(shù)軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示4，點G表示8，所以AG=|8+4|=12，所以相鄰兩點之間的距離=2，所以點B表示的有理數(shù)是4+2=2，點C表示的有理數(shù)2+2=0.故答案為2，C；(2)設點M

9、表示的有理數(shù)是m，則|m+4|+|m8|=13，所以m=45或m=85.故答案為45或85；(3)若將原點取在點D，因為每兩點之間距離為2，所以點C表示的有理數(shù)是2.因為點B與點F在原點D的兩側且到原點的距離相等，所以此時點B與點F表示的有理數(shù)互為相反數(shù)6 解：由題意得：點A對應的數(shù)為x，則點B所對應的數(shù)x32=x5，又點B所對應的數(shù)和點A對應的數(shù)的絕對值相等，|x|=|x5|，所以x=2513 有理數(shù)的大小比較專題 比較有理數(shù)的大小1(1) 如果|a|=4，|b|=3，則比較a與b的大小會有哪幾種情況？(2)已知a表示小于0的數(shù)，試比較a與的大小2 試比較，這四個數(shù)的大小【知識要點】1正數(shù)大

10、于負數(shù)， 0大于負數(shù)兩個負數(shù)，絕對值大的反而小 2在以向右為正方向的數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大【溫馨提示】比較兩個數(shù)的大小時，要特別注意兩個負數(shù)的大小比較，同時注意解題格式【方法技巧】1比較兩個負數(shù)的大小時，應先比較它們的絕對值的大小，再根據(jù)“絕對值大的反而小”得出結論2利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小時，先在數(shù)軸上準確地找出表示這些數(shù)的點，再根據(jù)這些數(shù)在數(shù)軸上的位置按從左到右的順序把這些數(shù)用“<”連接起來即可參考答案1 解：(1)因為|a|=4，|b|=3，所以a=±4，b=±3.所以當a=4，b=3時，ab；當a=4，b=3時，ab；當a=4，b=3時，

11、ab；當a=4，b=3時，ab(2) (1)a1時，；(2)a=1時，；(3)1a0時，2 解：因為，因為，所以14 有理數(shù)的加法和減法專題一 有理數(shù)的加減法運算1 從1，2，3，10，每個數(shù)前面任意添上正負號，則得到這十個新數(shù)和的絕對值的最小值為 2 a、b、c、d表示4個有理數(shù)，其中每三個數(shù)之和是1，3，2，17，且abcd，求a、b、c、d3 小明編寫了一個計算機計算程序，當輸入任何一個有理數(shù)時，顯示屏上的結果總等于所輸入的這個有理數(shù)的絕對值與2的和若輸入2，這時顯示的結果應當是多少？如果輸入某數(shù)后，顯示的結果是7，那么輸入的數(shù)是多少？(寫出過程)專題二 有理數(shù)加減法的運用4 已知|a|

12、=2013，|b|=2012；且a+b0，求ab的值5 問題：能否將1，2，3，410這10個數(shù)分成兩組，使它們的差為5解：1+2+3+10=55，要使差為5，需將這10個數(shù)分成兩組，一組的和為30，另一組的和為25，然后把它們相減下面給出一種分法，例如：(6+7+8+9)(1+2+3+4+5+10)=5.應用：在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這10個數(shù)前面任意添上“+”號或“”號，(1)能否使它們的和等于7？(2)能否使它們的和等于2；若能，給出一種分法；若不能，請說明理由6 某市質量技術監(jiān)督局從某食品廠生產的袋裝食品中抽出樣品20袋，檢測每袋的質量是否符合標準，把超過或不足的部分

13、分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下表：與標準質量的差值(單位：克)620134袋數(shù)143453(1)若標準質量為450克，則抽樣檢測的20袋食品的總質量為多少克？(2)若該種食品的合格標準為450±5g，求該食品的抽樣檢測的合格率專題三 有理數(shù)加減法的巧算7 計算：8 計算：9 閱讀理解：計算：解析：因為，原式=上面這種計算方法叫拆項法，請你仿照上面的方法計算：【知識要點】1有理數(shù)加法法則是：(1)兩個負數(shù)相加，結果是負數(shù)，并且把它們的絕對值相加；(2)異號兩數(shù)相加，當兩數(shù)的絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并且用較大的絕對值減去較小的絕對值；(3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一

14、個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù) 2加法交換律：a+b=b+a即，兩個有理數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變加法結合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)即，三個有理數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再把結果與第三個數(shù)相加；或者先把后兩個數(shù)相加，再把結果與第一個數(shù)相加，和不變三個或三個以上有理數(shù)相加，可以寫成這些數(shù)的連加式對于連加式，根據(jù)加法交換律和加法結合律，可以任意交換加數(shù)的位置，也可以先把其中的某幾個數(shù)相加3減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)【溫馨提示】1 如果兩個數(shù)的和等于0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)2 如果一個式子中既有加法運算，又有減法運算，可以把它們全部轉化為加法運算，原來的算式就轉化為求幾個

15、正數(shù)或負數(shù)的和3進行有理數(shù)的加減法運算時，必須注意符號【方法技巧】1 進行有理數(shù)的加法，必須確定符號和計算絕對值即先根據(jù)兩個加數(shù)是同號還是異號確定結果的符號，再確定絕對值2有理數(shù)減法運算，當被減數(shù)少于減數(shù)時，一般都是轉化為加法而進行3靈活運用加法運算律，能簡化運算參考答案1 1 【解析】 因為1+2+3+10=55，所以從1，2，310，每個數(shù)前面任意添上正負號，得到這十個新數(shù)和的絕對值的最小值為：28與27的差，所以這十個新數(shù)和的絕對值的最小值為1故答案為：12 解：因為四個數(shù)的和是×(13+2+17)=5，所以5(1)=6，5(3)=8，52=3，517=12.所以a、b、c、d

16、分別是8、6、3、123 解：這個有理數(shù)的絕對值與2的和，當輸入2時，顯示的結果應當是|2|+2=4；如果顯示的結果是7，因為|±5|+2=7所以輸入的數(shù)是5或54 解：因為|a|=2013，|b|=2012，所以a=±2013，b=±2012.因為a+b0，所以a=2013，b=2012或a=2013，b=2012.所以ab=20132012=4025，或ab=2013(2012)=1.所以ab的值是4025或15 解：(1)能使它們的和等于7的分法，如：12+34+56+79+810=7(2)不能，因為1+2+3+10=55是一個奇數(shù)，所以無論怎樣分，結果都不

17、可為偶數(shù)6 解：(1)總質量為=450×20+(6)+(2)×4+1×4+3×5+4×3=900068+4+15+12=9017(克)；(2)合格的有19袋，所以該食品的抽樣檢測合格率為×95%=95%7 解：原式=08 解：原式=9 解：原式=15 有理數(shù)的乘法和除法專題一 有關字母型的乘除法1. 四個整數(shù)a，b，c，d互不相等，且abcd=25，求a+b+c+d的值2a，b為有理數(shù)，且|a+b|=ab，試求ab3 設a=-1÷2÷3÷4，b=-1÷(2÷3÷4)，c=-1

18、÷(-2÷3)÷4，d=-1÷2÷(3÷4)，計算(b÷a)÷(c÷d)的值專題二 有關數(shù)字型的乘除法4計算：5 計算：6 閱讀下面的材料：計算：解：=-720+=根據(jù)你對材料的理解，計算：專題三 有關探究型的乘除法7 將2013減去它的，再減去余下的，再減去余下的，以此類推，直至減去余下的，試探究最后的結果是多少？8 中央電視臺每一期的“開心辭典”欄目，都有一個“二十四點”的趣味題，將四個數(shù)(四個數(shù)都用且只能用一次)進行“+”、“”、“×”、“÷”運算，可加括號使其結果等于24例如：

19、對1、2、3、4可作運算(1+2+3)×4=24，也可寫成4×(1+2+3)=24，但視作相同方法的運算現(xiàn)有四個有理數(shù)3，5，7，13，請你寫出一個符合條件的算式，使其結果等于249 如圖，是一個“有理數(shù)轉換器”(箭頭是指數(shù)進入轉換器的路徑，方框是對進入的數(shù)進行轉換的轉換器)(1)當小明輸入3；4；2013這四個數(shù)時，這四次輸出的結果分別是？(2)你認為當輸入什么數(shù)時，其輸出結果是0？(3)你認為這個“有理數(shù)轉換器”不可能輸出什么數(shù)？【知識要點】1兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并且把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘，都得0幾個不等于0的數(shù)相乘，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)

20、有偶數(shù)個時，積為正2乘法交換律：a×b=b×a乘法結合律：(a×b)×c= a×(b×c)乘法對加法的分配律：a×(b+c) = a×b+a×c3兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并且把絕對值相除；0除以任何一個不等于0的數(shù)都得04一般地，如果兩個數(shù)的乘積等于1，我們把其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，0沒有倒數(shù)除以一個不等于零的數(shù)等于乘這個數(shù)的倒數(shù)【溫馨提示】1有理數(shù)乘除法運算時，要注意與有理數(shù)加法運算確定符號的區(qū)別2幾個有理數(shù)連除，不要弄錯除數(shù)【方法技巧】1幾個有理數(shù)相乘除，結果的符號由負數(shù)的個數(shù)決定，當負數(shù)

21、有奇數(shù)個時，結果為負；當負數(shù)有偶數(shù)個時，結果為正2對于分數(shù)除法，一般先轉化為乘法3正確運用乘法運算律能簡化運算參考答案1 解：因為25=5×5，整數(shù)a，b，c，d互不相等，且abcd=25，所以a，b，c，d的值只能分別為5，5，1，1.所以a+b+c+d=02 解：因為|a+b|=a+b或ab，所以a+b=ab或ab=ab，解得b=0或a=0.所以ab=03 解： ，則 (b÷a)÷(c÷d)=，所以bd=，ac=，所以原式=4 解：原式=5 解：原式=-10-6+15-1=-26 解：=-900+=7 解：根據(jù)題意得：=1 故結果為18 解：(-5)

22、×(-13)+7÷3=249 解：(1)因為32，所以輸入3時的程序為：(35)=20.所以2的相反數(shù)是20，2的倒數(shù)是，所以當輸入3時，輸出；當輸入4時，因為42，所以4的相反數(shù)是40，4的倒數(shù)是.所以當輸入4時，輸出；當輸入時，2，所以其相反數(shù)是，其絕對值是，所以當輸入時，輸出；當輸入2013時，20132，所以其相反數(shù)是20130，其倒數(shù)是，所以當輸入2013時，輸出.(2)因為輸出數(shù)為0，0的相反數(shù)及絕對值均為0，所以應輸入0；(3)由(1)中輸出的各數(shù)均為非負數(shù)可知，輸出的數(shù)應為非負數(shù)16 有理數(shù)的乘方專題 有理數(shù)乘方的探究題1 觀察下列等式，然后填空1+3=22

23、=4；1+3+5=32=9；1+3+5+7=42=16；1+3+5+7+9=52=25；1+3+5+7+9+11=62=_.(1)第5個式子等號右邊的結果應填的數(shù)是 ；(2)根據(jù)規(guī)律計算：1+3+5+7+9+1997+1999= ；(3)請寫出第n(n是正整數(shù))個等式是：1+3+5+(2n+1)= 2 問題：你能比較兩個數(shù)20122013與20132012的大小嗎？為了解決這個問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較nn+1和(n+1)n的大小(n是自然數(shù))然后，我們分析n=1，n=2，n=3，這些簡單情形入手，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經過歸納，才猜想出結論(1)通過計算，比較下列各組

24、中兩個數(shù)的大小(在空格中填“”“”“=”)12_21，23_32，34_43，45_54，56_65，66_75；(2)從第(1)題的結果經過歸納，可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小關系；(3)根據(jù)上面歸納猜想得到的一般結論，試比較下列兩個數(shù)的大?。?0122013與201320123 閱讀下面一段：計算1+5+52+53+599+5100觀察發(fā)現(xiàn)，上式從第二項起，每項都是它前面一項的5倍，如果將上式各項都乘以5，所得新算式中除個別項外，其余與原式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算解：設S=1+5+52+53+599+5100，則5S=5+52+5100+5101，得4S=51011，則S=上面計算用的方法稱為“錯位相減法”，如果一列數(shù)，從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于5)，那么這列數(shù)的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決下面請你觀察算式是否具備上述規(guī)律？若是，請你嘗試用“錯位相減”法計算上式的結果【知識要點】1求n個相同因數(shù)的乘積的運算，叫做乘方，在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)2正數(shù)的任何正整數(shù)次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)， 負數(shù)的偶次冪是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0 3把一個絕對值大于10的數(shù)記做的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)(即1|a|10)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法【溫馨提示】1有理數(shù)運算時，應根據(jù)乘方的意義計算，切不可把