陳兆華--數(shù)學(xué)思想方法

1、52012年江蘇省高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)講座數(shù)學(xué)思想方法蘇州市教育科學(xué)研究院 陳兆華一、特殊與一般例1 已知集合1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，求該集合具有下列性質(zhì)的子集個(gè)數(shù)：每個(gè)子集至少含有2個(gè)元素，且每個(gè)子集中任意兩個(gè)元素之差的絕對(duì)值大于1例2 1985個(gè)點(diǎn)分布在一個(gè)圓周上，每個(gè)點(diǎn)標(biāo)上1或1一個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為“好點(diǎn)”，如果從這點(diǎn)開(kāi)始，依任一方向繞圓周前進(jìn)到任何一個(gè)點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過(guò)的各數(shù)之和都是正的證明：如果標(biāo)有1的點(diǎn)少于662個(gè)時(shí)，圓周上至少有一個(gè)“好點(diǎn)”例3 設(shè)f(n)是定義在所有正整數(shù)上且取正整數(shù)值的函數(shù)，對(duì)所有正整數(shù)m，n，有f f ( m ) + f ( n ) = m + n，求f(n)二

2、、數(shù)形結(jié)合例4 函數(shù)的最大值是_例5 求出所有實(shí)數(shù)t，使得存在正實(shí)數(shù)x，y，z滿足三、推理與構(gòu)造例6 設(shè)，證明：，其中表示的整數(shù)部分例7 已知n（n2）為確定的自然數(shù)，k1，k2，kn是正整數(shù)，且k13 + k23 + + kn3 7n，求k1 + k2 + + kn 的最大值（2000波蘭）例8 設(shè)實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足方程組求的值例9 設(shè)有兩個(gè)有理數(shù)的n元集合（元素允許重復(fù)），a1，anb1，bn假設(shè)集合 ai + aj | 1i < jn = bi + bj | 1i < jn ，證明n是2的方冪 例10 證明：有無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n具有下面的性質(zhì)：若p是n2 + 3的素因子，則

3、對(duì)于滿足k2 n的某個(gè)整數(shù)k，p也是k2 + 3的因子例11 對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，如果一個(gè)0 - 1序列有n個(gè)0和n個(gè)1，則稱(chēng)這個(gè)序列是“平衡”的對(duì)于兩個(gè)平衡序列a和b，如果你能移動(dòng)a中的某一個(gè)數(shù)到其他位置后得到b，則稱(chēng)a與b是“相鄰”的例如，當(dāng)n = 4時(shí)，平衡序列a = 01101001和b = 00110101是相鄰的，因?yàn)閍中的第2個(gè)（或第3個(gè)）0移到第7個(gè)（或第8個(gè)）位置后就得到b證明：存在一個(gè)至多包含個(gè)平衡序列的集合S，使得每一個(gè)平衡序列或者等于S中的一個(gè)序列，或者至少與S中的一個(gè)序列相鄰四、數(shù)學(xué)歸納法1第一數(shù)學(xué)歸納法例12 設(shè)正數(shù)數(shù)列an滿足an2anan1，證明2起點(diǎn)與跨度例13

4、 設(shè)n為不少于3的自然數(shù)，證明可將一個(gè)正三角形分成n個(gè)等腰三角形3蹺蹺板歸納法例14 用Fn表示斐波那契數(shù)列的第n項(xiàng)，證明：4加強(qiáng)命題例15 設(shè)0a1，定義a11a，n1，證明：an15轉(zhuǎn)化命題例16 已知a1 = a2 = 1，試證：對(duì)一切，an皆為整數(shù)6第二數(shù)學(xué)歸納法例17 平面內(nèi)有有限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)集合，其中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均為整數(shù)可不可以把此集合中的某些點(diǎn)染成紅色，而其余的點(diǎn)染成白色，使得與縱橫軸平行的每一條直線L上所包含的紅、白點(diǎn)的個(gè)數(shù)至多相差1個(gè)？例18 對(duì)于正整數(shù)n，設(shè)C(n)為用2的冪之和表示n的方法數(shù)，這里2的冪是按非增順序排列的，而且在和式中使用每個(gè)2的冪不能超過(guò)3次例如，8用2

5、的冪的和表示的方法數(shù)有5種：8，4 + 4，4 + 2 + 2，4 + 2 + 1 + 1，2 + 2 + 2 + 1 + 1證明或否定，對(duì)所有的正整數(shù)n，有一個(gè)多項(xiàng)式P(n)，使得C(n) = P(n) ，這里的u表示不超過(guò)u的最大整數(shù)練習(xí)：1 有10層臺(tái)階，若每次可以上一層或二層，則共有多少種上法？2 證明：對(duì)于任何自然數(shù)n，不定方程都有正整數(shù)解3 求ux2 - x + 1 +的最小值4 設(shè)x，y是正實(shí)數(shù)，求u的最小值5 已知a，b均為正整數(shù)，且ab，（0），求證：An為整數(shù)6 求證：任一正方形可以剖分成多于5個(gè)的任意個(gè)數(shù)的正方形7 已知a，b為正實(shí)數(shù)，且，試證：（）8 設(shè)有2n個(gè)球分成了許多堆，我們可以任意選取甲、乙兩堆作如下挪動(dòng)：若甲堆的球數(shù)p不少于乙堆的球數(shù)q時(shí)，就從甲堆中拿出q個(gè)球放入乙堆，這稱(chēng)為一次挪動(dòng)證明：可以經(jīng)過(guò)有限次挪動(dòng)，把所有球并成一堆9 設(shè)f(x)是定義域、值域均為R的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，均有