第二章第節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

1、第二章第節(jié)高階導(dǎo)數(shù)2一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tss 設(shè)設(shè)).()(tstv則則瞬瞬時時速速度度為為的變化率，的變化率，對時間對時間是速度是速度因為加速度因為加速度tva定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點為為則則稱稱存存在在即即處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 0).()()(tstvta 所所以以3記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般

2、地地,)()(,nxfnxf1.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf4二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例例1 1arctan ,yx解解，211xy)11(2 xy，22)1 (2xx022)1 (2) 0 ( xxxf故故0.1.1.直接法直接法: :

3、由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).求求(0).f5例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 6例例3 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :，xy11，2)1 (1xy ，3)1 (! 2xy ，4) 4()1 (! 3xy).1! 0, 1()1 ()!1() 1(1)(nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并

4、不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學歸納法證明數(shù)學歸納法證明)7例例4 4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos sin()2x )2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得82. 高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()()()()()()()()(!)()(!)()()(kknnkknnkknnn

5、nnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 02111213（萊布尼茲公式）（萊布尼茲公式）9例例5.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè)解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux0)()(! 2) 120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe).9520(22220 xxex103.3.間接法間接法: :常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx ) 1() 1()() 4 ()(,)!1() 1()(ln) 5 (1)(nnnxnx)2sin()(sin

6、) 2()( nkxkkxnn)2cos()(cos) 3()( nkxkkxnn),0(ln)() 1 ()(aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則1)(!) 1()1(nnnxnx運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).( )1(1)!ln (1)( 1),(1)nnnnxx ( )11!()( 1)1(1)nnnnxx 11,1) 2(,11) 1 (3xxyxxy21,1yx ( )1!2( 1).(1)nnnnyx 211,1yxxx . 3,)1 (!1)(nxnynn例例6 求下列函數(shù)的求

7、下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)122312xxy,1121xxy.) 1(1) 2(1!) 1(11)(nnnnxxny(3)13例例7.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè)解解3232)(cos)(sinxxy)coscossin)(sincos(sin422422xxxxxxxxxx222223cossin)cos(sinx2sin431224cos1431x,4cos8385x).24cos(483)( nxynn14三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法直接法;

8、2.間接法間接法.1510132P習題習題).3)(1 ( 9),4)(3( 8,14) 2( 3)12,11,10, 3 , 1 ( 1）（，16思考題思考題設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 17思考題解答思考題解答)(xg可導(dǎo)可導(dǎo))()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 18一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)tetysin 則則y =_.=_.2

9、2、 設(shè)設(shè)xytan , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè)xxyarctan)1(2 ，則，則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)2xxey , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè))(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y = =_. .6 6、 設(shè)設(shè)6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_.7 7、 設(shè)設(shè)nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. .8 8、設(shè)、設(shè))()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._.練練 習習 題題19二、二、 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)

10、的二階導(dǎo)數(shù)：1 1、 xxxy423 ；2 2、 xxylncos2 ；3 3、 )1ln(2xxy . .三、三、 試從試從ydydx 1，導(dǎo)出：，導(dǎo)出：1 1、 322)(yydyxd ；2 2、 6233)()(3yyyydyxd . .五五、驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常數(shù)數(shù)） 滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式02 yy . .20六、六、 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的 n n 階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)： 1 1、xeyxcos ；2 2、 xxy 11；3 3、 2323 xxxy; ;4 4、 xxxy3sin2sinsin . .21一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22cos2sin2ln