2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題(課標(biāo)卷)(解析版)

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新課標(biāo))理科數(shù)學(xué)解析第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（A） （B） （C） （D）解析：=共軛復(fù)數(shù)為C（2）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（A） (B) （C） (D) 解析:由圖像知選B（3）執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6，那么輸出的p是（A）120 （B）720 （C）1440 （D）5040解析：框圖表示，且所求720選B（4）有3個興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個小組，每位同學(xué)參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個興趣小組

2、的概率為（A） （B） （C） （D）解析;每個同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A（5）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=解析：由題知,選B（A） （B） （C） （D）（6）在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如右圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為解析：條件對應(yīng)的幾何體是由底面棱長為r的正四棱錐沿底面對角線截出的部分與底面為半徑為r的圓錐沿對稱軸截出的部分構(gòu)成的。故選D（7）設(shè)直線L過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，L與C交于A ,B兩點，為C的實軸長的2倍，則C的離心率為（A） （B

3、） （C）2 （D）3解析：通徑|AB|=得，選B（8）的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40解析1.令x=1得a=1.故原式=。的通項，由5-2r=1得r=2,對應(yīng)的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應(yīng)的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40 ，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項=-40+80=40（9）由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為（A） （B）4 （C） （D）6解析;用定

4、積分求解，選C（10）已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題 其中的真命題是（A） （B） （C） （D）解析：得， ，。由得。 選A（11）設(shè)函數(shù)的最小正周期為，且，則 （A）在單調(diào)遞減 （B）在單調(diào)遞減 （C）在單調(diào)遞增（D）在單調(diào)遞增解析：，所以，又f(x)為偶函數(shù)，選A(12)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于 （A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8解析：圖像法求解。的對稱中心是（1,0）也是的中心，他們的圖像在x=1的左側(cè)有4個交點，則x=1右側(cè)必有4個交點。不妨把他們的橫坐標(biāo)由小到大設(shè)為，則，所以選D第卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）若變

5、量滿足約束條件則的最小值為 。解析：畫出區(qū)域圖知，當(dāng)直線過的交點(4,-5)時，（14）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率為。過的直線L交C于兩點，且的周長為16，那么的方程為 。解析：由得a=4.c=,從而b=8,為所求。（15）已知矩形的頂點都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 。解析：設(shè)ABCD所在的截面圓的圓心為M,則AM=,OM=，.（16）在中，則的最大值為 。解析：,；，故最大值是三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分12分）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且（)求數(shù)列的通項公式；（）設(shè) 求數(shù)列的前n項和.解析：（）設(shè)數(shù)列a

6、n的公比為q，由得所以。由條件可知a>0,故。由得，所以。故數(shù)列an的通項式為an=。（ ）故所以數(shù)列的前n項和為(18)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。解析1：（）因為, 由余弦定理得 從而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD所以BD 平面PAD. 故 PABDzxPCBADy（）如圖，以D為坐標(biāo)原點，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，則,。設(shè)

7、平面PAB的法向量為n=（x,y,z），則, 即 因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值為 （19）（本小題滿分12分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果：（）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列

8、及數(shù)學(xué)期望.（以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）解析：（）由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3。由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42（）用B配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04，,054,0.42，因此X的可能值為-2,2,4 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,X-224P0.040.540.42即X的分布列為X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+

9、2×0.54+4×0.42=2.68（20）（本小題滿分12分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C。（）求C的方程；（）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。解析; ()設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由題意可知（+） =0, 即（-x,-4-2y） (x,-2)=0.所以曲線C的方程式為y=x-2.()設(shè)P(x,y)為曲線C：y=x-2上一點，因為y=x,所以的斜率

10、為x因此直線的方程為，即。則o點到的距離.又，所以當(dāng)=0時取等號，所以o點到距離的最小值為2.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為。（）求、的值；（）如果當(dāng)，且時，求的取值范圍。解析：（）由于直線的斜率為，且過點，故即解得，。（）由（）知，所以?？紤]函數(shù)，則。(i)設(shè)，由知，當(dāng)時，h(x)遞減。而故當(dāng)時， ，可得；當(dāng)x（1，+）時，h（x）<0，可得 h（x）>0從而當(dāng)x>0,且x1時，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）設(shè)0<k<1.由于=的圖像開口向下，且，對稱軸x=.當(dāng)x（1，）時，（k-1）（x2 +1）+2x

11、>0,故 (x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，）時，h（x）>0，可得h（x）<0,與題設(shè)矛盾。（iii）設(shè)k1.此時，（x）>0,而h（1）=0，故當(dāng)x（1，+）時，h（x）>0，可得 h（x）<0,與題設(shè)矛盾。 綜合得，k的取值范圍為（-，0點評;求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進行求解。若求導(dǎo)后不易得到極值點，可二次求導(dǎo)，還不行時，就要使用參數(shù)討論法了。即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是否符合題意。求的答案。此題用的便是后者。請考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分1

12、0分）選修4-1：幾何證明選講如圖，分別為的邊，上的點，且不與的頂點重合。已知的長為，AC的長為n,，的長是關(guān)于的方程的兩個根。（）證明：，四點共圓；（）若，且，求，所在圓的半徑。解析：（I）連接DE，根據(jù)題意在ADE和ACB中， 即.又DAE=CAB,從而ADEACB 因此ADE=ACB 所以C,B,D,E四點共圓。（）m=4, n=6時，方程x2-14x+mn=0的兩根為x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.取CE的中點G,DB的中點F，分別過G,F作AC，AB的垂線，兩垂線相交于H點，連接DH.因為C，B，D，E四點共圓，所以C，B，D，E四點所在圓的圓心為H，半徑為DH.由于A=900，故GHAB, HFAC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四點所在圓的半徑為5(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動點，P點滿足,P點的軌跡為曲線C2()求C2的方程()在以O(shè)為極點，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求.解析; （I）設(shè)P(x,y),則由條件知M().由于M點在C1上，所以 即 從而的參數(shù)