第六屆華杯賽決賽二試試題

1、第六屆華杯賽決賽二試試題1. “二是四位數(shù)，a,b,c,d均代表丨，2, 3, 4中的某個數(shù)字，但彼此 下同，例如2134。請寫出所有滿足關(guān)系：av b, b>c, c v d的四位數(shù)足L 來2 .在1997行和1997列的方形棋盤上每格都裝有一盞燈和一個按鈕， 按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態(tài)，即 由亮變不亮，不亮變亮。如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要 按多少次按鈕才可以使燈全部變亮 ？3. A, B兩地相距105千米，甲、乙二騎車人分別從 A, B兩地同時相 向出發(fā)，甲速度為每小時40千米，出發(fā)后丨小時45分鐘相遇，與乙在 M地相遇，然后繼續(xù) 沿各自

2、方向往前騎。在他們相遇3分鐘后，甲與迎 面騎車來的丙在N地相遇，而丙在C地追及上乙。若甲以每小時 20千 米的速度，乙以每小時比原速度快 2千米的 車速，二人同時分別從 A, B出發(fā)，則甲、乙二人在 C點相遇。問丙的車速是多少？ItItJAC F M NB4. 圓周上放有N枚棋子，如右圖所示，B點的一枚棋子緊鄰A點的棋 子。小洪首先拿走B點處的丨枚棋予，然后順時針每格一枚拿走2枚棋 子，連續(xù)轉(zhuǎn)了 10周，9次 越過A。當將要第10次越過A處棋子取走其 它棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上余下 20多枚棋子。著N是14的倍數(shù)，請幫 肋小洪精確計算一下圓周上還有多少枚棋子 ？5 .八個學生8道問題。（a）若每

3、道題至少被5人解出，請說明可以找到兩個學生，每道題至少 被這兩個學生中的一個解出。（b）如果每道題只有4個學生解出，那么（a）的結(jié)論一般不成立。試構(gòu)造 一個例子說明這點。6.長邊和短邊的比例是2：1的長方形稱為基本長方形。 用短邊互不相 同的基本長方形拼圖，要求任意兩個長方形之間：（1）沒有重疊部分；（2）沒有空隙。試用短邊互不相同且最小短邊為1的五個基本長方形拼接一個更大的長方形，若 I 一 一 T 丁 了 1 ,分別為5個短邊，我們 將大長方形記為（二，丄I, T）。例如（1 , 2, 5, 6, 12）就可 以拼成一個長方形（見示意圖，圖中數(shù)字是所在長方形短邊之長），是一 個解答。請盡可

4、能多地寫出其它的解答（不必畫圖）。注意：示意圖是用 解答中5個基本長方形拼成的一個長方形的拼圖方法，存在其它拼圖方式，但只要五個基本長方形相同則認為是同一解答。1212£61.【解】b只能在3、4中取，c只能在1, 2中取 b、c取定后，a、d不難選取，共有5個滿足要求的，即1324; 1423;2314; 2413； 3412。2. 【解】當一盞燈經(jīng)奇數(shù)次變換后是亮的，經(jīng)偶數(shù)次變換后是滅的 .所 以只需將某一行（或某一列）的按鈕均變換一次，這樣，非此行（或列） 的格子均變換1次，而該行（或列）的格子均變換了 1997次，所以每 盞燈均經(jīng)過奇數(shù)次變換，結(jié)果都亮了。這也是最少的變換次數(shù)

5、，因為如果減少一次變換，就會造成被減少變換的格子所在的列（或行）的燈不亮3. 【解】設(shè)當甲以40千米/小時騎車與丙在 N地相遇時，乙位于P地, 如上圖當甲以40千米/小時的速度騎車與乙在 M地相遇時.甲騎車的路程：AM= 40X= 70（千米），乙騎車的路程：BM= 105-70=35（千米），則乙的速度是:735 = 20（千米/小時）3分鐘后，丙乙相距：3PN= (40 + 20) X =3(千米)，2乙騎車到P的路程：BP= 35 + 20X , = 36（千米），105乙從P騎車到c的路程：PC=工 二X 22- 36= 19（千米），19乙從P到C所用的時間：19-20=（小時）乙從

6、P到C所用的時間也是丙從N到C所用的時間，所以，丙的車速是：1! 23 23+工+ 20=（千米/小時）23 -答：丙的車速是匚千米/小時.4. 【解】設(shè)圓周上余a枚棋子，從第9次越過A處拿走2枚棋子到第10 次將要越過A處棋子時，小洪拿走了 2a枚棋子，所以在第9次將要越 過A處棋子時，圓周上有3a枚棋子.依此類推，在第8次將要越過A處 棋子時，圓周上有a枚棋子，在第1次將要越過A處棋子時，圓 周上有a枚棋子，在第1次將要越過A處棋子之前，小洪拿走了 2（/ a- 1） +1 枚棋子，所以 N= 2（ 了 a-1） +1+ 了 a= a- 1.N= T a- 1 = 59049a 1是14的

7、倍數(shù)。N就是2和7的公倍數(shù)，所以a必須是奇數(shù)；又 N= （7 X 8435+ 4）a 1 = 7X 8435a + 4a- 1,所以 4a- 1 必須是7的倍數(shù).當a=21, 25, 27, 29時，4a- 1不是7的倍數(shù)，當a =23 時,4a 1 = 91 = 7X 13,是 7 的倍數(shù).答：圓周上還有23枚棋子.5. 【解】(a)設(shè)解題最多的人解出d道題將解出的題數(shù)相加，八個人至 多解出8d道，另一方面，每題至少被5個人解出，八個人至少解出8X5 道題。所以8d>8X 5, d>5 d = 8時，結(jié)論成立d= 7時，必有人解出 剩下的一道題，這兩人為所求，d = 6時，剩下的

8、兩道題，各有5人解出， 5+ 5> 7。所以至少有一人同時解出這兩道題，他與解題最多的人為所 求，d= 5時。另三道題每道各有5人解出，設(shè)這三道題是6, 7, 8,解 出6的人數(shù)與解出7的人數(shù)之和為10,而除解題最多的人外只有 7人, 所以，有三人同時解出6, 7二題，又解出8的人數(shù)為5, 3+ 5 = 8>7, 所以必有一人同時解出6, 7, 8這三道題，他與解題最多的人為所求。(b)如表，表中如果*位于第i行，第j列，則表示第i個學生正確解答第j題便號三1七Ai.M-2魯鼻-科3*44*5#.*一.Cft71*8416. 【解】共有16組解答，它們是(1 , 2, 2, 5, 5, 7, 25); (1 , 2, 2, 5, 5, 14, 5); (1 , 2, 2, 25,2,5, 3, 625); (1,2, 2.25 , 2.5 , 7.25);(1 , 2 , 5 ,5.5 , 6) ; (1 ,2,5, 6, 11); (1 ,2. 2.5 , 4.5 , 7); (1 , 2! , 2.5 , 4.5,14) ; (1 , 2 ,2.5,4.5 , 7); (1 ,2, 2.5 , 4.5 , 14) ; (1 ,2 , 5, 12,14.5) ; (1 ,