等差、等比數(shù)列的綜合問題

1、專題2 數(shù)列知識網(wǎng)絡圖解、數(shù)列的概念、性質(zhì)例若數(shù)到 a滿足an+1 =2 an,a= 6則aoo9的值為()76A.7L 2 an 1 ,5B.-73C.-7av 121D.7 2004 an=n2004則數(shù)列 an最大項為(A. ai通項為B. asC. a4D. 02007a的取值范圍為i 2008等差數(shù)列等比數(shù)列定義a an( d 為常數(shù)，n2, n N)邑 q(q為常數(shù)，n2, (n N*)an 1通項 公式a = a+( n 1) d 或 an= a+ (n m) da= aq 或 a= am qnm刖n項和 公式san )nSn2n(n 1)d =n a+d2S= vn a/八(q

2、=1)a/1 q )a1 a.q(q工 1) 2 )性等差數(shù)列的性質(zhì)(1) m, n, p, q N,若 m+ n =p+ q, 貝V 加+ n= a+ a , 特另U地 a + a= a2+ =(2) a= an+b ( a, b 是常數(shù))是 a 成等差數(shù)列的充要條件， (n, a)是 直線上的一群孤立的點(3) 數(shù)列 a的前n項和S=o(n2+bn( a等比數(shù)列的性質(zhì)(1)m、n、p、q N，若 m+ n= p+ q,貝 V aan= a a, 特另U地 a a= a a仟(2) 當Ja 0或/ aV 0時， a為遞增數(shù)列，L q 1L 0v qv 1a V 0aV 0當-或彳時， a為遞

3、減數(shù)列l(wèi)0v q v 1L q 1(3) 若 a和bn均是等比數(shù)列，則 anbn仍為等2an=n an+1的數(shù)列 a是遞增數(shù)列，則實數(shù) 二、等差數(shù)列、等比數(shù)列知識整合質(zhì)豐0)是呵成等差數(shù)列的充要條件(4)等差數(shù)列的單調(diào)性 d 0 %為遞增數(shù)列，Sn有最小值。dv 0 如為遞減數(shù)列，3有最大值 d=0 on均是等差數(shù)列，則(mon+kbn)仍為等差數(shù)列，m、k為常數(shù)(6) 等差數(shù)列中依次 k項和成等差數(shù) 列，即 Sk, S2k - Sk, S3k-S2k,成等 差數(shù)列，公差為k2d(7) 項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列 o4，S2n_n(如+如+1);項數(shù)為奇數(shù) 2n 1的等差數(shù)列 on,有S2n -

4、1=( 2n 1)s奇ns偶n 1比數(shù)列(4) 等比數(shù)列中依次 k項和成等比數(shù)列，即 Sk, S2k-Sk, S3k-S2k，成等比數(shù)列，其公比為 qk (公 比q不為一1)(5) 等比數(shù)列中依次 k項積成等比數(shù)列，記 Tn為前n項積，即Tk,耳,耳，成等比數(shù)列，TkT2k.2其公比為qk要點熱點探究例1 ( 1)已知兩個等差數(shù)列 a和bn的前n項和分別為An和Bn,且=旦上5，則使Bnn 3a得也為整數(shù)的正整數(shù) n的個數(shù)是()bnA.2B.3(2) 已知等差數(shù)列 %的前n項和為Sn,若 直線不過點 O),則S200等于()A.100B.101(3)(4)值為A.C.4D.5OB= 6炭+力9

5、5OC，且A、B、C三點共線(該C.200 與差數(shù)列如中，S6=36 , Sn=324 , S-6=144,則 等差數(shù)列 an共有2n+ 1次，其中奇數(shù)項之和為D.201n=319，偶數(shù)次之和為9=10B. a =16C.to =29D.290則其中間項的( )12=39S200anbn色2 -b1 b2n1?(2 n 1)2* ana2n 1 ?(2n 1)z bnC三點共線魚？200亙A2n 1B2n7(2 n1) 452n 1 3n 1,2,3,5,11覓a195?20021?200 100212n 13 SnSn 6an 5an 4an180sa685a 366(a1an)18036

6、216a1an364 an?nSn18n324n1824 S奇4319n1n 10中間項為a11S偶290nS21a-ia21 ?211319 290a11aa?1例2等差數(shù)列 a的前n項和為Sn,a?1229a=1 +2, S3=9+ 3. 2(1) 求數(shù)列 a的通項a,與前n項和Sn;(2) 設bn=Sn (n N*)，求證：數(shù)列b n中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列nL a= J2 + 1【解析】(1)由已知得-3 a+3d=9+ 372 二 d=2 故 a=2n 1 + 血,Sn=n ( n + V2 )(2)證明：由(1)得 bn= n+2n假設數(shù)列bn中存在三項bp, bq,

7、br(p,q,r互不相等)成等比數(shù)列，則bq2 =bp br.即(q+ . 2 )2= (p+、2 ) (r+ ,2 ),( q2 pr) + ( 2 q p r)2 =02q pr=p r 22 q p r=0 (七 )=pr，即(p r)2=0, p=r，這與變式數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列1已知數(shù)列 a中，a=，點(n, 2o+1-o)在直線y=x上，其中n=1, 2,2令bn=an+1 a 1，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(1)(2)(3)設Sn, Tn分別為數(shù)列 a, bn的前n項和，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列求數(shù)列 a的通項；為等差數(shù)列？若存在，試求出；若不存在，則說明理

8、由。an 1)R1解( 1) 01+2 a+1 1= ( a+1 2(2) a=- , 2 a 2a=1 ( 1+a) =3243 一 4123_ 4一一1-3bn= a+1_ a-1= 一4n+11、a+1- on=1 3()2n+1Tn=2* 1Sn=2n 3n2nSnTnn2小n 3n2存在Tn_32-n 3p等差例3已知數(shù)列 a為等差數(shù)列，公差dM 0，由 a中的部分項組成的數(shù)列為等比數(shù)列，其中 bi=l, b2=5, b3=17(1)求數(shù)列b n的通項公式；(2)記 Tn=Cn1b1 Cn2b2C “他+Cnnbn，求 Tn解( 1)： a25ai2(a1 4d)a1(a116d).

9、印 2d.qab1a1a13n 1乂 abna13a1(bn1)d.4 3n 1 a 1 (bn bn=2.3n-1- 1ai7a1 4d(2) Tn 2(Cn131 C+cnn3n 1) -( Cn1+Cnn)2 1 2= 1+-( Cn13 C2n32(C0n C2n32322(1 3)n 2n3變式(理)32Cnn3n)(Cn0Cn+ Cnn3n)2n2n設數(shù)列 a的首項a=aM 1，且4n+1 =、 1記 bn= a2n-1- n=1, 2, 3,4求 a, a;判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論;(1)(2)(3)求 lim (b1 + b2+ bn)n1an2n為偶數(shù)n+

10、, n為奇數(shù)41(文)數(shù)列 an的前n項和為 S,且a=1, a+1= q , n=1, 2, 3,求:3(1) a, a, a4的值及數(shù)列 a的通項公式；(2) a+a+a+ a2n 的值三、簡單遞推數(shù)列與數(shù)列求和(2)(nn d(1 )已知數(shù)列 an為等差數(shù)列，且公差不為0,首項也不為0,求和： Li 1 aiai 1 令 bn= a Tgan(3)已知a 0且aM 1數(shù)列 a是首項為a,公比邊也為a的等比數(shù)列, N)，求數(shù)列 a的前n項和1an=已知f ( X)=數(shù)列a滿足求f3r n,2n,解: (1)a1an 1(3).當X-Ix2Sn(0)f(1) +叫nn為奇數(shù)n為偶數(shù)a Ig

11、a占1 (11 時，f (Xi) + f (X2)n ina)a Snf (1) + + f () nnf (-) f(n 1 nf (0)二 2Snf (0)+ f (0)n+ f(n) (n+1)=(n+1)n3(4)當 n=2k 時Sn= S2k=( a1+ a+ a”1 )+(2 22k 2 當 n=2k+1 時 Sn= S2k+1 = S2k+ 2k+1 = kr,n 1、2 2n 1 4 、r *來&3丨(-丁)2 3 , n為奇數(shù)n22n 2 4才, n為偶數(shù)(2 )9X9為 9X26X23(9人9X2) 92a2+ 於+.+ a2k)= k4+2k+ ( 1)22數(shù)列 an中，

12、a =8, a=2 且滿足 a+2=2 an+i- a, 求數(shù)列 a的通項公式；設Sn=耳(3)設 bn使得對任意a2ann3(n(n N*)，均有，求 Sn；N*) , Tn b1 b2+ bn (n N*)?2k 2Tn 32成立？若存在，求出m的值;解析 (1)(2)由 a=10 2n 0 得 nW 5,n(n 1) / c、 c 2nW 5 時 Sn= a+ a?+ + a =8 n+( 2) =9n nan= 8 2 (n 1)=10 2nn22n 24,是否存在最大的整數(shù) m.若不存在，請說明理由n 5 時Sn= a1+ a+ a a =(a1+ a+a) 2 (=9 n n 40

13、29 n na+ + a)n=5cm2、2/c9 n + n -40n 5(3 ) bn=2n(n 1)m 32 1 (1 - 12 11m 16 ( 1 )n 1探究點二用疊加法、1m 2)貝y a=an= a-1 2(n 2),貝U a=, 2(3)在數(shù)列 an中 a=3, an+1= a n (nN*),則a=1 2解(1)( n2 n)2n2 n 22 2 2n 132探究點三構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題例4 (1)在數(shù)列 a中，若a=1,在數(shù)列 a中，若a=1 ,an+ 1=2 an+3a+1=2 a+3(n 1),則該數(shù)列的通項 (n 1),則該數(shù)列的通項(xn=(Xn=在

14、數(shù)列 a中，若a=3,_3anan+1=2 an3(n N*)則該數(shù)列的通項on=已知數(shù)列 an滿足X1=3,3X2= 2 , Xn=1 ( Xn-1+ Xn-2 ) , n=3,4，則數(shù)列 Xn的通項公式為(4)令 XnAx.B(Xn 1 AXn 2)AB若 A=1 B=-XnXn 11則27(Xn2Xn 2 )=X2若 A=-l21XnB=1XnXn 11Xn 2Hl X212X1Xn1、n 1例 5數(shù)列 a滿足 a+1=2, a0，且(n+1) an+anan 廠 nan j=，又數(shù)列 伽滿 bn=2n 11(1 )求數(shù)列的通項a和前n項和Sn(2) 求數(shù)列bn的前n項和Tn(3) 比較

15、Sn與Tn的大小【解答】(1)V a 0(n2 2N*),且(n+1) an +a.an 1- na. 1 =0,( n+1)(啟) 或數(shù)列 a滿足 a= a, a2=b， an+2= p an+1+則原式可化為a+2 Aa+1=B ( a+1 Aa)，用待定 法求出A、B，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 (諾丿 n 0anT a 0(n N*)anan nan 1n 1a.an an 1 an 2aian 2 an 2 an 33aa2 _ na2a1 n 12 2n又a=2,31所以，a=2n / S= a+兌+ + a =2(1+2+ +n)= n2+ n(2) t bn=2 +1Tn= b1

16、+ b2+ bn= (2 +2 + 2n ) + n=2 + n 1n 2 Tn-Sn=2n n 11 2當 n=1 時，T1 S1=2 -1 -1=0 當 n=3 時，T3 S3=2 -3 -1=-2 當 n=5 時，T5 S5=25-5 2-1=6 猜想：當n5時，Tn Sn,即. T2 S2T4 S4； -T6 S6.2 2二 T1= Si; 當 n=2 時，T2 S2=2-2-1=-142二 Ts S3；當 n=4 時，T4 S4=2 -4 -1=-1 ,62T5 n2+1.下用數(shù)學歸納法證明； 當n=5時，前面已驗證成立; 假設n=k (k5)時命題成立，即 2kk 已知數(shù)列 an，

17、若滿足 a- a-1=f ( n)，則用累乘法，若a= f (n )，則求a 般用疊 + 1成立，那么當n=k + 1 (k5)時，2k+1 =2 2k 2 (k2+1)= k2+ k2+2 k2+5 k+2 k2+2 k+2=( k+1)2+1.即 n=k + 1 ( k 5)時命題也成立 由可知，當k 5時，有Tn= Sn;綜上可知：當n=1時，T1= S1;當 2 n 5時，Tn Sn。變式已知數(shù)列 a的數(shù)例，b1=1，b1+ b2+ b10=145(1 )求 a的通項bn1(1 )設數(shù)例 a的通項a=log a ( 1+)(其中a 0且 a 1 ) Sn為 a的前n項和，試比bn1較S

18、n與3log如的大小。規(guī)律技巧提煉1、若數(shù)列 a滿足a= a， a+1=pan+q ( p、q數(shù)，且P)，則數(shù)列 a代是等比數(shù)例I P加法；若滿足蛍=fan 1(n)，可以考慮用迭代法。4、歸納一猜想一證明體現(xiàn)了由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無限的辯證法，對 培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、計算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、 抽象、概括等思維能力，都有重要作用。5、數(shù)列求和的四種常方法：倒序相加、錯位相減、裂項相消、分解求和。四、數(shù)列與函數(shù)、不等于式綜合問題探究點一 用函數(shù)思想研究數(shù)列問題例1數(shù)列 a的通項公式為 a=7 ( 3)42n-2 3 ( 3 )4n-1(n N*),

19、A.最大項為 a,最小項為C.最大項為a,最小項為(2)在等差數(shù)列 a中， 大項是探究點二 以函數(shù)為載體，1aSi是前B.最大項為D.最大項為 n項和，它滿足a,最小項為 a,最小項為 a 0, d 0,aS7=S13,則數(shù)列n則數(shù)列S中最考查數(shù)列的有關(guān)基本知識,點A0表示從標原點，點 An坐標為(n , f (n) (n(n N*) 若向量 a=ApA +AA?+: +A-1A , n是 a與 i 的夾角(其中 i=( 1,0),設 Sn=tan 1+tan 2+ +tan n,求 Sn；(2)已知函數(shù)y=g ( x)的圖象經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為g (x) =6x 2.數(shù)列 a的前例2設函

20、數(shù)f (x)=x 1n項和為Sn,點(n, Sn) (n N*)均在函數(shù)y=g (x)的圖象上。求數(shù)列 a的通項公式;設bn,Tn是數(shù)列b n的前n項和，求使得Tnan an 120對所有n N*都成立的最小正整數(shù)m【解答】(1)An-iAn=(n , f (n) ) (n 1), f (n)=(a=(G 0) (1, 2 + (1 呂 n) =(n爲)，當 n=1 時,也適用1 tan n=nTT) Sn=-1 n(2)依題可設 f (x) = ac2+bx (a* 0)，則 f、(x)=2 ox+b,由 f、(x) =6x 2 得a=3,2b= 2, 所以 f (x) =3x 2x又由點(

21、n, Sn) (n N*)均在函數(shù)y=f (x)的圖2 2 2象上，得 Sn=3n - 2n 當 n2 時，a=Sn-Sn-i= (3n 2n) 3 ( n 1) -2 ( n-1 )=6n 5所以 an=6 n 5 (nN*)由得bn 33=丄()anan 1 (6n 5)6( n 1) 62 6n 5 6n 1n 故Tni 111111111mb = 2(1 7) 7 押+(67E 677)因此，使得於1 話) 20 (nN*)成立的m必須且僅需滿足 申 10 ,故滿足要求的最小整數(shù)m為101 一變式已知函數(shù)f (x)=(x v 2)(1 )求f(x)的反函數(shù)f-一1(X)/2x 4(2)

22、a=1,11f (an), (n N*)求 aan 1設2Si= a 12 a22an , bn=Sn+1 Sn是否存在最小的正整數(shù)m使對任意(n N*)，有bnV 成立？25探究點三數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題例3 已知函數(shù)f (t)對任意實數(shù) x，y都有f ( x+ y) =f (x) + f (y) + 3xy (x + y+2)+3, f (1) =1(1 )若t N*，試求f (t)的表達式；(2) 滿足條件f (t)的所有整數(shù)能否構(gòu)成等數(shù)列？若能構(gòu)成等差數(shù)列，求出此數(shù)列；若 不能構(gòu)成等差數(shù)列，請說明理由；(3) 若tN *且t 4時，f( t) mt2+ (4m+1) t+3m恒成

23、立，求出 m的最大值解 (1 )令 x=t y=1 f (t) f (t 1) =3t2+3t 2 f (t) f (1) =3 (22+33+t2) +3 (2+3+ +t) 2 (t 1)f (t) = t (t + 1) (t+2) 2t 3(2) f (t) = t (t + 1) (t 1) (t+2) =0t = 3， 1 , 1 等差數(shù)列一3, 1, 1或1, 1, 3(3) (t + 1) (t + 3) (t 1)m(t + 1) (t + 3) mW t 1mW4 仁3 m的最大值為3變式已知函數(shù)f (x)=】x3 x22.3(I)設 a是由正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為Sn,

24、其中a=3，若點(an,an 12 2a“ 1)(n N*)在函數(shù)y= f (x)的圖象上，求證：點(n, Sn)也在函數(shù)y= f (x)的圖象上;(II )求函數(shù)f (X)在區(qū)間(a 1, a)內(nèi)的極值 解析(1)因為 f (x) =lx2 x2 2，所以 f( x) = x2+2x,3由點(an,an 12an 1) (n N*)在函數(shù)y=f (x)的圖象上,2 2得 an 12an 1an2an 即 n 1 an)(an 1an 2)0又ao(n N*)，所以an 1 an 2，又因為 a =3,所以數(shù)列 a是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列所以 Sn=3n+ 2 ) x 2=n2+2n，

25、所以 Sn= f ( n),故點(n, Sn)也在函數(shù)y= f (x)的圖象上(II) f ( x) = x2+2x=x (x+2)，由 f (x) =0，得 x=0 或 x= 2當x變化時f ( X)、f (x)的變化情況如下表:X(a, 2)2(2, 0)0(0, + )1-0-0-+1(X)才極大值極小才注意到(a一 1 ) 0=1 V 2，從而2 當a 1 V- 2 V a,即一2 V aV 1時f ( X)的極大值為f ( 2)=，此時f (X)無3極小值； 當a 1 V 0 Va,即0 VaV 1時，f ( X)的極小值為f( 0)= 2 ,此時f( X)無極大值； 當a 0)從下

26、到上依次有點 B(i=1,2,3,),o=3i+3j且Bn直 =2任(n=2 ,3, 4,)(1)(2 )求 OAn, OBn;(3 )求 A4A5;求四邊形 AnAn+1Bn+1Bn面積的最大值1 n5= A1A2 ()3解(1) AnAn1= 1 An-1AnA4A31 . n 11(2)AnAn+1=9j (-)=ny J33.OA n=OA 1+ A1A2+ +AnAn1 . =j+9j+3j+ + j29 ()n4 =j 依題意 Bn-1Bn=2(i+j)OB n= OB 1+ B1B2+ + B n-1Bn=(2 n+1)(i+j)(3)Sn= S OAn 1Bn 1S OAnBn =學1=9j 2=丄333Sn Sn 1nA 2 時 Sn Sn-1V 03X29(Sn )m ax1472 2 2探究點二以函數(shù)圖象