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文檔簡介
1、約束問題與臨界值現(xiàn)行高中物理教材的各種版本中,都未曾提及約束問題。然而,有關(guān)約束問 題的習(xí)題卻不少,就是在高考中也常出現(xiàn)這類題型。 至于中學(xué)物理競賽試題中更 是屢見不鮮,并常以拔高題出現(xiàn)。下面擬就中學(xué)物理中有關(guān)約束問題,作一淺析。1有關(guān)約束問題的基本概念如果某一物體被限制在某一曲面或曲線上運動,我們就說該物體的運動受到約束。那么該曲線或曲面就稱為約束。例如:圖1中單擺小球被限制在圓弧上運動;圖2中物體m沿(光滑或粗糙的)斜面下滑,物體 m被限制在斜面上運動;圖3中導(dǎo)體ab被限制在導(dǎo)電滑軌MN上運動等等,都屬于約束問題。圖1中的擺線,圖2中的斜面,圖3中的滑軌等都叫約束。由此可以看出,約束既是實
2、在的物體,又是某些物體對別的物體運動限制作用的抽象。約束的分類隨依據(jù)不同而異X XX XX XmX XTx x ilx xX X垓XX XX x圖4按約束隨時間改變與否,可分為穩(wěn)定約束與不穩(wěn)定約束。例如:圖2中,如果斜面體是固定的,則稱為穩(wěn)定約束,如果斜面體是放在光滑的水平面上,當(dāng)m下滑時,斜面體本身也作加速運動,則稱為不穩(wěn)定約束。按其 約束的方向來分,可分為單向約束和多向約束。如圖1中,小球每時刻都只在沿繩伸長的方向受限制,貝U稱為單向約束;圖4中,帶電小圓環(huán)沿絕緣桿在電磁場中下滑時, 除沿桿的方向以外,其他 方向都受到限制,稱為多向約束。從約束的光滑情況來分,又可分為光滑約束和 有摩擦約束
3、。力學(xué)中把約束對物體的作用力,稱為約束反力。例如:圖1中繩子對小球的拉力;圖2中斜面對物體的支持力等等都叫做約束反力。由上述定義可以看出,約束反力是因其起源和作用而得名,在含意上有其狹 義的規(guī)定性,就性質(zhì)而言都屬于彈力,且都是約束對研究物體的作用力。2約束反力的求解約束反力的大小及其變化情況,往往不能預(yù)先知道,也不是都能由平衡條件計算出來的,而需要根據(jù)物體的運動被限制在約束上這一條件,運用牛頓運動定律列方程求解?!纠?】一質(zhì)量為m的小球,與長為I的細(xì)繩組成一單擺?,F(xiàn)將此單擺拉到與豎直線成 a角的位置,由靜止釋放,在擺動途中,擺繩被一釘子A所阻,釘子與擺的懸掛點0相距r,兩 者連線與豎直線成B角
4、。如圖5所示。試求:擺繩為釘子所阻后,繩子張力的表達(dá)式小球在繼續(xù)上升的過程中,若擺繩發(fā)生彎曲,在此情況下,L、r、鳥a之間的關(guān)系【解析】小球從開始擺動到擺繩發(fā)生彎曲之間,都屬于單向約束問題。小球擺到圖示位置B時,是以釘子A為圓心的,以L r為半徑的圓周運動。設(shè)繩子對小球1 22mvB的約束反力為T, AB線與豎直夾角為B,由機(jī)械能守恒定律得:-mgL cos 二由牛頓運動定律得此時法向方向方程:十2T -mg cos : = m L rCOST-2 rcos : -Leos :-37而B只有在2 ":::二時,繩子才有可能彎曲,故而1 < cos(K 0,即:-2 rcos :
5、 - Lcos :3 L-r:0式聯(lián)立解得:八2mg.冉tT 二 3mg cosr cos - - L cos:L -r若繩子發(fā)生彎曲,則T=0,意味著約束解除,由此條件求得:由此得出的L,r,a 0應(yīng)滿足的條件為:3(L r)< 2(rcos Lcos a< 03即:一 L 一 r i,i r cos : - L cos 兀 i: 023雙向約束問題中約束反力的轉(zhuǎn)換如果約束從兩側(cè)限制物體的運動,則約束反力的方向是可能發(fā)生改變的, 這 一點可以通過下面的例子看出圖5【例2】用細(xì)線把質(zhì)量為M的大圓環(huán)掛起來,環(huán)上套有兩個質(zhì)量均為m的小環(huán),它們可以在大環(huán)上無摩擦地滑動。若兩小環(huán)3同時從大
6、環(huán)頂部由靜止開始向兩邊滑下,如圖 6所示。試證明:如果m 3M ,2則大環(huán)會升起來。并求大環(huán)開始上升時小環(huán)位置 B為多少?【解析】此題中小環(huán)受到雙向約束。設(shè)細(xì)線張力為 T,小環(huán)與大環(huán)間相互作用力為 N(即約束反力),小球滑到位置 0角時的速度為V。貝2對小環(huán):mgcosv-N =mR1 2m g R L cp sm-v由式可解得約束反力:N=mg(3cos 0 2)2當(dāng)cos 時,N=0,此時約束瞬間解除。32若0角再增大,COST;:'時,NV0,說明約束力又復(fù)出現(xiàn)而且改變方向。3小環(huán)對大環(huán)的反作用力將可以提供向上的分力,從而可能使大環(huán)升起。對大環(huán):T=Mg + 2Ncos 0當(dāng)大環(huán)
7、升起時,繩子張力T=0,(繩對大環(huán)的約束解除)°T=Mg+2Ncos 0 =Mg_2mg(3cos 2)cos =026mcos 0 4mcos0+M=0cosh _4m±Jl6m2 -24Mm 1 亠1 / 3Mcos _12一 3 _3、_ 2m3由數(shù)學(xué)知識可知,只有當(dāng)m 時,上式為實數(shù),cos有解,此時小環(huán)的位置用0角表示為:日=arccos丄土丄訥-3(3 3耳 2m y4有摩擦力的約束中的區(qū)間問題約束反力在約束(曲線或曲面)的垂直方向(法向),如果有摩擦存在,它卻在約束的切線方向。因此在研究有摩擦的約束問題時,先要根據(jù)物體有幾個可能的運動方向,確定相應(yīng)的摩擦力的方
8、向。最常見的情況是存在兩種可能的運動 方向,故而摩擦力的方向也就有兩種可能取向。 因此,在運用牛頓運動定律列方 程時,也將會出現(xiàn)兩組,這就導(dǎo)致某些相關(guān)量參數(shù)有一變化區(qū)間。【例3】有一頂角為60°勺錐形容器,在距頂點O為L=1.0m處有一質(zhì)量 m=1.0kg的小物體,讓物體 m與容器一起繞通過O 點的豎直軸線作勻速轉(zhuǎn)動(見圖7)。若®i=5rad/s,則摩擦因數(shù)p至少應(yīng)為多大才能實現(xiàn)這一情況?若32=8rad/s時,范為多大才能實現(xiàn)這一情況?【解析】先假設(shè)物體有向下滑動的趨勢,貝U摩擦力將沿斜面向上,物體受力如圖8所示,沿圓周的切向和法向建立直角坐標(biāo)系,則牛頓運動定律方程為:
9、Ncpsf s i2 nm LsinN si nf cosmg解得:N = mgsin 0 +m(2Lsin 0 co= 1(5.8 (N)2 2f=mgcos 0- m® Lsin 0=2.41 (N)f> 0,說明方向上與假設(shè)相符。=0.161N2 2 2由 f=mgcos m® m® Lsin 0可知:geos-L sin2 v:5.89 rad / s當(dāng)f=0時,®有一個臨界角速度® 0存在。由此得:mgcos0 =m®Lsi n2 0即當(dāng)®V ®o時,有下滑的趨勢,摩擦力向上;當(dāng) ®>
10、; ®o時,有上滑趨勢, 摩擦力向下。®2=8rad/s>®o,故f向下,受力如圖9所示。牛頓運動定律方程:2 .圖gNcos 0 +fsi n 0 ms in 0Nsin 0 =mg+fcos 02 22N 二 m,L sknctd s m g 4Bi2i 7. N解得:f =mL L sin v-gcosv -7.34 N = 0.22N本題中,如果 足恒定的,則要使m在確定的高度與錐形容器一起作圓周運 動,則角速度3必有一個變化范圍,即當(dāng) 3<30時,有下滑趨勢,f向上,相應(yīng)建立牛頓運動方程求出3的最小值omax;當(dāng)3>30時,有上滑趨勢,
11、f向下,相應(yīng)建立牛頓運動方程,求出3的最大值3max,則3的變化范圍是:3minV 3< 3max。5單向約束解除的可能性(臨界值問題)如果約束對物體的限制是單側(cè)的,即它只限制物體不得從某一側(cè)脫離約束,但卻允許物體從另一側(cè)脫離,在這類約束中,約束反力也是單側(cè)的。對于這種單 側(cè)約束,應(yīng)當(dāng)注意約束解除的可能性。如在例1中,0在0°90°勺范圍內(nèi)是不會 解除約束的,當(dāng)其a角足夠大,小球擺動,使0>90°才可能向內(nèi)作拋體運動, 即約束解除有可能。如 0=180°而小球仍沒有離開圓周,則以后再也不可能離 開圓周了。所以約束解除的范圍只能在 90
12、6;< 0V 180°如果a角大到可以使小球 能以A為圓心,Lr為半徑作圓周運動,則小球的單向約束將不能被解除。約束解除問題也稱臨界值問題。在具體問題中,何時解除約束,往往不能預(yù) 先知道。為了找出約束解除的時刻(或位置)即臨界值狀態(tài),常用的方法是:先 假定物體不脫離約束、將假設(shè)的約束反力代入牛頓運動方程中求解,解出約束反力的表達(dá)式后,令其約束反力等于零(這就意味著約束解除),由此可求出相應(yīng) 的時刻(或位置)。【例4】(83年高考題)一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上,其軸線沿豎 直方向,母線與軸線之間的夾角為 30° (圖示10),一條長度為L的繩(質(zhì)量不 計)一端固定
13、在圓錐體的頂點 A處,另一端系著一質(zhì)量為 m的小物體(小物體 可看作質(zhì)點),物體以速度v繞著圓錐體的軸線作水平勻速圓周運動(物體和繩在附圖中都沒畫出)。求定律的方程得:2T sin 30° - N cos300 二 mVoL sin 30°Nsin30°+Tcos30°=mg解得:20mv1N = mg sin 300mg 3L sin 306T = mg cos3001 mg 二 2 3 1 1 mg6 6N為正值說明N的方向與假設(shè)相符合。當(dāng)N=0時,斜面對物體的約束解除物體處于臨界狀態(tài),設(shè)此時速度為V0,2那么:Tsin300V0 0 Lsi n30
14、Tcos30°mg解得:v0=峠= iLgvo =:Lg由于;Lg,實際此時物體已脫離錐面做圓錐擺運動。設(shè)繩與豎直夾角為a,受力如圖12所示,那么:2mv2T' sin 上L sina.117 T.1r mgcos30 2, 3T' cos : = mg解得:T'= 2mga= 45 °本題中,無論v為何值,繩子的約束是不能解除的F面兩例也是臨界冋題【例5】光滑的斜面上用繩拴一質(zhì)量為 m的小球,如圖13所示。當(dāng)斜面水1 3一平向左作印=-g和a2 =-g的加速運動時,求繩上張力分別是多大?2 2E14【解析】當(dāng)加速度較小時,小球是壓在斜面上的,小球受
15、重力 G、支持力N和張力T 三個力的作用,受力如圖14所示。當(dāng)加速度很大時,小球?qū)h離斜面,此時小 球只受重力G和張力T'的作用,受力如圖15所示。為準(zhǔn)確判斷是屬于哪一種情 況,必須以小球壓在斜面上還是飄離斜面為界, 求出其制約參量加速度的臨界值 ao。當(dāng)avao時,小球壓在斜面上,且有支持力存在。當(dāng) a>ao時,小球飄離斜面,當(dāng)然也就沒有支持力存在了。因此解這類問題時,可以先求出臨界加速度小球?qū)⒁h離斜面時,N=0,但繩子與斜面仍然平行。受力如圖15所示,其運動方程為:Tcos45°maoTsi n45°mg聯(lián)立式解出ao=g1 一因aig : a°
16、;,所以小球是壓在斜面上的,此時小球受力如圖14所示。其2運動方程為:oo1T cos45 - N sin45mg 2Tsin45°Ncos45°mg 聯(lián)立解得T =亠2 mg4因a-g a0,所以小球已漂離斜面,小球受力如圖15所示。此時繩與斜2面已不再平行,設(shè)這時繩與水平方向的夾角為a,其運動方程為:T' cos mg聯(lián)立式解得T'Wmg,:二 arctgT' sin a =mg【例6】一支圓柱形的玻璃管,質(zhì)量為20g,密度為2g/cm3, 高12cm,容積為20cm3。它的一端封閉,一端開口?,F(xiàn)將其開口 端豎直向下壓入水中,在下壓過程中管內(nèi)的空
17、氣不跑出,且溫度保 持不變。求:當(dāng)將管口壓入水中 Hi=4m和H2=14m深處時,放手后管將如何運 動?【解析】設(shè)管口壓入某一深度Ho時,放手后管處于平衡狀態(tài)。這時管內(nèi)空氣的體積為V2,管內(nèi)液面與管口的距離為h2,與水面的距離為hl,如圖16所示。設(shè)玻璃 管的體積為V3,以系統(tǒng)為對象,由平衡條件(忽略管內(nèi)空氣的重力):mg= (V3+V2) p水 gma玻3=10 cm代入式解得:V2=10g/cm3再以管內(nèi)封閉的空氣為研究對象,取壓入水中前為狀態(tài) 1,玻璃管平衡時為5=2R =2 10 Pa狀態(tài)2,由玻意耳定律有:P1V1=P2V25,P2=P1+P水P水=P2 P1=1 X10 (Pa)-
18、'P水=卩水gh1 h1=10(m)V -V2 V2h2-2 = 0.06 mj H0 =0 01006 mS S這是一種不穩(wěn)定平衡。當(dāng)壓入的深度H1=4mvH0時,浮力大于重力,玻璃管將會變加速上浮;當(dāng)H2=14m>H0時,浮力小于重力,玻璃管將變加速下沉。H0是以玻璃管上浮或下沉為界時制約參量水的深度的臨界值。D1T【例7】如圖仃所示,一質(zhì)量為m的小球,帶正電荷Q,固定 在絕緣細(xì)繩oA的B點,oB = r,A端套在以o為圓心,R為半徑的 光滑圓環(huán)上。整個系統(tǒng)同處在光滑絕緣的水平面上, 且平面所在的區(qū) 域具有強(qiáng)度為B方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場。當(dāng) A、B繞o以勻角速3在水平面上 順
19、時針旋轉(zhuǎn)時,試討論 AB和oB兩段繩的張力大小和方向?!窘馕觥吭O(shè)當(dāng)3=0時,兩段繩剛好伸直且張力都為零,而且繩子只能有張力不可能有壓力。小球在作圓周運動時,可能受到任一段繩子的張力,令這個張力為T,規(guī)定沿半徑指向圓心的為正。小球受到的洛侖茲力 Fb= BQv = BQ cor,它的方向總 是沿半徑指向圓心的。T與Fb的合力就是小球作圓周運動的向心力。其運動方 程為:2 2T+FB=nmo rT=mto r BQor3Q當(dāng) m r = BQ 0,即0時,T = 0m當(dāng)3>W0時,小球受到OB繩指向0的張力,AB段不受力;當(dāng)3<30時, 小球受到AB繩沿半徑向外的張力,oB段不受力???/p>
20、見,以兩段繩子哪段受力 為界,30是制約參量的臨界角速度。6臨界值問題不僅在力學(xué)臨界值問題在電學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)及綜合物理題中是屢見不鮮的, 只要抓住出 現(xiàn)兩種不同物理現(xiàn)象或狀態(tài)的界,找準(zhǔn)制約參量的臨界值,這類問題就可迎刃而 解,【例8】物體在透鏡前垂直于透鏡主軸放置,通過透鏡成放大三倍的像。然 后將物體向著透鏡平行移近2cm,又得到放大二倍的像。求透鏡的焦距。【解析】由通過透鏡成放大的像,可推知此透鏡一定是凸透鏡。物體通過凸透鏡既可 在異側(cè)成放大的實像,又可在同側(cè)成放大的虛像。是放大實像還是放大虛像,是 由物距的大小決定的,物距等于焦距是成實像或虛像的臨界。所以此題有兩解。第一種情況:物體從大于
21、焦距處移到小于焦距處, 即先成放大實像,后成放 大虛像。設(shè)透鏡焦距為f,先后的物距和像距分別為U1、U2、VI、V2,由透鏡成像35即:4 f ufV|u143V2u23 口2即:4 f u2彳2V2 u243公式得:(V1=3ui , I V2 I =2u2)由題意 ui U2=2 (cm)得 fi=2.4 (cm)。第二種情況:兩次物體都在焦點以內(nèi),先后都成放大虛像。同理可得:f2 = Ju1即卩:u1f2V Ui 23f2 = "u? =2u2即卩:u2 =丄 f2v2 +u22由題意 ui u2=2( cm)得 f2=12( cm)。【跟蹤訓(xùn)練】1. 如圖18所示,將質(zhì)量為ikg的小球掛在傾角為30°勺光滑斜面體上。求:1當(dāng)斜面以“尹的加速度沿水平方向向右作勻加速運動時,繩對球的拉 力和球
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