三角函數(shù)知識點整理

1、三角函數(shù)知識點1. 角的有關(guān)概念射線的端點叫做角的頂點；旋轉(zhuǎn)開(1)角的概念：角可以看成是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的 始時的射線叫做角的始邊；旋轉(zhuǎn)終止時的射線叫做角的終邊。(2)正角、負(fù)角和零角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按順時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角；當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時而成的角叫做零角象限角在平面直角坐標(biāo)系下,使角的頂點與坐標(biāo)原點重合 的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就把這個角稱做第幾象限角，若角的終邊落在坐 標(biāo)軸上,稱為軸線角,這個角不屬于任何象限.(4)各個象限的半角范圍可以用下圖記憶，圖中的I、H、m、IV分別指第一、二、三、四象限角的半角范圍；(

2、5)終邊相同的角與a角終邊相同的角所組成的集合：S=P|P =a +2kn,kw z2. 角度制與弧度制設(shè)扇形的弧長為l圓心角為a (rad),半徑為R,面積為S角a的弧度數(shù)公式2 兀 X a /360 )角度與弧度的換算360 =2 兀 rad1 =兀/180rad 1rad= 180 157 18 =57.3弧長公式l =a|R扇形的面積公式1S =lR23. 任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)(6個)表示：a為任意角，角a的終邊上任意點P的坐標(biāo)為(x, y),它與原點的距離為r=Vx2+y2A0(r0,當(dāng)點P在單位圓上時，r=1 )那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分別是:yxyxrrs

3、ina=, cosa =，tan a = , cot a = , seca=，csca =.rrxyxy-16 -4.同角三角函數(shù)關(guān)系式, cosa cot a =sin a 倒數(shù)關(guān)系：tanacota=1商數(shù)關(guān)系：tana=sn-acosa平方關(guān)系：sin2 a cos2 a = 1三角函數(shù)符號規(guī)律+sin 二tan ;cos ;5.6.l特殊銳角(0 , 30 , 45 , 60 , 90 )的三角比的值三角函數(shù)角度正弦余弦正切余切0010不存在301 ZW 2叵 3展45口72 z211602_L 2V3V3390P 10不存在07.誘導(dǎo)公式：(奇變偶不變，符號看象限)k 冗/2+a所謂

4、奇偶指的是整數(shù) k的奇偶性公式三角函數(shù)sin acosatana誘導(dǎo)公式一sin( a + k 0) = sin acos( a + k 2冗)=cos atan( 口 + k，2兀)=tan a誘導(dǎo)公式二sin(冗十 a) = -sin acos( n + a ) = - cos。誘導(dǎo)公式二sin(n 一 a) = sin 口cos(冗 一 a) = - cos a=-tan |誘導(dǎo)公式四sin( -a) = -sin acos( -a) = cos utan(-CK)= - tana誘導(dǎo)公式五sin(=-a)=cos acob弓-a) = sin a誘導(dǎo)公式六5in(+ a) = cos

5、ofcos(+ er) = -sin a(1)誘導(dǎo)公式住用的原則：負(fù)化正大化小化到銳角為終了.(2)語導(dǎo)公式應(yīng)愚的步豪，任惠貞角的三4言數(shù)|一誣意正角的三篇獲30”的雋的三4山薪1銳角三角西薪8.(1)兩角和與差的三角函數(shù) 兩角和與差公式：sinQ工 一 .)=sin : cos. -cos: sin :, cos(:-) =cos: cos - -sin 二 sin I-,tan 二 Manitan(、1I1)=， tan(:1 -tan 二 tan :sin(: - -) = sin = cos - - cos: sin : cos(: - ) =cos: cos .-1 ； sin 二

6、sin - :) tan : - tan :1 tan 二 tan :(2)二倍角公式：sin 2 : =2sin : cos:cos2a =cos2 a sin2 a =2cos2a -1 =1 -2sin2 a(升哥公式 j2tan 二tan 2 :二2(3)2sin :1-cos2：2cos =二21 cos2,z1 -cos2 ;1 cos2 工.2=2/J (降哥公式)= 2cos ;半角公式(可由降騫公式推導(dǎo)出)sin a = _1 -cosa2acos =21 cosa2,a 1 - cosa，tan 2. 1 cosasin a 1 - cosa1 cosa sin a(4)輔

7、助角公式設(shè)角干，使sin卡二_ /后點bF斤以 awin a:*6c03 a =J+R ( sin nrjs p+cos 口目in 中)=COS RCOfi 0= Jl D口出(n+S)+惆(0f/； sin asin /3= - cos(a+)-rafi(tl!S?).-1 Tan 二任_單角都可以化成復(fù)角的形式，如華+，3ib“羋-子，這樣就有sin。4sin中=sin俏爐.日一卬、22/這樣就有 sin +fiin p-2sin。+爐 日一/_白+爐.sin -eos + ccs -+2Sin華煙學(xué)22g+中 /爐 O+fp - in -cos -sin同理可得n ,Tt 8一，sm 號

8、i口 中=2cos工t 8型0-史CDS p+CM 甲= ZcO3 -*tcos 8-叱 中= -2sin :sin9.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：（其中kw z）三角函數(shù)y =sin xy = cosxy = tanx圖象,)J Lj入/1k Z ./一7 Yn T 1012jt定義域RRx # kn + 2值域-1,1-1,1R最小正周期T =2nT =2兀T =n奇偶性奇偶奇單調(diào)性2kn2,2kn 埒單調(diào)遞增2k冗+?也吟單調(diào)遞減(2k -1)n,2kn 單調(diào)遞增(2kn, (2k +1)n 單調(diào)遞減（kn 一 , kn ）22單調(diào)遞增對稱性31x = kn + 2 （對稱軸）（依,0）（對稱

9、中心）x = kn（對稱軸）ji（kn 十一 ,0）2 （對稱中心）kn（,0）2（對稱中心）零值點x = knjix = kn +一2x =依最值點x =kn + ,ymax 12x =kj匹，ymin = -1 2x =2kn , ymax =1 ；x=(2k+1)n, ymin =-1無10.函數(shù)y =Asin（x十中）的圖像與性質(zhì):（本節(jié)知識考察一般能化成形如y = Asin（x +平）圖像及性質(zhì)）jiR二 3 二、兀、222冗來求相應(yīng)x的值以及對應(yīng)的（1） 函數(shù)y = Asin（cox +中）和y = Acos仰x +中）的周期都是丁=，（2） 函數(shù) y = Atan（cox + 中

10、）和 y = Acot（0x+3）的周期都是 ?。?） 五點法作y = Asin（8x+中）的簡圖，設(shè)1=切乂+中，取0、y值再描點作圖。X0冗2ji3冗22t0)將y = f (x)圖像沿x軸向左(右)平移 a個單位(左加右減)y = f (x) T y = f (x) 土b(b 0)將y = f (x)圖像沿y軸向上(下)平移 b個單位(上加下減)函數(shù)的伸縮變換：1 ,、 一y = f (x) t y = f (wx)(w 0)將y = f (x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的一倍(w1縮短,w0 :二 w ：二 1 伸長)y = f (x)T y =Af (x)(A0)將y = f(x

11、)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A倍(A1伸長,0 :二 A ：二 1 縮短)函數(shù)的對稱變換： y=f(x)T y = f(_x)將y = f(x)圖像繞y軸翻折180 (整體翻折)(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于x軸對稱) y=f(x)T y =f (x)將y = f (x)圖像繞x軸翻折180 (整體翻折)(對三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對稱) y = f (x) t y = f (x)將y = f (x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折) y = f(x) y = f (x) 保留y = f (x)在x軸上方圖像，x軸下方圖像繞x軸翻折上去(局部翻動)11.正

12、、余弦定理:正弦定理：在MBC中有：asin Ab csin B sin C=2R （ R為AABC外接圓半徑）a =2Rsin AIb=2RsinB =c =2Rsin Csin Asin Ba2Rb2R面積公式:SABC余弦定理:sin Cc2R111=一abssin C = 一acsin B = bcsin A 222在三角形AABC中有：r 2. 2 _2 一.，a =b +c -2bccosAb2 =a2 +c2 -2accosB =c2 =a2 +b2 -2abcosCcos AcosBcosC.222 b c - a2bc222a c -b2ac2,22a b -c2ab5 .三

13、角變換：三角變換是運算化簡過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運用三角公式，掌握運算、化簡的方法技能。(1) 角的變換：角之間的和差、倍半、互補、互余等關(guān)系對角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形(2) 函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：asin6 +bcos日=ya2 +b2sin(8 + 邛)其中 8stp =0 sincp _ ba2 - b2a2 - b2(3) 常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算、求值、證明中有時候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”。(4) 哥的變換：對次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降哥處理，有時需要升哥例如：J1 + c

14、osa常用升哥化為有理式。(5) 公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。(6) 結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時需要和差與積的互化、分解因式、配方等。(7) 消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法(8) 思路變換：如果一種思路無法再走下去，試著改變自己的思路，通過分析比較去選擇更合適、簡捷的方法去解題目。(9) 利用方程思想解三角函數(shù)。如對于以下三個式子：sina+cosa , sinacosasina-cosa,已知其中一個式子的值，其余二式均可求出，且必要時

15、可以換元。6 .函數(shù)的最值(幾種常見的函數(shù)及其最值的求法)：y=asinx+b (或acosx十b)型：利用三角函數(shù)的值域，須注意對字母的討論y =asin x+bcosx型：引進(jìn)輔助角化成 y=Ja2 +b2 sin(x +中)再利用有界性y =asin2x+bsin x+c型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意 sinxWl的約束y = asin x-b型：反解出 sinx,化歸為 sinx W1解決 csin x dt = sin x + cosx，但須注意t的取值范圍:D y = a(sin x - cosx) - bsin x cosx - c 型：常用到換元法:(3)三角形中常用的關(guān)系

16、:sin A = sin( B +C),cos A = -cos(B + C),.Asin 一 = cos2sin2A = sin2(B +C),cos2 A = cos2(B C)三角函數(shù)值域總結(jié)：注意：定義域的取值1、應(yīng)用提斜公式，形如 y=asin +bcosa +c可直接用公式。.2.2.形如y =asin x +bs1nxe0sx +cc0s x +d ,逆用倍角公 式化成提斜的形式。形如y=asinx+bcos(x +叼或y = asinxcos(x+2的的函數(shù)(式中也可以是同名函數(shù))，先、用和差化積公式展開，化歸為例1、例2的形式求最值.形如y = asinx*b的函數(shù)可將y看作

17、參數(shù)，利用提斜公式。 ccosx d2、利用倍角公式、半角公式、化同名三角函數(shù)，然后配方3、1的妙用，形如 sinxcosx sinx cosx 在關(guān)系式中時，可以應(yīng)用換元處理，令 t=sinxcosx,則t2-1sinx *cosx = 把二角問題化為代數(shù)為題來處理。24.形如y=asinx+b的函數(shù)用分離變量法分離常數(shù),利用 sinx的有界性求解.csin x da sin x by =5、形如ccosx +d的函數(shù)可將y看作參數(shù)，化歸為例 1的形式求解6、求同時含有 sinxcosx 與 sinx+cosx(或 sin x -cosx)的函數(shù)的值域，一般令 sinx + cosx = t

18、 (或 sin xcosx = t)可以化D3為求y =at2 +bt +c在區(qū)間上的值域，要注意 t的取值范圍.例：函數(shù)y=cos2x-asinx+b(aA0)的定義域為b，2/，值域為匚4，01求常數(shù)a,b 解；y 二cos x -asin x b =1 sin2 x asin x ba a=-sinxb 1,24:千 2令 t = sin x 亡一1,1 1 則 y = t +亙 | 十十 b +1,t 亡-1,1 24i)若a之2,則當(dāng)t = 一1時，y取最大值0,即b +a = 0(1)而當(dāng)t =1時，y取最小值 4,即b a = -4(2).聯(lián)立 (2)解得a =2, b = 22

19、ii)若0 a 2,則當(dāng)t = a時，y取最大值0,即a-+b+1= 0(3)，而當(dāng)t=1時，y取最小值4,即b a = 4(4).聯(lián)立(3)(4),解得a =2或2 = -6,經(jīng)檢驗，都不合題意，舍去.綜上所述,a =2,b = -21、求y =sin2 x+2sin xcosx+3cos2 x的最小值，并求使 y取最小值時x的集合.2、求 y =2sin x(sin x+cosx)的值域。3、求 y =sin2x +cos(2x +)+1 的值域.4、若函數(shù)y =2sin x十jacosx十4的最大值為1,則2=5、函數(shù)的y =(acosx+bsin x)cosx有最大值2,最小值-1,求

20、實數(shù)a,b的值。6、若函數(shù)y =2asin2 x acos2x+a+b的定義域為10,1，值域為一5,1】，求常數(shù)a,b的值。 一 27、求函數(shù)y = 2sin。的最大值和最小值.2 cos18、求函數(shù) y =2cos2 x+5sin x-4 的值域；9-： 2 二9、求函數(shù) y =sin x+2cosx,x i-,一的值域。,3 310、函數(shù)y =(sinx +1)(cosx+1)(,x )的最小值是6211、求函數(shù) y =sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。12、函數(shù)y =2asin2 x232asinx+a+b的定義域為 0,1,值域為1-5,1，求常數(shù)a, b的值。 . 2

21、1 x x13、函數(shù) f (x) =1-cos2x+asinco,(a = R)的取大值為 3,求 a 的值。三角函數(shù)的單調(diào)性的基本方法:函數(shù)y = Asin( co x+中)+ k的單調(diào)區(qū)間的確定 1、首先要看A、是否為正，若 為負(fù)，則先應(yīng)用誘導(dǎo) 公式化為正2、然后將cox+e看作一個整體，化為最簡式，再結(jié)合 A的正負(fù)，在2kn - MxM2kn+,kw z和222k仃+文x0,。0)的形式:二11二y = sin( - - x) = - Sin( x -)3223把標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為最簡函數(shù)(y = Asin x)的形式:1令z = 2x -JI3 ,原函數(shù)變?yōu)橐?二、.y - - sin(

22、x - ) - - sin z23y = - sin z討論最簡函數(shù)的單調(diào)性:, _ y - -sin Z， y 一 sin z ,從函數(shù)y的圖像可以看出，的單調(diào)增區(qū)間為JI2 k 二 一,2 k ：2KWZ。3所以 2Kn +Mz W2Kn+n , KZ一 二 1 二 一 3 .一即 2 K n + X x E2Kn + n KZ2232 4K 二計算k=0,k= 1時的單調(diào)增區(qū)間:當(dāng)k=0時，當(dāng)k=1時，當(dāng)k=-1時,511-：_ x _ 二332223一二 _ x _ 一 二3371一一二 M x 一 一二33在要求的區(qū)間內(nèi) 卜2兀，2兀確定函數(shù)的最終單調(diào)增區(qū)間: 因為xe_2n,2n,

23、所以該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為-2二1-x 二3(D)（二）解三角形已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。可以利用正弦定理和余弦定理等求解。三基定理：（正。余。面積）A、正弦定理:asin Absin Bsin C= 2R,其中R是三角形外接圓半徑B、余弦定理：a2 = b2 c2 -2bccosAb2 = a2 c2 -2accosBc2 = a2 b2 -2abcosC,22222,22,22八 b c -a- a c -b 八 a b - ccos A 二,cos B 二,cos C 二.由此可得：2ab2ac2ab .(做題出現(xiàn)余弦，角換邊)111SABC= absinC= bcsinA = acsin B.C三角形面積公式:(1)222(此為常用公式)(2)SABC二3s-a s一 b s-c; = srabc4Rabcs 二其中，2, r為內(nèi)切圓半徑，R為外接圓半徑.D在三角形中大邊對大角，反之亦然.（用來判定三角形是否成立，去根）1 ）在 ABC中，/ A+