畢業(yè)論文平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析

1、 A 基礎(chǔ)理論 B 應(yīng)用研究 C 調(diào)查報告 D 其他本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析二級學(xué)院：專 業(yè)：年 級：學(xué) 號：作者姓名：指導(dǎo)教師：完成日期：2013年5月5日平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析論文答辯小組組 長： 成 員： 論文成績： 目錄1 引言12 預(yù)備知識22.1基本概念及基本定理2基本概念22.1.2 基本定理33 平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析43.1線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性43.1.1 有同號相異實根43.1.2 有異號實根53.1.3 有重實根63.1.4 有一對共軛復(fù)根73.2 非線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性94 結(jié)束語10參考文獻11平面自

2、治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析 摘 要：本文主要探討了平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性，并將其用數(shù)學(xué)軟Maple形象地描繪出來. 關(guān)鍵詞：平面自治系統(tǒng)；平衡點；穩(wěn)定性The equilibrium point and its stability of the plane autonomous systemAbstract: This article mainly discusses the equilibrium point and its stability of the plane autonomous system, and applies mathematical software by

3、Maple to describe vividly.Keywords: the plane autonomous system; equilibrium point; stability1 引言 20世紀以來,隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動力氣象學(xué)、海洋動力學(xué)、地下水動力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展,在自然科學(xué)（如物理、 化學(xué)、生物、天文）和社會科學(xué)（如工程、經(jīng)濟、軍事）中的大量問題都可以用微分方程來描述,尤其當我們描述實際對象的某些特性隨時間（空間）而演變的過程,分析它的變化規(guī)律,預(yù)測它的未來形態(tài)時,要建立對象的動態(tài)模型,通常要用到微分方程模型,而穩(wěn)定性模型的對象仍是動態(tài)過程,而

4、建模的目的是研究時間充分長以后過程的變化趨勢、平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定.因此,用微分方程穩(wěn)定性理論研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性,對穩(wěn)定性模型的研究起著很重要的作用.微分方程的穩(wěn)定性理論將平衡點（奇點）分為結(jié)點（臨界結(jié)點或星形結(jié)點、兩向結(jié)點或正常結(jié)點、單向結(jié)點）、鞍點、焦點、中心等類型.奇點是平面自治系統(tǒng)的一類特殊的軌線，一般來說,奇點及其附近的軌線的性態(tài)是比較復(fù)雜的,熟練掌握平面自治系統(tǒng)奇點類型對于研究系統(tǒng)的相圖有重要的意義.本文將探討平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性,并結(jié)合Maple軟件分析其相圖.2 預(yù)備知識2.1基本概念及基本定理基本概念定義1右端不顯含自變量的微分方程組 (1)是二階自治方程(系統(tǒng)).定

5、義2 代數(shù)方程組 的實根組成的點稱為二階自治方程(1)的平衡點或奇點.注 二維常系數(shù)線性自治系統(tǒng)的一般形式為 (2)它的系數(shù)矩陣的特征方程是 (3)將特征方程改寫為，其中.當非奇異時,系統(tǒng)(2)有惟一奇點,稱為初等奇點.方程(3)的根即為矩陣的特征根.關(guān)于非線性系統(tǒng) (4) 的奇點與線性系統(tǒng)(2)的奇點有很大關(guān)系. 基本定理定理1 (Perron第一定理) 設(shè)系統(tǒng)(4)中的滿足條件：,則如果是對應(yīng)線性系統(tǒng)(2)的焦點、結(jié)點或鞍點,那么也是非線性系統(tǒng)(4)的同類型奇點,且具有相同的穩(wěn)定性.定理2 (Perron第二定理) 如果定理1中的條件保持不變,而將條件且具有相同的穩(wěn)定性.對于一般的非線性系

6、統(tǒng)(1),可以用近似線性方法判斷其平衡點的穩(wěn)定性,而對于任意高階的方程都可以化為一階方程組來處理.系統(tǒng)(1)的線性近似系統(tǒng)為(2),即 假設(shè),即奇點為初等奇點(又稱為一次奇點).先討論線性系統(tǒng)(2)的平衡點的定性性質(zhì).由線性方程組理論知系統(tǒng)(2)的通解完全由它的系數(shù)矩陣A的若爾當標準形確定.設(shè)A的實若爾當標準形為J,則存在非奇異實矩陣P,使.從而可利用非奇異線性坐標變換,將系統(tǒng)(2)化為線性系統(tǒng)(5) 注意到系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(5)可以相互轉(zhuǎn)化，因此只要把(5)式的軌線性質(zhì)搞清楚了系統(tǒng)(2)的軌線性質(zhì)也就清楚了.是下面三種形式之一： ，其中這里第一、二種形式對應(yīng)于矩陣A僅有實特征根的情形,第三種

7、形式相應(yīng)于矩陣A具有一對共軛復(fù)根的情形.用表示(2)式右端的系數(shù)矩陣.首先考慮矩陣A非退化的情形，即,這時在復(fù)數(shù)域有兩個非零特征根（）.下面根據(jù)特征根的不同情形來研究系統(tǒng)(5)的平衡點.3 平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性分析3.1線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性 有同號相異實根此時，都是實數(shù)且. 為穩(wěn)定的兩向結(jié)點. 為不穩(wěn)定的兩向結(jié)點.圖1例1 考慮如下的平面線性系統(tǒng) (6)解 首先計算系數(shù)矩陣的特征根.系統(tǒng)(6)的系數(shù)矩陣為.從而特征根為,是一對同號相異的正實根.因此,原點作為系統(tǒng)(6)的平衡點是一個不穩(wěn)定的兩向結(jié)點.為了畫出相圖,我們需要找出平衡點的兩個特殊方向.為此先求出的特征向量.這樣,我們

8、相應(yīng)繪出兩條直線,它們上面的軌道都是繼續(xù)沿著它們且背離原點.因為,因此除了上的軌道外,所有軌道的曲線都與相切于點,從而直線分別給出了平衡點的兩個特殊方向.由此可以畫出系統(tǒng)(6)的相圖,見圖1.圖1 有異號實根此時，都是實數(shù)且.或,為鞍點.或,為鞍點.例2 作出系統(tǒng)(7) 在點附近的相圖.解 系統(tǒng)(7)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,是一對異號實根.因此原點作為系統(tǒng)(7)的平衡點是鞍點.其相圖見圖2.圖2 有重實根 此時,. 或,為穩(wěn)定臨界結(jié)點或退化結(jié)點. 或,為不穩(wěn)定臨界結(jié)點或退化結(jié)點.圖7圖（g）例3 考慮如下的平面線性系統(tǒng) (8)解 系統(tǒng)(8)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,相同的實根.因

9、此平衡點或者是穩(wěn)定的星形結(jié)點或者是穩(wěn)定的單向結(jié)點.它們之間的區(qū)別在于平衡點有多少個特殊方向,無窮個對應(yīng)于前者,唯一一個對應(yīng)于后者.進一步判斷,我們同樣先求出的特征向量,由解得特征向量.顯然，總共能解出的線性無關(guān)的特征向量組有且只有一個向量組成.因此是穩(wěn)定的單向結(jié)點.沿特征向量繪出一條直線,它上面的軌道繼續(xù)沿著它指向原點,其余所有軌道的曲線都與相切于點,見圖3. 圖3例4 研究下面系統(tǒng)(9) 解 系統(tǒng)(9)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,是相同的實根.因此原點作為系統(tǒng)(9)的平衡點是星形結(jié)點(或臨界結(jié)點).其相圖見圖4. 圖4 有一對共軛復(fù)根此時,而且. 圖11例5 研究下面系統(tǒng)的奇點,并在奇點

10、鄰域內(nèi)畫出積分曲線族圖像： (10) . 解 系統(tǒng)(10)的系數(shù)矩陣為. 由,解得特征根,是一對共軛復(fù)根且.因此原點作為系統(tǒng)(10)的平衡點是穩(wěn)定的焦點,見圖5.為了確定積分曲線(螺線)的方向,在點作出速度向量. 圖5例6 研究下面系統(tǒng)的奇點，并在奇點鄰域內(nèi)畫出積分曲線族圖像： (11) 解 系統(tǒng)(11)的系數(shù)矩陣為.由,解得特征根.因此,奇點是中心.沿軌線運動的方向由向量確定,見圖6. 圖63.2 非線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性對于非線性系統(tǒng),先將其線性化,得到該非線性系統(tǒng)的線性近似系統(tǒng),再根據(jù)線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性的判斷方法, 并結(jié)合Perron第一定理和Perron第二定理就可以判斷出

11、其線性近似系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性與該非線性系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性一致.例7 討論非線性系統(tǒng)的奇點O(0,0)的類型. (12) 解 將系統(tǒng)(12)寫成 其中. (12)的線性近似系統(tǒng)為： (13) 滿足定理1,所以奇點也是原非線性系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定焦點.例8 討論非線性系統(tǒng)的奇點的類型. (14) 解 系統(tǒng)(14)的線性近似系統(tǒng)為 (15) 易知,奇點是系統(tǒng)(15)的中心,但根據(jù)已知定理1和定理2無法判斷其是否為系統(tǒng)(2)的中心.作極坐標變換,令，代入 系統(tǒng)(14)可得到從而解得，可見容易得出奇點是原系統(tǒng)(14)的穩(wěn)定焦點.4 結(jié)束語對于一般形式的線性方程組(2),可先由系數(shù)矩陣的特征根迅速判

12、斷出平衡點的類型和穩(wěn)定性,然后利用平面線性系統(tǒng)平衡點的下面兩個性質(zhì)作出相圖.首先注意到當,某些軌道將沿某一確定的方向稱為(平衡點的特殊方向)趨向于平衡點,特別地,兩向結(jié)點和鞍點有兩個特殊方向,單向結(jié)點有一個特殊方向,星形結(jié)點有無窮個特殊方向,焦點和中心沒有特殊方向;并且當某條直線給出平衡點的特殊方向時,它被平衡點分割的兩條射線都是系統(tǒng)的軌道,這些性質(zhì)在放射變換下保持不變.其次平面線性系統(tǒng)(2)在相平面上給出的方向場關(guān)于平衡點對稱，即若為系統(tǒng)在點給出的方向,則為系統(tǒng)在點給出的方向.通過探討平面自治系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性,并結(jié)合圖像對其進行分析,對平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定性模型的研究起著非常重要的作用.參考文獻1張偉年,杜正東,徐冰編.常微分方程M.北京：高等教育出版社，2006:179-190.2趙愛民，李美麗，韓茂安著.微分方程基本理論M.北京：科學(xué)出版社， 2011:127-135.3（俄)博亞爾丘克，（俄）戈洛瓦奇編著；鄭元祿譯.高等數(shù)學(xué)例題與習(xí)題集（四） 常微分方程M.北京：清華大學(xué)出版社，2005:89-95.4鐘益林，彭樂群，劉炳文編著.常微分方程及其Maple，MATLAB求解M.北京： 清華大學(xué)出版社，2007:8-10.5傅希林，范進軍編著.非線性微分方程M.北京：科學(xué)