專題：基本不等式常見題型歸納(學生版)

1、專題：基本不等式基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號三個不等式關(guān)系： 1a，bR，a2b22ab，當且僅當ab時取等號 2a，bR，ab2，當且僅當ab時取等號 3a，bR，()2，當且僅當ab時取等號上述三個不等關(guān)系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者間的不等關(guān)系其中，基本不等式及其變形：a，bR，ab2(或ab()2)，當且僅當ab時取等號，所以當和為定值時，可求積的最值；當積為定值是，可求和的最值【題型一】利用拼湊法構(gòu)造不等關(guān)系【典例1】已知且，則的最小值為 .練習：1假設(shè)實數(shù)滿足，且，則的最小值為 2.假設(shè)實數(shù)滿足，則的最小值為 3.已知，且，則的最小值為 .【典例

2、2】已知x，y為正實數(shù)，則的最大值為 【典例3】假設(shè)正數(shù)、滿足,則的最小值為_.變式：1.假設(shè),且滿足,則的最大值為_.2.設(shè)，則的最小值為_ 3.設(shè)，則的最大值為_ 4.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為 【題型二】含條件的最值求法【典例4】已知正數(shù)滿足，則的最小值為 練習1已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .2.已知正數(shù)滿足，則的最小值為 3已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，如以下圖所示，則的最小值為 .4己知a，b為正數(shù)，且直線 與直線 互相平行，則2a+3b的最小值為_5.常數(shù)a，b和正變量x，y滿足ab16，.假設(shè)x2y的最小值為64，則ab_.6.已知正實數(shù)滿足，則的最大值為 【題型三】代入消元法【典例5

3、】蘇州市2016屆高三調(diào)研測試·14已知，則的最小值為 練習1設(shè)實數(shù)x，y滿足x22xy10，則x2y2的最小值是 2已知正實數(shù)x，y滿足，則x + y 的最小值為 3已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 4.假設(shè)，且，則使得取得最小值的實數(shù)= 。5.設(shè)實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_6.已知，且，求的最大值為_【題型四】換元法【典例6】已知函數(shù)f(x)ax2xb(a，b均為正數(shù))，不等式f(x)0的解集記為P，集合Qx|2tx2t假設(shè)對于任意正數(shù)t，PQÆ，則的最大值是 2已知正數(shù)a，b，c滿足b+ca，則+的最小值為練習1假設(shè)實數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的

4、最大值為 2設(shè)是正實數(shù),且,則的最小值是_.3.假設(shè)實數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為 4假設(shè)實數(shù)滿足，當取得最大值時，的值為 .【題型五】判別式法【典例7】已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為 練習1.假設(shè)正實數(shù)滿足，則的最大值為 2.設(shè)，則的最大值為_ 變式1在平面直角坐標系中，設(shè)點，假設(shè)不等式對任意實數(shù)都成立，則實數(shù)的最大值是 【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判別式法、別離參數(shù)法、換主元法判別式法：將所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1對恒成立2對恒成立別離變量法：假設(shè)所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元別離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值。一般地有：1恒成立2恒成立確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。2設(shè)二次函數(shù)為常數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為對任意，不等式恒成立，則的最大值為 【題型六】別離參數(shù)法【典例8】已知x0，y0，假設(shè)不等式x3+y3kxyx+y恒成立，則實數(shù)k的最大值為_ 練習1已知對