直線與圓錐曲線的位置關系【專題復習】

1、.直線與圓錐曲線的位置關系一知識網(wǎng)絡結(jié)構：幾何角度 (主要適用于直線與圓的位置關系 )直線與圓錐曲線的位置關系代數(shù)角度（適用于所有直線與圓錐曲線位置關系）1.直線與圓錐曲線利用一般弦長公式（容易）直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用兩點間距離公式（繁瑣）2. 直線與圓錐曲線的位置關系： . 從幾何角度看：（特別注意） 要特別注意當直線與雙曲線的漸進線平行時，直線與雙曲線只有一個交點；當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有一個交點。 . 從代數(shù)角度看：設直線L 的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立得到ax 2bx c 0 。.若 a =0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線L 與雙曲線的漸進線平行或重

2、合；當圓錐曲線是拋物線時，直線L 與拋物線的對稱軸平行或重合。 . 若 a 0 ，設b24ac 。 a .0 時，直線和圓錐曲線相交于不同兩點，相交。b. 0 時，直線和圓錐曲線相切于一點，相切。c.0 時，直線和圓錐曲線沒有公共點，相離。二常考題型解讀：題型一：直線與橢圓的位置關系：例 1.橢圓 x2y21上的點到直線 x2 y2 0 的最大距離是（）164A.3B.11C.2 2D.10例 2.如果橢圓 x 2y 21的弦被點 (4,2) 平分，則這條弦所在的直線方程是（）369A. x 2 y 0 B.x 2 y 4 0 C. 2x 3 y 12 0 D.x 2 y 8 0題型二：直線與

3、雙曲線的位置關系：例 3. 已知直線 L : y kx 1與雙曲線 C : x2y 2 =4。若直線 L 與雙曲線 C 無公共點，求 k 的范圍；若直線L 與雙曲線 C 有兩個公共點，求k 的范圍；若直線 L 與雙曲線 C 有一個公共點，求k 的范圍；若直線 L 與雙曲線 C 的右支有兩個公共點，求k的范圍；若直線 L 與雙曲線 C 的兩支各有一個公共點，求k 的范圍。;.題型三：直線與拋物線的位置關系：例 4. 在拋物線y 22x 上求一點 P，使 P 到焦點 F 與 P 到點 A(3,2) 的距離之和最小。題型四：弦長問題：直線與圓錐曲線相交時的弦長問題是一個難點，化解這個難點的方法是：設

4、而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關系，進行整體代入。即當直線斜率為 k 與 圓 錐 曲 線 交 于 點 A x 1, y1， B x 2 , y 2時 ， 則AB = 1 k 2 x1x2 = 1 k 2x1x224x1 x2= 11 y1y2 = 11y1y224 y1 y2k 2k 2可根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系得到兩根之和，兩根之積的代數(shù)式，然后再進行整體帶入求解。22例 5. 過雙曲線xy1的右焦點 F2 ，傾斜角為 300 的直線交雙曲線于A、B 兩點，求AB 。36;.題型五：中點弦問題：求以某定點為中點的圓錐曲線的弦的方程的幾種方法： . 點

5、差法：將弦的兩個端點坐標代入曲線方程，兩式相減，即可確定弦的斜率，然后由點斜式得出弦的方程； . 設弦的點斜式方程，將弦的方程與曲線方程聯(lián)立，消元后得到關于x（或 y）的一元二次方程，用根與系數(shù)的關系求出中點坐標，從而確定弦的斜率k，然后寫出弦的方程； . 設弦的兩個端點分別為x1 , y1 , x2 , y2，則這兩點坐標分別滿足曲線方程，又x1x2, y1y2為22弦的中點，從而得到四個方程，由這四個方程可以解出兩個端點，從而求出弦的方程。例 6. 已知雙曲線方程 2x 2y 2=2。求以 A 2,1 為中點的雙曲線的弦所在的直線方程；過點 1,1 能否作直線 L，使 L 與雙曲線交于 Q

6、1 ， Q2 兩點，且 Q1 ， Q2 兩點的中點為1,1？如果存在，求出直線 L 的方程；如果不存在，說明理由。題型六：圓錐曲線上的點到直線的距離問題：例 7. 在拋物線y 264x 上求一點，使它到直線L： 4x3 y460的距離最短，并求這個最短距離。;.練習題1. （ 09 上海） 過點 A(1,0) 作傾斜角為的直線， 與拋物線 y22x 交于 M 、N 兩點，則 MN =。4寫出所涉及到的公式：2.（ 09 海南） 已知拋物線 C 的頂點坐標為原點，焦點在x 軸上，直線 y=x 與拋物線 C交于 A， B 兩點，若 P 2,2 為 AB 的中點，則拋物線C的方程為。3.（ 08 寧

7、夏海南） 過橢圓 x2y21 的右焦點作一條斜率為2 的直線與橢圓交于 A、 B 兩點， O為坐標54原點，則 OAB的面積為4. （ 11 全國） 已知直線L 過拋物線 C 的焦點，且與 C 的對稱軸垂直， L 與 C 交于 A， B 兩點， | AB | 12 ，P 為 C 的準線上一點，則ABP 的面積為（）A 18B 24C 36D 485. （ 09 山東） 設斜率為2 的直線 l 過拋物線 y2ax(a0) 的焦點 F, 且和 y 軸交于點 A, 若 OAF(O為坐標原點 ) 的面積為 4, 則拋物線方程為 ()A. y24xB.y28xC.y24xD.y28x6. （ 09 山東） 設雙曲線 x2y21 的一條漸近線與拋物線y=x 2 +1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率a2b 2為 ().A.5B. 5C.5D.54227. （10 全國） 設 F1, F2 分別是橢圓E： x2 + y2=1（0 b 1）的左、右焦點，過 F1 的直線 L 與 E 相交b于 A、 B 兩點，且 AF2， AB ， BF2 成等差數(shù)列。求AB 若直線 L 的斜率為 1，求 b 的值。8.（