高等數(shù)學(xué)-連續(xù)ppt課件

1、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性是微積分中的又一重要概念。 函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)連續(xù)性的概念1、函數(shù)的增量)()()()(xfxxfyxfyxxxxxfyuuuuuuuuuuuuuuuu , , 000101010110的相應(yīng)改變量為時(shí)，函數(shù)處有一改變量在當(dāng)自變量的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，在為負(fù)。如果函數(shù)時(shí)，為正，當(dāng)時(shí)，當(dāng)以是負(fù)的。增量可以是正的，也可注：即記作，的增量，又叫作改變量就叫作變量與初值之差則終值變到終值從它的初值若變量定義2、函數(shù)連續(xù)性的概念、函數(shù)連續(xù)性的概念yy=f(x)0 x0 xy0 xxxy0 xxxyy=g(x) . 0 不能趨近于時(shí)，當(dāng)yx0; 00yx時(shí)，當(dāng) 定義 設(shè)

2、函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)x。的某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量x趨近于零時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的改變量y也趨近于零，即0 )( ) ( 0000limlimxfxxfyxx則稱函數(shù) y = f (x)在點(diǎn) x。處連續(xù)。)()()()()(000000000limlimlimlim00 xfxfxfxfxfxxfyxxxxxxxxxxxx 0 即于是，時(shí)，則當(dāng)，令處連續(xù)。在點(diǎn)則稱函數(shù)的某鄰域內(nèi)有定義，若在點(diǎn)設(shè)函數(shù)定義 000)()()()(lim0 xxfxfxfxxfyxx：同時(shí)滿足以下三個(gè)條件處連續(xù)，必須在點(diǎn)由定義知，函數(shù) 0)(xxf處有定義；在點(diǎn)函數(shù) 0)()1(xxf存在；處的極限在點(diǎn)函

3、數(shù)）（)()(2lim00 xfxxfxx 。這個(gè)極限值等于函數(shù)值）（ )(30 xf處左連續(xù)，即處右連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，且在端點(diǎn)）開區(qū)間（）內(nèi)連續(xù)；如果函數(shù)在開區(qū)間（數(shù)函內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱，在開區(qū)間如果函數(shù)babaxfbaxfbaxf ,)(,)()()()()(limafxfax ),()(limbfxfbx上連續(xù)。在閉區(qū)間則稱函數(shù) baxf,)(處的連續(xù)性在討論函數(shù)例題 000sin1)(xxxxxxxf處連續(xù)。在綜上所述，函數(shù)所以）（解： 0 )( 1 )0( )( (3) 1 )( 1 sin )( 1 ) 1( )( (2) 1 )0( 1 limlimlimlimlimlim0000

4、00 xxffxfxfxxxfxxffxxxxxx3、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。為函數(shù)處不連續(xù)，則稱在點(diǎn)函數(shù)定義 )()(00 xfxxxxf的間斷點(diǎn)：是則點(diǎn)，處有下列三種情形之一在點(diǎn)，如果函數(shù)顯然 )()(00 xfxxxf處沒有定義；在點(diǎn)函數(shù) 0)()1(xxf不存在；處的極限在點(diǎn)函數(shù)）（)()(2lim00 xfxxfxx )()()()(3limlim000 xfxfxfxxfxxxx 存在，且處有定義，在點(diǎn)函數(shù)）（的第二類間斷點(diǎn)。為，稱的第一類間斷點(diǎn)；否則為稱的左、右極限存在，則時(shí)，的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果當(dāng)為函數(shù)設(shè)定義 )()()()(0000 xfxxfxxfxxxfx )

5、(0 xfx 為若的第一類間斷點(diǎn)，則有以下兩種情況： 的為則稱均存在，但不相等，與）（ )()()(1000limlimxfxxfxfxx跳躍間斷點(diǎn)；跳躍間斷點(diǎn)； 的為則稱存在，但不等于 , )()()()2(00lim0 xfxxfxfxx可去間斷點(diǎn)?？扇ラg斷點(diǎn)。的連續(xù)性討論例題 231)( 22xxxxf一類。是可去間斷點(diǎn)，屬于第所以處但，點(diǎn)處沒有定義，函數(shù)在點(diǎn)解： 0 1221231221231112) 1)(2(23limlimlimlim122112212xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx屬于第二類。是一個(gè)無窮不連續(xù)點(diǎn)，所以，處又，點(diǎn) 2 )( )( 2 limlim22x

6、xfxfxxx. 1 ) 1 ( )( lim 21 ) 1 ( 1 lim )( lim 11 )( 11121一類是可去間斷點(diǎn)，屬于第因此，點(diǎn)解：的連續(xù)性討論例題xfxffxxfxxxxfxxx處的連續(xù)性在點(diǎn)討論例題 0 000 101 )( xxxxxxxf。斷點(diǎn)，且為跳躍間斷點(diǎn)為第一類間處不連續(xù)，在即不存在，所以）（解： 00 )( )( lim 1) 1( lim )( lim 1) 1( lim )( lim (2) 0 )0( 1 0 0 0 0 0 xxxfxfxxfxxffxxxxx一類。是可去間斷點(diǎn)，屬于第所以處沒有定義，但函數(shù)在點(diǎn)解：的連續(xù)性討論例題 0 2 22sin

7、lim2 2sin lim 0 2sin )( 0 0 xxxxxxxxxfxx初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性1、初等函數(shù)的連續(xù)性 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。2、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 , )()()(00lim0 xfxfxxfxx處連續(xù)，則在點(diǎn)若即把連續(xù) 函數(shù)求極限的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值。xxxxsinlnlim (2) 1 lim 1 220）（求極限例題111lim內(nèi)的點(diǎn)，所以 1，1定義義區(qū)1)(012020 xxxfxx的是初等函數(shù)點(diǎn)）（解：01ln2sinlnsinlnlim0sinln)(2)2(20）內(nèi)的點(diǎn)，所以，的一個(gè)定義區(qū)間（是初等

8、函數(shù)xxxfxx 3、復(fù)合函數(shù)求極限的方法連續(xù)，則在點(diǎn)函數(shù)，而，若設(shè)有復(fù)合函數(shù)定理 auufaxxfyxx)()()(lim0 afxfxfxxxx )( limlim00 xxx1)1 ( cos lim 0例題 lim lim lim lim exxeuuyexxuuyxxxxxxxxxxcos)1 (cos)1 (coscos)1 ()1 (cos)1 (cos111110000連續(xù)在點(diǎn)而函數(shù)，復(fù)合而成與由解：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值最小值定理最大值最小值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間,b上連續(xù)，則函 數(shù)f(x)在區(qū)間,b上必有最大值與最小值。介值定理介值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間,b上連續(xù)，m和M分別為f(x)在區(qū)間,b上的最小值與最大值，則對(duì)于滿足mM的任何實(shí)數(shù)，至少存在一點(diǎn).)()(fba ，使得，方程實(shí)根的存在定理方程實(shí)根的存在定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間,b上連續(xù)，且f（ 與f(b)異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)0)()(fba ，使得， 例題 證明三次代數(shù)方程 01423 xx在區(qū)間（ 0，1內(nèi)至少有一個(gè)根。的端點(diǎn)處的函數(shù)