高等數(shù)學(xué)-上冊(cè)第2章導(dǎo)數(shù)及微分ppt課件

1、第2章導(dǎo)數(shù)及微分【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解導(dǎo)數(shù)、微分的概念及導(dǎo)數(shù)、微分的幾何意義，會(huì)求曲線的切線和法線方程；2.熟練掌握基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則；掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法；3.了解高階導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)；理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；4.掌握基本初等函數(shù)的微分公式及微分的四則運(yùn)算法則，會(huì)用微分近似公式進(jìn)行計(jì)算.2.1導(dǎo)數(shù)的概念1.問(wèn)題的提出引例1變速直線運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題.設(shè)一質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t).求質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度，如圖2-1所示. 我們知道，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度v等于經(jīng)過(guò)的路程s與所用時(shí)間t之比

2、，即 設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0 到 t0+t 內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程為s，即則在時(shí)間段t內(nèi)的平均速度顯然，時(shí)間段t越小，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度變化越小,可近似看做勻速直線運(yùn)動(dòng),平均速度v就越接近于質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0)，即當(dāng)t0，平均速度v的極限，便是質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即2.導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的左右近旁有定義，自變量x在點(diǎn)x0處有改變量x(x0)(也叫自變量的增量)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的改變量(也叫函數(shù)的增量)為y=f(x0+x)f(x0).當(dāng)x0時(shí)，若比值yx 的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值，記作f(x0

3、)， 即也記作如果極限 不存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo).如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意點(diǎn)x處都可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).對(duì)每一個(gè)x(a,b)，都對(duì)應(yīng)著函數(shù)y=f(x)的一個(gè)導(dǎo)數(shù)值，于是得到一個(gè)新的函數(shù)f(x)，這個(gè)新的函數(shù)f(x)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù).記作f(x)，即顯然，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f(x0)，就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值.由定義知，引例1中，變速直線運(yùn)動(dòng)s=s(t)的質(zhì)點(diǎn)在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度()()，引例2中曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處切線的斜率k=f(x0).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引

4、例2知道，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)，表示曲線y=f(x)上的點(diǎn)M0(x0,y0)的切線斜率，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.如圖-3所示，若切線的傾斜角為，那么如果f(x0)不存在，即斜率k=tan不存在.當(dāng)曲線y=f(x)在點(diǎn)M0處連續(xù)時(shí)，曲線y=f(x)在點(diǎn)M0處有垂直于x軸的切線.在工程技術(shù)上，經(jīng)常要用到法線的有關(guān)知識(shí)，把過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線稱為法線.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，過(guò)曲線y=f(x)上點(diǎn)M0(x0,y0)的切線方程為對(duì)應(yīng)的法線方程為當(dāng)f(x0)=0時(shí)，切線方程為y=y0，法線方程為x=x0.2初等函數(shù)的求導(dǎo)法則1.導(dǎo)數(shù)的基本公式前一節(jié)由導(dǎo)數(shù)的定義，求出了幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)，但對(duì)于較復(fù)雜的函數(shù)，用定義求導(dǎo)往往比較困難.為此，本節(jié)介紹導(dǎo)數(shù)的基本公式、求導(dǎo)法則和求導(dǎo)方法，借助這些基本公式、法則和方法就可以方便地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).所有基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本公式如下：2.和、差、積、商的求導(dǎo)法則若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，那么函數(shù)u(x)v(x)，u(x)v(x)， (v(x)0)都在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并且特別地，當(dāng)u(x)=C(為常數(shù))時(shí)，有()().3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)u=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u=(x)處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且這個(gè)法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量的情形，如果y=y(u)，u=u(

6、v)，v=v(x)，且它們?cè)诟鲗?duì)應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在，那么上述公式也叫復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t.利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)時(shí)，關(guān)鍵是將所給的復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，而這些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是可求的.4.高階導(dǎo)數(shù)定義如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)仍可導(dǎo)，那么f(x)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作y，即也記作相應(yīng)地，()為函數(shù)()的一階導(dǎo)數(shù).一般地，函數(shù)y=f(x)的n1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為()的n階導(dǎo)數(shù)，記作二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).2.3隱函數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果對(duì)于x值，通過(guò)F(x,y)=0都有確定的y值與之對(duì)應(yīng)，那么由方程F(x,y)=0，也就確定y是x的函數(shù).這種函數(shù)

7、關(guān)系，隱藏在方程F(x,y)=0之中，所以，把由方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).如果y能從方程F(x,y)=0中解出，那么隱函數(shù)成為顯函數(shù)y=f(x)，它的導(dǎo)數(shù)可按前面方法求出.對(duì)于y不能從方程F(x,y)=0中解出的隱函數(shù).2.偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f(x)只含一個(gè)自變量時(shí)，我們把它叫做一元函數(shù).如果有三個(gè)變量x、y、z，對(duì)于變量x、y，在各自變化范圍內(nèi)的每一組確定的x、y的值，按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，z都有唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)，那么稱z為x、y的二元函數(shù)，記作z=f(x,y).定義設(shè)二元函數(shù)定義設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)P0(x0,y0)的附近有定

8、義，當(dāng)自變量的附近有定義，當(dāng)自變量y y保持保持y0y0不變，而不變，而自變量自變量x x有改變量有改變量xx時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有關(guān)于時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地有關(guān)于x x的改變量的改變量( (偏改變量或偏增量偏改變量或偏增量) )如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處，對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作類似地，可以定義函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記作如果函數(shù)z=f(x,y)在某個(gè)平面區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)(x,y)處，對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x,y的函數(shù)，稱它為z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)，記作類似地，可以定義(，)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作

9、那么，(x0，)、(x0，)就是偏導(dǎo)數(shù)(，)、(，)在點(diǎn)(x0，)處的函數(shù)值.按照對(duì)自變量求導(dǎo)次序的不同，可得到以下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，分別記作其中 稱為(，)的二階混合偏導(dǎo)數(shù).以此類推，可得三階、四階、階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).記號(hào)與二階偏導(dǎo)數(shù)類似.2.4函數(shù)的微分1.函數(shù)微分的概念在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)還需要研究函數(shù)改變量的近似值.定義設(shè)函數(shù)定義設(shè)函數(shù)( () )在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0處可導(dǎo)，則稱處可導(dǎo)，則稱(x0)(x0)為函數(shù)為函數(shù)( () )在點(diǎn)在點(diǎn)x0 x0處的微分，記作處的微分，記作x0 x0，即，即可見(jiàn)，微分有如下特點(diǎn)：(1)微分是函數(shù)改變量的主要部分，當(dāng)很小時(shí)，可用它近似代替；(2)微分x0(x0)是的線性函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)(x0)為系數(shù)，較容易計(jì)算.根據(jù)微分的定義，得也就是說(shuō)，自變量的微分就是自變量的改變量，即通常，把函數(shù)()在處的微分()寫成從而就是說(shuō)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)微分與自變量微分之商.因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商，函數(shù)可導(dǎo)也叫做函數(shù)可微，反之亦然.2.微分的基本公式和運(yùn)算法則由于函數(shù)微分等于函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積，因此容易得到如下的微分公式和運(yùn)算法則.由導(dǎo)數(shù)的基本公式，可得微分的基本公式如下：如果函數(shù)()，()在點(diǎn)