建立數(shù)學(xué)模型 - 哈爾濱工業(yè)大學(xué)

1、HITCS&E第一章 建立數(shù)學(xué)模型edu. .cn cnHITCS&E主要內(nèi)容1.數(shù)學(xué)模型的概念2.建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟3.數(shù)學(xué)模型的特點、分類4.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的方法HITCS&E什么是數(shù)學(xué)模型 現(xiàn)實對象與模型 原型 模型直觀模型 物理模型 思維模型 符號模型在現(xiàn)實世界里人們關(guān)心、研究或從事生產(chǎn)、管理的實際對象。為特定目的，將原型的一些信息減縮、提煉得到的替代物。數(shù)學(xué)模型：由數(shù)字、字母以及其他數(shù)學(xué)符號構(gòu)成的描述現(xiàn)實對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或者算法甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)枰?0小時，從乙到甲

2、逆水需要50小時，問船和水的速度分別是多少？75050)(75030)(yxyx對于現(xiàn)實世界的一個特定對象，為了特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱為該對象的一個數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模。HITCS&E數(shù)學(xué)建模的方法和基本步驟數(shù)學(xué)建模實例2商人渡河問題數(shù)學(xué)建模實例1椅子的擺放問題HITCS&E椅子擺放問題 問題描述： 現(xiàn)實生活中，椅子在不平的地上往往只有3條腿著地，放不太穩(wěn)；但是，只要對椅子稍微挪動幾下，就可以使得椅子的四腿著地，將它放穩(wěn)了。試建立數(shù)學(xué)模型解釋這個現(xiàn)象。HITCS&E合理假設(shè)椅子地面

3、椅子與地面的關(guān)系椅子是規(guī)則的四條腿一樣長，四條腿的連線呈正方形地面是正常的地面的高度是連續(xù)變化的，不會出現(xiàn)階梯形狀地面是較椅子是相對平坦的椅子的每一條腿與地面的接觸點是一個幾何點，椅子放在地上，任何時候至少有三條腿同時著地HITCS&E描述各種數(shù)量關(guān)系構(gòu)建模型椅子位置的描述ABCDADBCO椅子繞對稱中心旋轉(zhuǎn)的角度表示了椅子的位置四腿著地的條件必存在使得f()、g()同時為0A()、 B()、 C()、 D()有三個為零，則f()=A() C()和g()=B()D()必有一個為零，而另一個表示了第4條腿離地面的距離，因此， f()、g()同時為0表示椅子放穩(wěn)了。結(jié)論的表述四條腿到地面的

4、距離都為0綜上所述，我們要證明如下結(jié)論：f()、g()都是的連續(xù)函數(shù)，且對于任意， f()*g()=0,g(0)=0,f(0)0。證明：存在0使得f(0)g(0)0。證明：將椅子旋轉(zhuǎn)90。時，AC和BD的角色互換。即g(/2)0,f(/2)=0。于是令h()=f()-g()則h()是連續(xù)函數(shù)，且h(0)0。由連續(xù)函數(shù)的中值定理，存在0 (0, /2)使得h(0)0。即f(0)g(0)0HITCS&E商人渡河問題 三名商人各帶一名仆人過河，河邊只有一條能容納兩名乘客的小船；仆人門密約，只要河的任何一邊的仆人數(shù)比商人數(shù)多，他們就殺人越貨。如何渡河才能使得商人門安全渡河。問題陳述非常清楚，無

5、需再做任何假設(shè)HITCS&E建立模型關(guān)鍵：決定渡河方案，使得任何時候，河兩岸的商人都是安全的。渡河方案：每一次船從一岸劃到另一岸時，船上的人員構(gòu)成(u,v),u表示商人的人數(shù)，v表示仆人的人數(shù)使得（(u,v)D(u,v)|u0，v0，且2 u+v 1。這樣的一次決策使得岸上的狀態(tài)發(fā)生轉(zhuǎn)移(,x,y)=(x,y)(u,v)。這樣的一個序列(u1,v1),(uk,vk)使得狀態(tài)由（3,3）安全地變換成（0,0)，則稱它是一個渡河方案。安全狀態(tài)： 河的任何一岸處于下列狀態(tài)S=(3,3), (3,2), (3,1), (3,0), (2,2) ,(1,1), (0,0)，(0,1),(0,2)

6、,(0,3)之一都是安全的。注意，只有此岸和彼岸都是安全的，整個狀態(tài)才是安全的。因此，我們只需要考慮一岸的安全狀態(tài)轉(zhuǎn)移。尋找一個決策序列(u1,v1),(u2,v2),(un,vn) D使得sk1sk（1)k（uk,vk） 滿足s0（3,3)而Sn(0,0)并且SkS試驗題1:編程實現(xiàn)上述模型，使得它能求解n名商人n名仆人的情況，并輸出n=3,n=4的結(jié)果。HITCS&E建立數(shù)學(xué)模型的一般過程 、數(shù)學(xué)建模就是把實際問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模就是把實際問題數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)模型就是通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號對實就是通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號對實際現(xiàn)象給予推理、論證，

7、從而得出實際問題結(jié)論或求際現(xiàn)象給予推理、論證，從而得出實際問題結(jié)論或求解方法。解方法。、建模的基本程序是：、建模的基本程序是：實際問題實際問題模型假設(shè)模型假設(shè)數(shù)學(xué)符號數(shù)學(xué)符號模型應(yīng)用模型應(yīng)用實際問題的結(jié)論實際問題的結(jié)論模型求解模型求解數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型模型分析模型分析運運 算算推推 理理檢檢索索類類比比問問題題解解決決模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備量化量化調(diào)查調(diào)查簡化簡化HITCS&E數(shù)學(xué)建模的基本方法機理分析：通過對實際問題或者實際對象的特性或者機理的認(rèn)識，找出反映內(nèi)在機理的數(shù)量關(guān)系，建立的數(shù)學(xué)模型有實際的意義。測試分析：將實際對象或者實際問題看成是“黑箱系統(tǒng)”，對其輸入和輸出數(shù)據(jù)作統(tǒng)計，按照一定的準(zhǔn)則找出與這些數(shù)據(jù)擬合最好的模型。HITCS&E數(shù)學(xué)建模的目的和意義傳統(tǒng)工業(yè)領(lǐng)域高科技領(lǐng)域新領(lǐng)域 分析與設(shè)計 預(yù)報與決策 控制和優(yōu)化 規(guī)劃與管理HITCS&E模型的特點逼真性可行性漸僅性強壯性可轉(zhuǎn)移性非預(yù)制性條理性技藝性局限性HIT