直線的參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計

1、直線的參數(shù)方程教學(xué)設(shè)計一、 教學(xué)內(nèi)容分析1. 課時安排 本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第二講第三節(jié)。直線的參數(shù)方程教材安排了兩個課時，而我在實(shí)施教學(xué)的過程中將其分為三個課時，第一課時是直線參數(shù)方程的推導(dǎo)及對參數(shù)方程的認(rèn)識；第二課時為參數(shù)方程之下直線與曲線相交所得弦長公式及弦中點(diǎn)參數(shù)的推導(dǎo)及其初步應(yīng)用；第三課時為直線參數(shù)方程的應(yīng)用：直線參數(shù)方程在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的應(yīng)用及在實(shí)際生活問題中的應(yīng)用。本節(jié)課為第一課時。2. 上下位知識及本課價值 直線的參數(shù)方程是在學(xué)生學(xué)完直線的普通方程，參數(shù)方程的定義及圓錐曲線（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的參數(shù)方程，并且

2、掌握了求曲線參數(shù)方程的一般步驟與方法之后才進(jìn)行學(xué)習(xí)的，這構(gòu)成了本節(jié)課的上位知識。同時直線參數(shù)方程也肩負(fù)著完善學(xué)生們的知識體系的價值和作用，因?yàn)楦咧须A段解析幾何中所涉及的曲線只包括直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，學(xué)生們學(xué)完其它曲線的參數(shù)方程之后，必定會想到去研究直線的參數(shù)方程。另外直線的參數(shù)方程提供了解決直線與圓錐曲線相交問題的另一解法：設(shè)直線的參數(shù)方程，代入圓錐曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到的關(guān)系，進(jìn)而再將條件中所涉及的距離或與中點(diǎn)有關(guān)的問題用參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再由韋達(dá)定理所得關(guān)系解決問題。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何中很重要的問題，不管是對于數(shù)學(xué)本身還是高考，用參數(shù)方程的好處是設(shè)點(diǎn)只設(shè)一個參數(shù)

3、，并且表示某些距離與中點(diǎn)也較普通方程之下的表示簡單。而要用參數(shù)方程解決問題的前提是學(xué)生能夠?qū)τ谥本€的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式及參數(shù)的幾何意義有準(zhǔn)確、深刻的理解，這樣直線參數(shù)方程的推導(dǎo)及對直線參數(shù)方程的認(rèn)識就顯得尤為重要。另外對于直線參數(shù)方程的認(rèn)識中能夠讓學(xué)生體會到如何認(rèn)識一個數(shù)學(xué)符號，如果學(xué)法指導(dǎo)的好，能夠讓學(xué)生認(rèn)識到磨刀不誤砍柴功，在得出一個數(shù)學(xué)結(jié)論后應(yīng)重視去分析其結(jié)構(gòu)形式，而非只重視應(yīng)用。3. 教材中值得商榷的地方 本節(jié)課教材以向量為工具建立了直線參數(shù)方程，在點(diǎn)的運(yùn)動過程中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動帶動了動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離的變化，能夠想到以距離為參數(shù)，但是若以距離為參數(shù)首先遇到的問題是一個參數(shù)對應(yīng)了兩個點(diǎn)，點(diǎn)不

4、由參數(shù)唯一確定，進(jìn)而想到方向，將距離與方向結(jié)合起來可以想到向量，但是通過向量表示坐標(biāo)的過程中又引進(jìn)了直線的單位方向向量，然后根據(jù)直線上定點(diǎn)指向動點(diǎn)的向量與單位方向向量的平行關(guān)系進(jìn)而得出動點(diǎn)的坐標(biāo)。這樣處理的優(yōu)點(diǎn)是能讓學(xué)生理解向量的工具性，但我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)值得商榷的地方：感覺不是很自然，不容易想到，特別是引入直線的單位方向向量，感覺思維跳躍性太強(qiáng)，老師們不容易想到，學(xué)生們可能根本就想不到，教學(xué)引導(dǎo)的難度很大；在求解方法上與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程求解方法不能統(tǒng)一，求解前面幾條曲線的參數(shù)方程時有兩種方法：動點(diǎn)軌跡法和三角代換法（拋物線除外），其中動點(diǎn)軌跡法應(yīng)該是深入學(xué)生內(nèi)心的，但在直線

5、參數(shù)方程及建立過程中并未用到這兩種方法，這會讓學(xué)生感覺到探求參數(shù)方程的方法多而不容易把握；學(xué)生由于對向量的數(shù)乘運(yùn)算有所遺忘，所以在根據(jù)向量關(guān)系式得出參數(shù)幾何意義時就發(fā)生了困難，在直線參數(shù)方程的應(yīng)用中也就會出現(xiàn)問題。4.我的處理方法及看法基于以上幾點(diǎn)，特提出我的處理意見：將直線看作點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動的軌跡，給曲線賦予物理意義，然后得出直線的參數(shù)方程，進(jìn)而根據(jù)其物理意義探究其幾何意義。這樣處理的好處有以下幾點(diǎn)：形成對數(shù)學(xué)更高層次的認(rèn)識，加深數(shù)學(xué)來源于生活而高于生活的體會，并體會出物理，代數(shù)，幾何三者的融合，體會到三者之間的緊密聯(lián)系；而由物理學(xué)知識來認(rèn)識數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)選修21導(dǎo)數(shù)、定積分的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)有

6、所經(jīng)歷，對學(xué)生而言，這種經(jīng)歷對他學(xué)習(xí)直線的參數(shù)方程是很有幫助的；在逐漸完善直線參數(shù)方程的過程中體會數(shù)學(xué)所追求的簡潔與統(tǒng)一，并體會出認(rèn)識事物的簡單化原則；在求直線參數(shù)方程的過程中，體會到直線參數(shù)方程的不唯一性；學(xué)生能夠更好地理解參數(shù)t的幾何意義，參數(shù)t的物理意義時間得出其幾何意義距離是比較容易想到的。二、 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置在教師的引導(dǎo)下能夠完成直線參數(shù)方程的推導(dǎo)過程；記憶并識別直線的參數(shù)方程，能夠?qū)懗鐾粭l直線的不同參數(shù)方程形式，并能夠?qū)⑵浠癁闃?biāo)準(zhǔn)形式；會求直線的參數(shù)方程；能夠說出參數(shù)的幾何意義（掌握參數(shù)幾何意義的任務(wù)交給下一節(jié)課）；經(jīng)歷直線參數(shù)方程的探究過程，逐漸形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎剂?xí)慣，體會數(shù)學(xué)研究的

7、一般性原則，在對參數(shù)方程的認(rèn)識過程中體會認(rèn)識一個數(shù)學(xué)結(jié)論的重要性；教學(xué)重點(diǎn)：直線參數(shù)方程的推導(dǎo)與直線參數(shù)方程的認(rèn)識難點(diǎn)：參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的理解，直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式的認(rèn)識三、 學(xué)生學(xué)情分析高三學(xué)生知識體系初步完成，知道要完善知識體系，所以對研究直線的參數(shù)方程有迫切的需要。有一定的探究能力和操作能力，對勻速直線運(yùn)動比較熟悉，能夠在老師策略性和方法性的指導(dǎo)下自己動手寫出直線的參數(shù)方程，知道應(yīng)該探討參數(shù)的取值范圍及參數(shù)的意義，但對物理背景與數(shù)學(xué)符號還有幾何意義的綜合認(rèn)識還達(dá)不到認(rèn)知水平。有從運(yùn)動軌跡入手探討曲線參數(shù)方程的經(jīng)驗(yàn)，但是能否用此經(jīng)驗(yàn)解決問題需要教師引導(dǎo)。對于參數(shù)方程的應(yīng)用有一定的了解

8、，知道學(xué)完參數(shù)方程后從能力上應(yīng)該會求參數(shù)方程，知道參數(shù)方程在求最值問題中的應(yīng)用，會將參數(shù)方程化作普通方程，并由普通方程得出直線的傾斜角及斜率，但可能由于三角函數(shù)問題的關(guān)系會將角求錯。對直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的形式認(rèn)識上可能不夠，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生從哪些方面去認(rèn)識。學(xué)生有一定的思辨能力，但是對于標(biāo)準(zhǔn)形式與非標(biāo)準(zhǔn)形式的區(qū)別上可能會出問題。其次再根據(jù)參數(shù)幾何意義求距離時，可能不會區(qū)分動點(diǎn)是不是在直線上，距離是不是參數(shù)方程中定點(diǎn)到直線上定點(diǎn)的距離四、 教學(xué)策略分析1. 從運(yùn)動的觀點(diǎn)出發(fā)探究直線的參數(shù)方程，使得探究過程更加自然2. 由參數(shù)的物理背景出發(fā)探討出參數(shù)的幾何意義，可以突破其幾何意義理解上的難點(diǎn)3. 選

9、取一些典型例子使得學(xué)生加深對參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式的認(rèn)識，并體會出非標(biāo)準(zhǔn)型化為標(biāo)準(zhǔn)型的必要性，且學(xué)會將非標(biāo)準(zhǔn)型化為標(biāo)準(zhǔn)型4. 運(yùn)用變式教學(xué)加深學(xué)生利用幾何意義求距離的理解5. 采用問題引學(xué)、評價誘學(xué)，自主探究，共同展示等方式手段提高學(xué)生探究的積極性五、 教學(xué)過程一、問題導(dǎo)學(xué),導(dǎo)入新課問題1：前面已經(jīng)研究了哪些曲線的參數(shù)方程？是怎樣探究的？接下里你還想探討什么樣的曲線？問題2：我們該如何探討直線的參數(shù)方程呢，用三角代換法還是動點(diǎn)軌跡法？問題3：直線可看作是質(zhì)點(diǎn)做什么樣的運(yùn)動的運(yùn)動軌跡？問題4：你想將直線看成點(diǎn)的哪種運(yùn)動形式的軌跡？設(shè)計意圖：三個問題可讓學(xué)生得出探究直線參數(shù)方程的方法，及探究內(nèi)容（參數(shù)方

10、程及應(yīng)用），每個問題后都留有停頓，讓學(xué)生思考，前兩個問題采用集體回答，第三個問題，由學(xué)生思考，叫學(xué)生談自己的想法，因?yàn)檫\(yùn)動軌跡為直線的運(yùn)動方式不僅是勻速直線運(yùn)動，還可以為勻變速直線運(yùn)動，非勻變速直線運(yùn)動等，從而體會出勻速直線運(yùn)動去探討直線參數(shù)方程比較簡單，在過程中體會數(shù)學(xué)研究的一般性原則：簡單化原則。問題四學(xué)生應(yīng)該可以集體回答出來。二探究展示，建構(gòu)知識問題5：（PPT顯示）現(xiàn)將直線放入平面直角坐標(biāo)系，已知其上一定點(diǎn)及其傾斜角，假設(shè)一動點(diǎn)從定點(diǎn)出發(fā)沿直線以速度V（自設(shè)數(shù)值，速度方向沿直線向上為正，向下為負(fù)）做勻速直線運(yùn)動，試求直線的參數(shù)方程設(shè)計意圖：讓學(xué)生自設(shè)數(shù)值，相信很多同學(xué)會選擇速度為1，也

11、有同學(xué)會選擇其他的速度，也有同學(xué)會選擇負(fù)速度，老師在學(xué)生求解的過程中觀察指導(dǎo)，選取有代表性的同學(xué)上黑板將其所寫參數(shù)方程進(jìn)行展示，并且提示學(xué)生注明參數(shù)的范圍，此時由于參數(shù)的物理意義，學(xué)生們會注明問題6：這些同學(xué)所求出來的參數(shù)方程不一樣，說明了什么？問題7：既然這么多參數(shù)方程都能表示直線（這里有點(diǎn)不嚴(yán)謹(jǐn)，但暫時只能這么說），那么選取最簡單的作為我們公認(rèn)的參數(shù)方程，來研究直線，大家來做選擇涉及意圖：通過展示與問題讓學(xué)生體會到參數(shù)方程的不唯一性，然后體會到直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的必要性。所得結(jié)果應(yīng)該是：（板書）問題8：同學(xué)們求出來的是整條直線的參數(shù)方程嗎？設(shè)計意圖：通過問題引起思考，從曲線的參數(shù)方程的

12、定義進(jìn)行判斷得出此參數(shù)方程只是直線上的一條射線的參數(shù)方程，為了節(jié)省時間，師生共同以速度為-1來探究另一半直線的參數(shù)方程，得出結(jié)果：（板書）問題9：一條直線的兩部分參數(shù)方程不一樣，能否通過一定的處理使其統(tǒng)一成一種形式呢？設(shè)計意圖：利用問題引起認(rèn)知沖突，由學(xué)生討論得出結(jié)果，只需改變t的范圍限制即可，在此過程中也讓學(xué)生認(rèn)識到了參數(shù)符號的幾何意義，得出了參數(shù)的范圍，并且對統(tǒng)一形式的必要性和好處有了更深刻的認(rèn)識，所得直線的參數(shù)方程為：（板書）問題10：（PPT顯示）.參數(shù)的幾何意義是什么？試從參數(shù)的符號和數(shù)值兩個方面來說明參數(shù)的幾何意義設(shè)計意圖：參數(shù)符號的幾何意義，學(xué)生應(yīng)該馬上能夠反應(yīng)出來，而參數(shù)的數(shù)值

13、的幾何意義，應(yīng)從其物理意義和符號的幾何意義來加以引導(dǎo)，有時間t，速度1應(yīng)該能夠很自然的想到其幾何意義為動點(diǎn)M到定點(diǎn)M0的距離三、認(rèn)識方程，辨明真相問題11：要求出直線的參數(shù)方程，你需要知道哪些量呢？設(shè)計意圖：讓學(xué)生認(rèn)識到要求直線的參數(shù)方程只需要知道直線上的一個定點(diǎn)和直線的傾斜角即可。練習(xí)1：(PPT演示)求直線y=x+1的一個參數(shù)方程設(shè)計意圖：（1）讓學(xué)生學(xué)會求直線的參數(shù)方程，（2）進(jìn)一步認(rèn)識直線參數(shù)方程的不唯一性。由于選點(diǎn)的不同，學(xué)生們求出的參數(shù)方程會不一樣，（3）通過糾錯指出x的表達(dá)式中t的系數(shù)為，y的表達(dá)式中t的系數(shù)為sin問題15：（ppt顯示）參數(shù)方程能否表示直線y=x+1？此參數(shù)方

14、程與我們在練習(xí)1中所求出的參數(shù)方程的主要不同點(diǎn)在什么地方？根據(jù)所得直線的參數(shù)方程中t的系數(shù)一定為正嗎？你認(rèn)為中t的系數(shù)應(yīng)滿足什么條件？設(shè)計意圖：（1）進(jìn)一步練習(xí)參數(shù)方程與普通方程的互化，這也是高考考查的重點(diǎn)（2）通過比較讓學(xué)生認(rèn)識到中對t的系數(shù)的要求，從而得到其系數(shù)特征：x的表達(dá)式中t的系數(shù)，y的表達(dá)式中t的系數(shù)（3）將命名為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。并指出其特征練習(xí)2：的直線的傾斜角為 ，參數(shù)t=1所對應(yīng)點(diǎn)到（0，1）點(diǎn)的距離為 ，到（1，1）點(diǎn)的距離為 。設(shè)計意圖：（1）進(jìn)一步加深對直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式的認(rèn)識（2）初步意識到利用參數(shù)的幾何意義可求解兩點(diǎn)間的距離，但必須是到參數(shù)方程中定點(diǎn)的距離，加深參數(shù)幾何意義的理解（3）認(rèn)識到求兩點(diǎn)間的距離有兩種方法：普通方程之下用兩點(diǎn)間的距離公式，參數(shù)方程之下用參數(shù)的幾何意義，但必須是已知參數(shù)的點(diǎn)到參數(shù)方程中的定點(diǎn)的距離四、總結(jié)收獲與問題，談感受設(shè)計意圖：12.板書設(shè)計13.教學(xué)反思我的想法，是否可以回頭看直線的參數(shù)方程，尋找得到參數(shù)方程的向量方法？能否進(jìn)一步認(rèn)識參數(shù)方程和普通方程的關(guān)系？附件二：第八屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動參評教師報名表姓 名性 別（貼照片處） 出生年月教 齡工作單位通訊地址郵 編 E-ma