相似三角形中的幾何定理

1、相似三角形中的幾何定理【前鋪1】如果點(diǎn)、分別在的邊和上，那么下列比例式中能判定的是( )AB CD【前鋪2】如果，是、的比例中項(xiàng)，則下面結(jié)論正確的是( )ABCD【前鋪3】如圖，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作，分別交邊、于點(diǎn)、，那么用向量表示向量為_。【前鋪4】已知線段的長(zhǎng)度是，點(diǎn)是線段上的黃金分割點(diǎn)，那么較長(zhǎng)線段的長(zhǎng)是 【前鋪5】已知、分別是的、上的一點(diǎn)，且，那么的值是 【前鋪6】如果兩個(gè)相似三角形的最長(zhǎng)邊分別是厘米和厘米，他們的周長(zhǎng)相差厘米，那么大三角形的周長(zhǎng)是 厘米。相似三角形的綜合運(yùn)用相似三角形的判定：兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等(常在綜合題中，判定三角形相似)(常在綜合題中，用來求解“解析式”)三組邊對(duì)應(yīng)

2、成比例(在以函數(shù)背景的綜合題中，判定三角形相似)相似三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1：相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)2：相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線及對(duì)角線的平分線的比都等于相似比性質(zhì)3：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比性質(zhì)4：相似三角形的面積比等于相似比的平方相似三角形中的分類討論：填空題中分類討論的標(biāo)志：題中沒有“如圖”兩字綜合題中分類討論的標(biāo)志：以、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求出符合條件的點(diǎn)。用文字寫出的“相似”則必定要分類討論。使，求點(diǎn)的坐標(biāo)。用“”表示相似的，則不必分類討論，默認(rèn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；或“(的頂點(diǎn)、分別與的頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng))”已經(jīng)告訴了對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則不必分類討論【例1】在銳角中，、分

3、別是三條高、的垂足，連、，求證：【例2】如圖：在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊或上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段把分成兩部分，問點(diǎn)在什么位置時(shí)，分割得到的三角形與相似？畫出所有符合要求的線段，并求的長(zhǎng)。【例3】如圖，、分別為垂足。已知：，求證：。已知：，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，若使點(diǎn)分別與、和、構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求線段的值。已知：，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，使點(diǎn)分別與、和、構(gòu)成的兩個(gè)三角形相似，求關(guān)于的函數(shù)解析式。 【例4】如圖，拋物線與軸相交于、，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交拋物線點(diǎn)。求梯形的面積；若梯形的對(duì)角線、于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求經(jīng)過、三點(diǎn)的解析式；是射線上一點(diǎn)，且與相似，求符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)。【例5】如圖，在梯

4、形中，交直線于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)與恰好重合時(shí)，求的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)(不與、重合)，設(shè)，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；問：是否可能使、與都相似？若能，請(qǐng)求出此時(shí)的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由.【例6】(年上海市中考?jí)狠S題)如圖，在中，。半徑為的圓與邊相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，連結(jié)，若與相似，求的長(zhǎng)；若，求的正切值；若，設(shè)，的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.梅涅勞斯(Menelaus)定理以及塞瓦(Ceva)定理梅涅勞斯定理基本模型為Menelaus三角形、為Menelaus點(diǎn)為Menelaus線(截線)塞瓦定理基本模型為Ceva三角形、為Ceva線為Ceva點(diǎn)定理內(nèi)容設(shè)、分

5、別是的三邊、或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則、三點(diǎn)共線的充要條件：(我們做題的時(shí)候考慮的是線段比所以默認(rèn))定理內(nèi)容設(shè)、分別是的三邊、或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則、三線共點(diǎn)的充要條件：(梅氏定理)證明：如圖，、分別為、上的任意一點(diǎn)，為與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，求證：(塞瓦定理)證明：如圖，在中，、與相交于點(diǎn)。試證明：【例7】如圖，四邊形的對(duì)邊與，與分別相交于，對(duì)角線與交于，直線與，分別交于，。求證：求線段比：【例8】在中，如圖，設(shè)，其中為與的交點(diǎn)，則等于( )ABCDE已知、分別是邊，上的點(diǎn)，且，連交邊延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么若、是之、邊上的點(diǎn)，且有，交于，交于，求的值【例9】在中，點(diǎn)在上，。、分別在、上，,交于，求求面積比：共高定

6、理：共高三角形的面積比等于它們底的比共底定理：若兩個(gè)三角形的公共底邊所在直線與兩個(gè)第三頂點(diǎn)與的連線交于則有：共角定理：若中的與中的重合(或互補(bǔ))，則【例10】如圖，設(shè)、分別在的邊，上，與交于，求如圖，內(nèi)三個(gè)三角形面積分別為，四邊形的面積為，則在中，分別是，上的點(diǎn)，且，與交于，則的面積等于的面積的多少倍？命題證明【例11】若兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)定點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)邊所在直線交點(diǎn)必共線。1若一直線和的邊、及的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)、及，并且，則2設(shè)、分別在的邊和上，與交于，求3若為之高上任一點(diǎn)。、分別交、于、，連結(jié)與，則平分4已知：在正方形中，是邊的中點(diǎn)(如圖所示)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，。

7、求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域。當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)是否隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離5如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊分別在軸和軸上，厘米，厘米，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)，分別從，同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)在線段上沿方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段上沿方向作勻速運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒。設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒，問是否存在的值，使得與和這兩個(gè)三角形都相似？若存在，請(qǐng)求出的值，并寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。課后練習(xí)答案1【解析】直線EDF截ABC，ADDC2【解析】直線EFC截ABD，AEEB，3【解析】過A作BC的平行線MN交DE，DF的延長(zhǎng)線于，。又由塞瓦定理為等腰三角形平分4【解析】在正方形中， ，即所求的函數(shù)解析式為。定義域?yàn)?。不變。理由如下：作于點(diǎn)。那么。四邊形的周長(zhǎng)。當(dāng)時(shí)，或。聯(lián)結(jié)，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為。當(dāng)時(shí)，。，。，即。當(dāng)時(shí)，同理可得。綜上所述，點(diǎn)到直線的距離為或。5【解析】故當(dāng)時(shí)，最小值為此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為如圖，當(dāng)時(shí)， 解得，(舍去)當(dāng)時(shí)，解得因此，當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為或時(shí)，和相似假設(shè)存在