矩陣的特征值和特征向量二次型

1、實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三矩陣的特征值和特征向量 二次型實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康?、學(xué)會(huì)用MATLAB軟件求矩陣的特征值和特征向量2、學(xué)會(huì)用MATLAB軟件將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型3、通過用MATLAB軟件編程來判斷二次型的正定性一、特征值與特征向量一、特征值與特征向量 矩陣A與向量x相乘，即表示矩陣對(duì)向量的變換(Transformation)。一般說來，向量在變換的作用下將發(fā)生旋轉(zhuǎn)(Rotation)、反射(Reflection)和放大縮小。但對(duì)于任何一個(gè)矩陣來說，總存在那么一些特殊的向量，在對(duì)其變換的作用下，向量的方向不變，而僅長短發(fā)生變化。這種向量就是所謂的特征向量。 定義：定義：設(shè)A是n階方陣， 是一個(gè)數(shù)。如果存

2、在非零的列向量x，使得 xAx 成 立 ， 則 稱 數(shù) 為 方 陣A的 特 征 值(Eigenvalue)，非零列向量x稱為方陣A的屬于特征值 的特征向量(Eigenvector)，該方程稱為特征方程(Eigenvalue Equation)。 A的全體特征值的和稱為矩陣A的跡(Trace)。它等于A的主對(duì)角元素的和。 其中：D為由特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，V為由特征向量作為列向量構(gòu)成的矩陣。且使 AV=VD 成立用Matlab計(jì)算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)僅計(jì)算A的特征值(以向量形式d存放)V,D=eig(A)trace(A)計(jì)算矩陣A的跡例例1 1：求方陣 542452222A

3、的特征值、特征向量和跡解：解： A=2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5; V D=eig(A) trace(A)V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000 trace(A)ans = 12答：答： 特征值為：, )(121二重二重 103 對(duì)應(yīng)于特征值12, 1 的全部特征向量為： 04472. 08944. 07454. 05963. 02981. 021kk其中21, kk不能同時(shí)為零。 對(duì)應(yīng)于特征值103 的全部特征向

4、量為： 6667. 06667. 03333. 03k其中3k不能為零。 矩陣A的跡為：12)( Atr 例例2 2：求方陣 163053064A的特征值、特征向量和跡解：解： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) trace(A)設(shè)A，B都是n階方陣，若存在 n階可逆矩陣P，使：APPB1 ，則稱矩陣A，B是相似的。 二、矩陣的相似對(duì)角化二、矩陣的相似對(duì)角化設(shè)A是n階方陣，若A與對(duì)角矩陣相似，則稱A可對(duì)角化。 定理定理 1 1：n階方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 例例3 3：判斷下列方陣是否可對(duì)角化。若可對(duì)角 化，求出可逆陣P，使

5、P-1AP為對(duì)角陣。 163053064)1(A 111021010)2(A解解(1)(1)： A=4 6 0;-3 -5 0;-3 -6 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 3答：答：A可對(duì)角化，且可對(duì)角化，且V = 0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1.0000 -0.5774 0D = 1 0 0 0 -2 0 0 0 1DAVV 1 A=0 1 0;-1 2 0;-1 1 1; V D=eig(A) rank(V)ans = 2答：答：A不可對(duì)角化。不可對(duì)角化。解解(2)(2)：V = 0 0.6325 0.4511 0 0.6325

6、 0.4511 1.0000 0.4472 0.7701D = 1 0 0 0 1 0 0 0 1A 的特征值 的幾何重?cái)?shù)為方程組0)( xAI 的解空間的維數(shù)； A 的特征值 的代數(shù)重?cái)?shù)為 作為特征根的重?cái)?shù)。 下述函數(shù)可用來判斷矩陣是否可對(duì)角化，若可對(duì)角化返回1，否則返回0。定理定理 2 2：方陣A可對(duì)角化的充分必要條件是它的幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。 function y=trigle(A)%可對(duì)角化返回1 1，否則返回0 0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; return;ende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e)

7、return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); g=n-rank(A-d*eye(n); if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d)10*eps)= ;endfunction y=trigle(A)%可對(duì)角化返回1 1，否則返回0 0。y=1;c=size(A);if c(1)=c(2) y=0; returnende=eig(A);n=length(A);while 1 if isempty(e) %若為空陣則為真若為空陣則為真return; endd=e(1); f=sum(abs(e-d)10*eps); %特征值d

8、的代數(shù)重?cái)?shù) g=n-rank(A-d*eye(n); %特征值d的幾何重?cái)?shù) if f=g y=0; return; end e(find(abs(e-d) A=4 -3 1 2;5 -8 5 4;6 -12 8 5;1 -3 2 2 trigle(A)ans = 0 A=1 1 1 1;1 1 1 1;1 1 1 1 ;1 1 1 1; trigle(A)ans = 1答：答：A不不可對(duì)角化?？蓪?duì)角化。 P D=eig(A)解解(2)(2)：答：答：A可對(duì)角化，且可對(duì)角化，且P = -0.5000 0.2113 0.2887 0.7887 0.5000 0.7887 -0.2887 0.211

9、3 0.5000 -0.5774 -0.2887 0.5774 0.5000 0 0.8660 0D = -2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 2.0000DAPP 1二、二、 二次型化標(biāo)準(zhǔn)型二次型化標(biāo)準(zhǔn)型定義：定義：二次齊次多項(xiàng)式 ),(21nxxxfnnxxaxxaxa112112211122 nnxxaxa2222222 2nnnxa 稱為一個(gè)(n元)二次型。 若一個(gè)二次型只含平方項(xiàng)， 不含交叉項(xiàng)， 則稱此二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。 若令 jiaajiij ,，則矩陣 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 稱為上述二次型的矩

10、陣。顯然，二次型的矩陣是對(duì)稱的。 例例5 5：判斷下列矩陣是否對(duì)稱 0156149459736431AA=1 3 4 6;3 7 9 5;4 9 4 1;6 5 1 0;B=A;if(A=B) fprintf(A是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣)else if(A=-B) fprintf(A是反對(duì)稱矩陣是反對(duì)稱矩陣) else fprintf(A既不是對(duì)稱矩陣，也不是反對(duì)稱矩既不是對(duì)稱矩陣，也不是反對(duì)稱矩陣陣) endendA A是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣解：解：n階實(shí)方陣A稱為正交矩陣，如果IAA 。正交矩陣對(duì)應(yīng)的線性變換稱為正交變換。 我們有以下結(jié)論：我們有以下結(jié)論： 實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以對(duì)角化， 且對(duì)于實(shí)對(duì)

11、稱矩陣A， 一定存在正交矩陣P， 使APP 為對(duì)角形，且對(duì)角線上的元素為A的特征值，P的列向量為對(duì)應(yīng)的特征向量。 即任意實(shí)二次型都可以通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型。 Matlab中二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形的命令為： P , T = schur (A)其中： A 二次型矩陣(即實(shí)對(duì)稱矩陣)； T 為 A 的特征值所構(gòu)成的對(duì)角形矩陣； P 為 T 對(duì)應(yīng)的正交變換的正交矩陣 ， P 的列向量為 A的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量 P , T = eig (A)例例6 6：求一個(gè)正交變換，將二次型解：解：該二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為43324121242322212222xxxxxxxxxxxxf 化成標(biāo)準(zhǔn)形 110111100

12、1111011A A = 1 1 0 1; 1 1 1 0; 0 1 1 1;-1 0 1 1; P , T = schur (A)P = -0.5000 0.7071 0.0000 0.5000 0.5000 -0.0000 0.7071 0.5000 0.5000 0.7071 0.0000 -0.5000 -0.5000 0 0.7071 -0.5000 P , T = eig (A)T = -1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 3.0000答：所作的正交變換為：PYX 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為：242322213yyyyf 例例7 7：求一

13、個(gè)正交變換，將二次型解：解：該二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為323121232221444xxxxxxxxxf 化成標(biāo)準(zhǔn)形 12122112224A A = 4 2 2;-2 1 1/2;2 1/2 1; P , T = schur (A)P = 0.5458 -0.0000 0.8379 0.5925 0.7071 -0.3859 -0.5925 0.7071 0.3859T = -0.3423 0 0 0 0.5000 0 0 0 5.8423答：所作的正交變換為：PYX 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型為：2322218423. 55 . 03423. 0yyyf 三、三、 正定二次型的判定正定二次型的判定定義定義

14、 1：實(shí)二次型),(21nxxxf稱為正定的 ， 如 果 對(duì) 于 任 意 一 組 不 全 為 零 的 實(shí) 數(shù)nccc,21，都有0),(21 ncccf。 定義定義 2：實(shí)對(duì)稱矩陣A稱為正定的，如果二次型AXX 是正定的。 定理定理 1： 實(shí)二次型AXXxxxfn ),(21為正定的充分必要條件是矩陣A的順序主子式都大于零。 定理定理 2：實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的特征值都大于零。 1. 1. 順序主子式判斷法順序主子式判斷法 求二次型求二次型 F=XAX 的矩陣的矩陣 A 的各階順序的各階順序 主子式主子式 Di (i=1,2,3.); 判斷判斷 Di 是否大于是否大于0 . .

15、程序：建立函數(shù)文件程序：建立函數(shù)文件 shxu.mfunction C,M =shxu(A)% C為為A的各階順序主子式組成的向量的各階順序主子式組成的向量% M為判定向量為判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; % others M(i)=0 n=size(A); C= ; M= ; for i=1:n(1) A1=A(1:i,1:i); D=det(A1); C=C D; if D0 m=1; else m=0; end M=M,m; end 2 2、特征值判別法、特征值判別法 求二次型求二次型 f =XAX 的矩陣的矩陣 A 的全部特征的全部特征 值值 （i=1,2,i

16、=1,2,）；）；i 判斷判斷 是否大于是否大于 0 .i 程序：建立函數(shù)文件程序：建立函數(shù)文件 tezh.m function T , M = tezh (A) n=size(A); T=(eig(A) ; M= ; for i =1:n(1) if T(i)0 m=1; else m=0; end M=M,m; end例例8 8 判定下列二次型是否正定 4342413121242322211262421993xxxxxxxxxxxxxxf 解解 二次型矩陣 19631690230311211A方法一方法一 順序主子式順序主子式 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1

17、3 6 19 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 1 2 6 24 M = 1 1 1 1方法二方法二 特征值法特征值法 T = 0.0643 2.2421 7.4945 22.1991 M = 1 1 1 1 A = 1 1 2 1;-1 3 0 3;2 0 9 6;1 3 6 19 T , M = tezh (A)答：此二次型是正定的。 例例9 9 判定下列二次型是否正定 32312123222116048127113099xxxxxxxxxf 解解 二次型矩陣 71302430130624699A方法一方法一 順序主子式順序主子式 A = 9 6 24;-6

18、130 30;24 30 71 ; C,M = shxu (A)答：此二次型是正定的。 C = 9 1134 6174 M = 1 1 1 方法二方法二 特征值法特征值法 T = 0.6576 65.0894 144.2530M = 1 1 1 A = 9 6 24;-6 130 30;24 30 71 ; T , M = tezh (A); 答：此二次型是正定的。 例例1010 判定下列二次型是否正定 323121232221228248210 xxxxxxxxxf 解解 二次型矩陣 11412142412410A方法一方法一 順序主子式順序主子式 A = 10 4 12;4 2 14;12

19、 14 1 ; C,M = shxu (A)答：此二次型不是正定的。 C = 10 4 -3588M = 1 1 0方法二方法二 特征值法特征值法T = -17.4209 10.1708 20.2501M = 0 1 1 A = 10 4 12;4 2 14;12 14 1 ; T , M = tezh (A)答：此二次型不是正定的。 定理定理 3： 實(shí)二次型AXXxxxfn ),(21為負(fù)定的充分必要條件是矩陣A的偶數(shù)階順序主子式都大于零，而奇數(shù)階順序主子式都小于零。 定理定理 4：實(shí)對(duì)稱矩陣A負(fù)定的充分必要條件是A的特征值都小于零。 function C,M =shxuf(A)% C為為A的各階順序主子式組成的向量的各階順序主子式組成的向量% M為判定向量為判定向量: if C(i)0, then M(i)=1; if C(i)0 m=1; elseif D0 m=-1； else m=0; end M=M,m; end function T , M = tezhf (A) n=