現(xiàn)代信號處理教程 - 胡廣書(清華)

1、第10章 離散小波變換的多分辨率分析在上一章，我們給出了連續(xù)小波變換的定義與性質(zhì)，給出了在平面上離散柵格上小波變換的定義及與其有關(guān)的標(biāo)架問題。在這兩種情況下，時間仍是連續(xù)的。在實際應(yīng)用中，特別是在計算機(jī)上實現(xiàn)小波變換時，信號總要取成離散的，因此，研究及都是離散值情況下的小波變換，進(jìn)一步發(fā)展一套快速小波變換算法將更有意義。由Mallat和Meyer自80年代末期所創(chuàng)立的“多分辨率分析”技術(shù)87,88,8在這方面起到了關(guān)鍵的作用。該算法和多抽樣率信號處理中的濾波器組及圖像處理中的金字塔編碼等算法34,33結(jié)合起來，構(gòu)成了小波分析的重要工具。本章將詳細(xì)討論多分辨率分析的定義、算法及應(yīng)用。10.1多分

2、辨率分析的引入10.1.1信號的分解近似現(xiàn)以信號的分解近似為例來說明多分辨率分析的基本概念。給定一個連續(xù)信號，我們可用不同的基函數(shù)并在不同的分辨率水平上對它作近似。如圖10.1.1(a)所示，令 (10.1.1)顯然，的整數(shù)位移相互之間是正交的，即 (10.1.2)這樣，由的整數(shù)位移就構(gòu)成了一組正交基。設(shè)空間由這一組正交基所構(gòu)成，這樣，在空間中的投影（記作）可表為： (10.1.3)式中,是基的權(quán)函數(shù)。如圖10.1.1(b)所示，它可以看作是在中的近似。是離散序列，如圖10.1.1(c)所示。令 (10.1.4)是由作二進(jìn)制伸縮及整數(shù)位移所產(chǎn)生的函數(shù)系列，顯然，對圖10.1.1(a)的，和是正

3、交的。這一結(jié)論可證明如下：因為 令，則,再由（10.1.2）式，有 (10.1.5)于是結(jié)論得證。將作二倍的擴(kuò)展后得，如圖10.1.1(g)所示。由作整數(shù)倍位移所產(chǎn)生的函數(shù)組 當(dāng)然也是兩兩正交的（對整數(shù)），它們也構(gòu)成了一組正交基。我們稱由這一組基形成的空間為，記信號在中的投影為，則 (10.1.6)式中為加權(quán)系數(shù)。如圖10.1.1(h)所示。仍為離散序列，如圖10.1.1(i)所示。若如此繼續(xù)下去，在給定圖10.1.1(a)的的基礎(chǔ)上，我們可得到在不同尺度下通過作整數(shù)位移所得到一組組的正交基，它們所構(gòu)成的空間是。用這樣的正交基對作近似，就可得到在中的投影。由圖10.1.1(a)和圖10.1.1

4、(g)，我們不難發(fā)現(xiàn)： (10.1.7) 再比較該圖的(b)和(h)，顯然圖(b)對的近似要優(yōu)于圖(h)對的近似，也即分辨率高。所以，用對作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。當(dāng)時，中的每一個函數(shù)都變成無窮的窄，因此，有 (10.1.8)另一方面，若，那么中的每一個函數(shù)都變成無窮的寬，因此，時對的近似誤差最大。按此思路及（10.1.7）式，我們可以想象，低分辨率的基函數(shù)完全可以由高一級分辨率的基函數(shù)所決定。從空間上來講，低分辨率的空間應(yīng)包含在高分辨率的空間中，即 (10.1.9)但是，畢竟不等于，也即比對近似的好，但二者之間肯定有誤差。這一誤差是

5、由和的寬度不同而產(chǎn)生的，因此，這一差別應(yīng)是一些“細(xì)節(jié)”信號，我們記之為。這樣，有 (10.1.10)該式的含義是：在高分辨率基函數(shù)所形成的空間中的近似等于它在低分辨率空間中的近似再加上某些細(xì)節(jié)?，F(xiàn)在我們來尋找的表示方法。設(shè)有一基本函數(shù)，如圖10.1.1(d)所示，即 (10.1.11)很明顯，的整數(shù)位移也是正交的，即 (10.1.12)進(jìn)一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即 (10.1.13)如圖（j）所示。同時，和的整數(shù)位移之間也是正交的，即 (10.1.14)觀察圖(a)，(d)和(g)，不難發(fā)現(xiàn)，和之間有如下關(guān)系： (10.1.15a) 及 (10.1.15b)記張成的空間為，所

6、張成的空間為，依次類推，張成的空間為，記在空間中的投影為，在中的投影為，它們均可表為相應(yīng)基函數(shù)的線性組合，即 (10.1.16) (10.1.17)式中,是,尺度下的加權(quán)系數(shù)，它們均是離散序列。,分別如圖10.1.1(e)和(f)所示，,分別如圖(k)和(l)所示。由圖10.1.1不難發(fā)現(xiàn)，若將圖(h)的和圖(k)的相加，即得圖(b)的，由空間表示，即是 (10.1.18)式中表示直和注1。這說明，是的正交外空間，并有，注2。我們把上述概念加以推廣，顯然有 圖10.1.1 信號的近似 （10.1.19）并且 （10.1.20）這樣，給定不同的分辨率水平，我們可得到在該分辨率水平上的近似和，由于

7、是低通信號，因此反映了的低通成份，我們稱其為的“概貌”。由于是由邊緣得到的離散序列，所以也應(yīng)是在尺度下的概貌，或稱離散近似。同理，由于是帶通信號，因此反映的是的高頻成份，或稱為的“細(xì)節(jié)”，而是的離散細(xì)節(jié)。在以上的分析中，我們同時使用了兩個函數(shù)，即和，并由它們的伸縮與移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的討論可知，對作概貌近似的函數(shù)稱為“尺度函數(shù)”，而對作細(xì)節(jié)近似的函數(shù)稱為小波函數(shù)。讀者不難發(fā)現(xiàn)，圖10.1.1(d)中的即是我們在上一章提到的Haar小波。圖(a)中的即是Haar小波在時的尺度函數(shù)。10.1.2樹結(jié)構(gòu)理想濾波器組我們在第七、八兩章詳細(xì)討論了濾波器組的原理。一個離散時間信號經(jīng)過一

8、個兩通道濾波器組后，的輸出為其低頻部分，頻帶在；的輸出為其高頻部分，頻帶為。由于、輸出后的信號頻帶均比的頻帶降低了一倍，因此，在和的輸出后都各帶一個二抽取環(huán)節(jié)，如圖10.1.2所示。如果我們把的總頻帶定義為空間，經(jīng)第一次分解后，被分成兩個子空間，一個是低頻段的，其頻率范圍為；另一個是高頻段的，其頻帶在之間。顯然，并且和是正交的，即二者的交集為空間（此亦是直和的定義）。按此思路，我們可在的輸出后再接一個兩通道分析濾波器組，這樣就將空間進(jìn)一步剖分，一個是高頻段的空間，另一個是低頻段的空間，如圖10.1.2(a)和(b)所示。由上面的分解不難發(fā)現(xiàn)， ， (10.1.21a)及 (10.1.21b)或

9、 (10.1.21c)注1: ,是空間的子空間，若 ;，則稱是和的直和。式中“”表示求和的交集，“”表示求和的并集；注2：，“”表示包含，即空間含空間。V2(0-/4)H1(z)2H0(z)2W2(/4-/2)H1(z)2H0(z)2x(n)W1(/2-)V1(0-/2)圖10.1.2 基于濾波器組的頻帶剖分(a)濾波器組，(b)頻帶剖分現(xiàn)在我們來分析一下圖10.1.2對信號分解的特點。1各帶通空間和各低通空間的恒Q性先看帶通空間。由圖10.1.2(b)，的帶寬為，中心頻率為，其；的帶寬為，中心頻率在，所以其也是，同理，的均是；再看低通空間，很明顯，的，的，的的也是2。2各級濾波器的一致性在圖

10、10.1.2(a)中，我們將各級濾波器組的低通和高通濾波器都寫成了和，這意味著各級濾波器組使用的是同一組濾波器，這一方面體現(xiàn)了樹狀濾波器組中各級濾波器的一致性，也深刻體現(xiàn)了上述空間剖分的特點，現(xiàn)對此作一簡單的解釋。假定對的抽樣頻率Hz，對，設(shè)其截止頻率Hz，也即，或歸一化頻率；對第二級，由于前一級有一二抽取環(huán)節(jié)，致使變成了Hz，同時，由于第一級的輸出使頻帶減少一半，故第二級低通濾波器的應(yīng)改為Hz。但是，這時的仍為，即，依次類推，各級的、均保持不變。這樣，只要設(shè)計出第一級的和，以后各級的濾波器均可采用它們。圖8.1.1的M通道均勻濾波器組不適于多分辯率分析。這是因為它不是按照由大及小的逐級分解，

11、因此不具備恒Q性，也不會滿足（10.1.21）式。以上我們用兩個實際的例子引入了多分辯分析的基本概念，以期讀者對多分辯率分析有一個直觀的理解。下面的內(nèi)容將是更加深入具體的討論。10.2多分辯率分析的定義Mallat給出了多分辯率分析的定義8：設(shè)是空間中的一系列閉合子空間，如果它們滿足如下六個性質(zhì)，則說，是一個多分辨率近似。這六個性質(zhì)是：1，若則 (10.2.1)2，即 (10.2.2)3，若，則 (10.2.3)4 (10.2.4)5 (10.2.5)6存在一個基本函數(shù)，使得，是中的Riesz基?，F(xiàn)對以上性質(zhì)作一些直觀的解釋：性質(zhì)1說明，空間對于正比于尺度的位移具有不變性，也即函數(shù)的時移不改變

12、其所屬的空間。我們在上一章對作二進(jìn)制離散化時曾說明，若令，則應(yīng)取，將歸一化為，則 (10.2.6)所以，（10.2.1）式實際上應(yīng)等效為： ，若，則 (10.2.7) 這是因為，必有;性質(zhì)2說明，在尺度(或)時，對作的是分辯率為的近似，其結(jié)果將包含在較低一級分辯率時對近似的所有信息，此即空間的包含，也即（10.2.2）式； 性質(zhì)3是性質(zhì)2的直接結(jié)果。在中，函數(shù)作了二倍的擴(kuò)展，分辯率降為，所以應(yīng)屬于；性質(zhì)4說明當(dāng)時，分辨率，這時我們將會失的所有信息，也即 從空間上講，所有的交集為零空間；性質(zhì)5是性質(zhì)4的另一面，即當(dāng)時，分辯率，那么信號在該尺度下的近似將收斂于它自身，即 (10.2.8)從空間上講

13、，即是所有的并集收斂于整個空間；性質(zhì)6說明了中Riesz基的存在性問題，并將要由此引出中正交基的存在性問題，因此，需要著重加以解釋。設(shè)是一Hilbert空間(注：能量有限的空間即是Hilbert空間)，是中的一組向量，其個數(shù)與的維數(shù)一致。自然，中的任一元素都可表為的線性組合，即 (10.2.9)我們在1.8節(jié)已指出，若（1）之間是線性無關(guān)的，且（2）存在常數(shù)使得 (10.2.10)則是中的Riesz基。注意，（10.2.10）式等效于（9.8.32）式，只不過在（10.2.10）式中，我們已指出，Riesz基本身是一個標(biāo)架，但它比標(biāo)架的要求要高，即之間是線性無關(guān)的，但它又比正交基要求低，即并不

14、要求之間一定要兩兩正交。（10.2.10）式的能量約束關(guān)系保證了（10.2.9）式對表示的數(shù)值穩(wěn)定性。下述定理給出了在中存在Riesz基的充要條件。定理10.1 是中的Riesz基的充要條件是存在常數(shù)使得 ，有 (10.2.11)式中是的傅里葉變換。證明：對任意的，我們均可按(10.2.9)式對作分解?，F(xiàn)對(10.2.9)兩邊作傅里葉變換，有 (10.2.12)這是我們在（1.7.14）及（1.7.15）式所遇到的FT和DTFT混合的形式。若設(shè)想的實際間隔為，由19, (10.2.13)應(yīng)是周期的，周期為，為了書寫的方便，我們暫把記作，這樣，(10.2.12)式變成 (10.2.14)于是，的

15、范數(shù) (10.2.15)注意式中的應(yīng)從，上式中的分段積分及對的求和保證了這一點。（10.2.10）式所要求的Riesz基的條件進(jìn)一步可表為： (10.2.16)若是中的Riesz基，則（10.2.16）式必須成立。為保證（10.2.16）式成立，由（10.2.15）式，由于，即的能量是有界的，因此必須滿足(10.2.11)式。因此必要性保證。反之，若（10.2.11）式成立，則由（10.2.15）式必然可導(dǎo)出（10.2.16）式。此外，凡滿足（10.2.9）式的，它必然滿足（10.2.16）式。若，則必有，對所有的，因此，是線性無關(guān)的。由此，充分性保證。于是定理得證。在實際工作中，人們總是偏愛

16、正交基。下述定理給出了如何由Riesz基構(gòu)造正交基的方法。定理10.2 令是一多分辨分析，是一尺度函數(shù)，若其傅里葉變換可由下式給出： (10.2.17)并令 (10.2.18)則是中的正交歸一基，對所有的。式中是產(chǎn)生Riesz基的基本函數(shù)的傅里葉變換。證明：為了構(gòu)造一個正交基，我們需要尋找一個基本函數(shù)，由（10.2.18）式的定義，必然屬于，由定理10.1，也可表為Riesz基的線性組合，即 （10.2.19）由（10.2.14）式，上式對應(yīng)的頻域關(guān)系是： （10.2.20）式中是的DTFT，因此，它仍是周期的，周期為。如果，是中的正交歸一基，由1.7節(jié)關(guān)于正交基的性質(zhì)，有 （10.2.21）

17、將(10.2.20)式代入（10.2.21）式，有 由Riesz基的性質(zhì),是有界的，因此，有 即 (10.2.22)將該式代入（10.2.20）式，即得（10.2.17）式。因此，是中的正交歸一基。（10.1.12）和（10.1.13）式已證明，若是正交歸一基，按（10.2.18）式作二進(jìn)制伸縮與位移所產(chǎn)生的對所有的，都是相應(yīng)中的正交歸一基。于是定理得證。我們在定理9.7給出了由半正交小波求正交小波的方法，其原理和定理10.2是一樣的。這樣，定理10.1給出了空間中Riesz基的存在性，定理10.2給出了由Riesz基過渡到正交基的方法。在實際工作中，找到一個正交歸一的基函數(shù)并不太容易，但找到

18、一組Riesz基卻比較容易。具體步驟是：1由作FT得；2由（10.2.17）式求；3由作逆傅里葉變格得，則即是一組正交基。文獻(xiàn)5和文獻(xiàn)21介紹了利用此方法構(gòu)造Battle-Lemarie小波的例子。其思路是令為一個三角波，其傅里葉變換為 (10.2.23)可以證明，構(gòu)成一組Riesz基，但是，之間并不正交，可以求出： (10.2.24)顯然，是有界的，滿足(10.2.11)式所要求的Riesz基的頻域條件。按（10.2.17）式，可以求出 (10.2.25)由作反變換即可得到。即可構(gòu)成一組正交基。10.3空間、中信號的分解由上兩節(jié)關(guān)于頻率軸剖分的思想，應(yīng)是中的低通函數(shù)，應(yīng)是中的帶通函數(shù)。將歸一

19、化，有 (10.3.1)定理10.2已指出，是中的正交歸一基，是中的正交歸一基。這樣，我們可將按此基函數(shù)逐級進(jìn)行分解。1子空間令是在中的投影，則 (10.3.2)式中是加權(quán)系數(shù)，它應(yīng)是一個離散序列。由的正交性質(zhì)，我們有 由圖10.1.1(b)，和作內(nèi)積實質(zhì)上是和作內(nèi)積，即 (10.3.3)這樣 (10.3.4)這是我們已經(jīng)很熟悉的信號分解的表示形式。由于是時間的函數(shù)，而又具有低通性質(zhì)，因此我們稱是在中的“分段平滑”逼近，而稱為在中的“離散”逼近。它們都是在分辨率時的“概貌”。2子空間由多分辨分析的定義，若，則，由定理10.2，是中的正交歸一基。仿照(10.3.2)(10.3.4)式，我們有 (

20、10.3.5) (10.3.6)及 (10.3.7)3子空間若我們在子空間中能找到一個帶通函數(shù)，使是中的正交歸一基，類似尺度函數(shù)，因，則，也可構(gòu)成中的正交歸一基，即 (10.3.8) (10.3.9)依次類推，將是中的正交歸一基。我們稱為小波函數(shù)，滿足上述正交歸一性質(zhì)的正交小波的構(gòu)造問題將在下一章詳細(xì)討論。這樣，我們可依次將在中作類似在各空間中的分解。令 (10.3.10)則 (10.3.11) 我們在10.1節(jié)中已述及，是在子空間上的投影，它是時間的函數(shù)。因為是帶通函數(shù)，所以是的分為連續(xù)細(xì)節(jié)逼近。同理，是在中的離散細(xì)節(jié)。由于，所以必有 (10.3.12)或 (10.3.13)這兩個式子指出，

21、在中的投影等于分別在和中的投影的差，它也是在和這兩個分辨率水平上的逼近之差，因此，和均被稱為的“細(xì)節(jié)”。實際上，它們反映的也是的高頻成份，且就是尺度時的離散柵格上的小波變換。4對子空間，將上述的討論加以推廣，自然有如下的結(jié)論： (10.3.14) (10.3.15) (10.3.16) (10.3.17) (10.3.18)一般，令，我們可依次實現(xiàn)對的多分辨率分析。下一節(jié)，我們將深入地探討這種分解的內(nèi)在聯(lián)系。10.4二尺度差分方程前已指出，是中的正交歸一基，是中的正交歸一基，并且,。這一關(guān)系啟發(fā)我們，在相鄰尺度（如和）下的尺度函數(shù)和尺度函數(shù)之間、尺度函數(shù)和小波函數(shù)之間必然存在著一定的聯(lián)系。由于

22、，而包含在中，這樣，把設(shè)想成是中的一個元素，因此它當(dāng)然可以表為中正交基的線性組合，即 式中是加權(quán)系數(shù)，它是一個離散序列。將上式進(jìn)一步展開，有 即 (10.4.1) 同理，由于也包含在中，因此，中的也可表為中正交基的線性組合，即 (10.4.2)也是加權(quán)系數(shù)。（10.4.1）和(10.4.2)兩式被稱為“二尺度差分方程”53，它們揭示了在多分辨率分析中尺度函數(shù)和小波函數(shù)的相互關(guān)系。這一關(guān)系存在于任意相鄰的兩級之間，如，有 (10.4.3a) (10.4.3b)該式又等效于 (10.4.4a) (10.4.4b)因此，二尺度差分方程是多分辨率分析中小波函數(shù)和尺度函數(shù)的一個重要性質(zhì)。由和各自的正交性

23、，,可由下式求得： 令，則 或 (10.4.5)同理 (10.4.6)這兩個式子揭示了一個重要得關(guān)系，即和與無關(guān)，它對任意兩個相鄰級中的和的關(guān)系都適用。這就是說，由和的二尺度差分方程求出的和適用于取任何整數(shù)時的二尺度差分方程。由至，讀者可能會想到，和類似于圖10.1.2(a)中的兩通道濾波器組，對應(yīng)低通濾波器，對應(yīng)高通濾波器，且在每一級，和保證不變。如果這一設(shè)想是正確的，那么就把小波變換和濾波器組聯(lián)系了起來。當(dāng)然，實際情況也正是如此?，F(xiàn)在再回過來觀察圖10.1.1，顯然有： 對比(10.4.3)和(10.4.4)式，有 , , , 這是Haar小波及其尺度函數(shù)所對應(yīng)的濾波器的系數(shù)?，F(xiàn)在我們來研

24、究二尺度差分方程在頻域的表示形式。對(10.4.3)式兩邊取傅里葉變換，有 該式是我們在前面多次遇到過的FT和DTFT的混合表示形式，式中是在軸上離散取值所得到的，假定對軸的抽樣間隔為，則上式積分的左邊右邊 式中，是相對連續(xù)信號的角頻率，,而是相對離散信號的圓頻率。由于后面的討論以離散信號和離散系統(tǒng)為主，所以，我們將都記為，并將簡記為。這樣，最后有 (10.4.7)同理，有 (10.4.8)請讀者記住，、和都是連續(xù)信號的傅里葉變換（FT），而,是離散信號的傅里葉變換（DTFT）。將(10.4.3)和(10.4.4)兩式的兩邊分別對積分，由于，,所以，有 (10.4.9) (10.4.10)對應(yīng)

25、于頻域，有 (10.4.11) (10.4.12)因此，應(yīng)是低通濾波器，應(yīng)是高通濾波器。 由（10.4.7）式，有 (10.4.13)由于當(dāng)時，因此 (10.4.14)式中.同理可由(10.4.8)式求出： 即 (10.4.15)式中.這樣，(10.4.14)和(10.4.15)式建立了,分別和和的直接關(guān)系。若,已知，我們可由它們求出相應(yīng)的和，進(jìn)一步求出相應(yīng)的和。例如，若，即，則 (10.4.16)若，即，則 (10.4.17)此外，由于 , 且當(dāng)時 因此，從能量守恒的角度，有 （10.4.18）或 (10.4.19)10.5 二尺度差分方程與共軛正交濾波器組(10.4.7)和(10.4.8)

26、式給出了二尺度差分方程的頻域關(guān)系，(1.7.11)和(1.7.12)式給出了正交基的頻域性質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，我們可導(dǎo)出在二尺度差分方程中和的頻域關(guān)系，從而把多分辨率分析和濾波器組結(jié)合起來。定理10.3設(shè),分別是多分辨率分析中的尺度函數(shù)和小波函數(shù)，,分別是滿足二尺度差分方程(10.4.3)和（10.4.4）式的濾波器系數(shù)，則 (10.5.1a) (10.5.1b) (10.5.1c)證明：先證明(10.5.1a)式。由(10.4.7)式，有 (10.5.2)由于是中的正交歸一基，所以，其傅里葉變換滿足(1.7.11)式，于是 即 式中實際上是，它是以為周期的。現(xiàn)將按奇、偶分開，即分別令和，于是，有

27、 令，又有： 由(1.7.11)式，,作了常數(shù)移位后，也必然等于1。因此 即(10.5.1a)式得證。同理可證明(10.5.1b)式。由第七章的討論可知，滿足(10.5.1a)和(10.5.1b)的及分別都是功率互補的，二者是功率對稱的?，F(xiàn)在證明(10.5.1c)式。由(1.7.12)式，我們有 (10.5.3)令，則上式變成 將二尺度差分方程的頻域關(guān)系代入上式，有 再一次地將按奇、偶分開，并注意到,都是以為周期的，于是 即 由(10.5.1a)式的證明過程，最后可得 這樣(10.5.1c)式得證。將(10.5.1)式寫成Z變換的形式，有 (10.5.4a) (10.5.4b) (10.5.4

28、c)將(10.5.4a)式和(7.4.9b)式相比較，我們立即發(fā)現(xiàn)，滿足小波變換多分辨率分析中二尺度差分方程的、正是一對共軛正交濾波器組（CQMFB）。這樣，我們就把小波變換和濾波器組聯(lián)系了起來，從而為離散信號的小波變換的快速實現(xiàn)提供了有效的途徑。注意，滿足（10.5.1c）式的和并不唯一，其中一個解是 (10.5.5a)或 (10.5.5b)讀者可自行驗證，若，都可滿足（10.5.1c）式。我們在7.4節(jié)給出了CQMFB中和的關(guān)系。由（7.4.1）式，由（7.4.3b）式，則，現(xiàn)在若按（10.5.5b）式定義和的關(guān)系，即令，且比（7.4.1）式多了一個負(fù)號。很容易驗證（10.5.5b）式所對

29、應(yīng)的時域關(guān)系是： (10.5.6)至此，我們給出了一系列重要的概念，它們分別是：1在中總存在，使構(gòu)成中的Riesz基；2定理10.2說明如何由Riesz基得到中的正交歸一基，進(jìn)而是中的正交歸一基，即是尺度函數(shù)。3把視為的正交補，并假定在中存在小波函數(shù)，使是中的正交歸一基，進(jìn)而是中的正交歸一基；4由于假定，所以假定和是正交的；5按，分別對作分解，得到（10.3.14）(10.3.18)式的分解（或投影）關(guān)系；6由，這一包含關(guān)系，得到了（10.4.4）式的二尺度差分方程；其頻域關(guān)系如（10.4.7）和（10.4.8）式所示；7由定理10.3，滿足二尺度差分方程的和恰是一對共軛正交濾波器組，即它們滿

30、足（10.5.1）式。按此思路，我們即可有效地實現(xiàn)信號的小波變換，這即是下一節(jié)要討論的Mallat算法。在討論這一算法之前，也許讀者已經(jīng)看到上述總結(jié)的第3條中，中正交基的存在性及和的正交關(guān)系并沒得到證明，在這之前，對它們的認(rèn)同還都是“假設(shè)”。下述兩個定理回答了這一結(jié)論。定理10.4 令是一多分辨率分析序列，是中的正交歸一基，再令和是一對共軛正交濾波器組，記的傅里葉變換為，若 (10.5.7)則存在基本小波函數(shù)，使是中的正交歸一基，進(jìn)而，是中的正交歸一基。證明：定理10.4實際上是定理10.3的逆命題。若構(gòu)成中的正交歸一基，由1.7節(jié)關(guān)于正交基的性質(zhì)，則必有 (10.5.8)將（10.5.7）式

31、的所給條件代入（10.5.8）式的左邊，有令，考慮到是以為周期的，是正交歸一基，因此上式因為、是一對共軛正交濾波器組，所以，必滿足（10.5.1b）式，因此（10.5.8）式得證，即是中的正交歸一基。由（10.1.3）式，可證是中的正交歸一基，因此定理得證。定理10.5 設(shè)是一多分辨率分析序列，,和分別是和中的正交歸一基，則和是正交的，即 (10.5.9)證明：同樣，由1.7節(jié)關(guān)于正交基的性質(zhì)，若證明（10.5.9）式，只需證明 (10.5.10)即可將及代入（10.5.10）式，再利用（10.5.1c）式有關(guān)正交濾波器組的關(guān)系，則（10.5.10）式可證。10.6 Mallat算法在上述多分

32、辯率分析的基礎(chǔ)上，下述兩個定理給出了如何通過濾波器組實現(xiàn)信號的小波變換及反變換。定理10.6 8 令，是多分辨率分析中的離散逼近系數(shù)，是滿足（10.4.3）和（10.4.4）式的二尺度差分方程的兩個濾波器，則，存在如下遞推關(guān)系： (10.6.1a) (10.6.1b)式中。證明：先證明（10.6.1a）式由于正交基函數(shù)，而，因此，可用正交基來作分解，即 (10.6.2)式中分解系數(shù) 令，則 由(10.4.5)式，有 于是，(10.6.2)式變成 (10.6.3)將該式兩邊分別對作內(nèi)積，由(10.3.15)式，有 左邊 右邊 這樣，左邊等于右邊，有 于是(10.6.1a)式得證。(10.6.1b

33、)式的證明留給讀者來完成。現(xiàn)在我們來理解一下(10.6.1)式的涵義：設(shè)，是在中由正交基作分解的系數(shù)，它是在中對所作的離散平滑逼近。將通過一濾波器后得到在中的離散平滑逼近。該濾波器是將先作一次翻轉(zhuǎn)，得，然后再和作卷積運算。(10.6.1a)式中出現(xiàn)的，正體現(xiàn)了二抽取環(huán)節(jié)，如圖10.6.1(a)所示。(10.6.1b)式的輸入、輸出關(guān)系如圖10.6.1(b)所示。假定我們從級開始分解，將圖(a)和(b)合起來后即是圖(c)。h0(k)= h0(-k)2h1(-k)= h1(-k)2 h0(-k)h1(-k)22圖10.6.1 (10.6.1)式的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)低通分解 (b)高通分解，(c)二

34、者的結(jié)合如果我們令由逐級增大，我們即得到多分辨率的逐級實現(xiàn)，如圖10.6.2所示。該圖所反映的過程（也即(10.6.1)式）即是Mallat算法，也即小波變換的快速實現(xiàn)。 h1(k)2h0(k)2h1(k)2h0(k)2 h1(k)2h0(k)2圖10.6.2 多分辨率分解的濾波器組實現(xiàn)由(10.6.1)式及圖10.6.2，我們可以看出Mallat多分辨率分析的思路：（1） 從濾波器組的角度看，若的頻帶在，的頻帶在，那么，所處的頻帶是，在，在；對再分解后，在，而在。這就實現(xiàn)了對頻帶的逐級剖分。按這樣的方式剖分，一方面保證了各子頻帶的恒Q性，另一方面又保證了和在各級的不變性；（2） 若記所處的頻

35、帶為空間， 處于，處于，由它們頻帶的性質(zhì)，顯然，同時，有 當(dāng)時，占據(jù)的空間（也即頻帶）趨于無窮小，因此必有，當(dāng)然，這時的分辨率最差，因此。這就是我們在多分辨率分析中所討論的主要思想；（3） 將多分辨率分解歸結(jié)到圖10.6.2來實現(xiàn)，這就把對離散信號的小波變換歸結(jié)到逐級的線性卷積來實現(xiàn)。若，的系數(shù)不是太長，卷積可在時域直接實現(xiàn)，否則，可用DFT及FFT來實現(xiàn)。下面討論信號的重建問題，也即小波反變換。定理10.7 若，按(10.6.1)式得到，則可由下式重建： (10.6.4)證明：由于，.因此，中的任一函數(shù)可按如下方式分解： (10.6.5)由定理10.4的證明，有 (10.6.6a) (10.

36、6.6b)將它們代入(10.6.5) 式，有 (10.6.7)將該式兩邊對作內(nèi)積，即產(chǎn)生(10.6.4)式，于是定理得證。(10.6.4)式所對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖10.6.3a所示。若由遞減，則整個的重建過程如圖10.6.3b所示，它正好是圖10.6.2的逆過程。不過在分解的過程中，和要先作翻轉(zhuǎn)，而在重建過程中，不作翻轉(zhuǎn)。分解時存在二抽取，而在恢復(fù)過程中存在二插值。由(10.6.4)式及圖10.6.3可以看出，在用正交小波對信號作多分辨率分解與重建的過程中，分解和重建所用的濾波器是相同的，即都是和。2h0(k)2h1(k) 2h0(k)2h1(k)2h0(k)2h1(k)2h0(k)2h1(k)圖10.6.3 小波逆變換，(a)第j級，(b)j由j至0的過程10.7 Mallat算法的實現(xiàn)以上各節(jié)討論了Mallat算法的定義，及中正交基的存在性以及用濾波器組實現(xiàn)小波算法的一系列問題。但在具體實現(xiàn)時，尚有一些具體的問題要解決。這主要是初始化問題和在分解過程中數(shù)據(jù)逐漸減少的問題。1.初始化問題。觀察圖10.5.2，在空間，我們假定是已知的，并由此實現(xiàn)的逐級分解。但實際上是未知的，并且在圖中的分解過程中，也并沒出現(xiàn)要分析的離散信號。由(10.3.3)式，有 (10.7.1)因此，只是中對的離散逼近，它并不等于的抽樣。至今，人們已提