全等三角形作輔助線專題一(重點(diǎn)：截長(zhǎng)補(bǔ)短法)-可打印版

1、全等三角形作輔助線經(jīng)典例題常見輔助線的作法有以下幾種:1） 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的 “對(duì)折”.2） 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全 等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3） 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中 的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4） 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻 轉(zhuǎn)折疊”；（遇垂線及角平分線時(shí)延長(zhǎng)垂線段，構(gòu)造等腰三角形）5） 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，

2、具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是 之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、 倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答.、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等F分別在 AB AC上，DE± DF, D是中點(diǎn)，試比較1:已知，如圖 ABC中，AB=5 AC=33則中線 AD的取值范圍是3:如圖，ABC43, BD=DC=A伍是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分/ BAE.中考應(yīng)用：以MBC的兩邊ab、AC為腰分別向外作等腰Rt Aabd和

3、等腰Rt *ACE , /BAD =-CAE =90：連接DE, M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究：AM與DE的位置 關(guān)系及數(shù)量關(guān)系. （1）如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)， AM與DE的位置關(guān)系，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是（2）將圖中的等腰RtAABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 日（0<日<90）后，如圖所示，（1） 問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖,AABC 中，AB=2AC AD平分 /BAC ,且 AD=BD 求證：CDL AC2:如圖,AD/ BC, EA,EB分別平分/ DAB,/ CBA CD過點(diǎn) E,求證：AB = AD+BC3:如圖,0

4、已知在 |_ABC內(nèi)，/BAC=60 , /C=40°, P, Q分別在 BC,BQ分別是/BAC, /ABC的角平分線。求證： BQ+AQ=AB+BP4:如圖，在四邊形5:如圖在 ABC中，AB> AC, / 1 = / 2, P 為 AD上任意一點(diǎn)，求證 ；AB-AC>PB-PC6） 如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC AB+BD=AC 求/ B： / C 的值.中考應(yīng)用：如圖，在四邊形 ABCD中，AD/BC，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若/ B=60° ,AB=BC ,且/ DEC=60 ,判斷AD+AE與BC的關(guān)系并證明你的結(jié) 論。三、找全等1 .已知：

5、如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90 o,AC=BC , D為BC的中點(diǎn)，CEXAD于E,交AB于F,連接 DF . 求證：/ ADC= ZBDF .H,它們并對(duì)其中一對(duì)全等三角2 .如圖， ABC中，AB=AC ,過點(diǎn)A作GE/BC ,角平分線 BD、CF相交于點(diǎn)的延長(zhǎng)線分別交 GE于點(diǎn)E、G.試在圖10中找出3對(duì)全等三角形, 形給出證明.四.借助角平分線造全等說明：遇到有關(guān)角平分線的問題時(shí)，可引角的兩邊的垂線，先證明三角形全等，然后根 據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等.練習(xí)：1 , 已知： ABC 中，BD=CD , / 1 = /2 .求證：AD

6、 平分/ BAC .2 .如圖 22, AB/CD, E 為 AD 上一點(diǎn)，且 BE、CE 分 另I平分/ ABC、/ BCD ,求證：AE=ED .以角的平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造對(duì)稱圖形例： 如圖，在 ABC 中，AD 平分/ BAC , /C=2/B.求證：AB=AC+CD .A分析：由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對(duì)稱軸，因此在BD CAB上截取 AE=AC ,連接DE ,我們就能構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，從而將線段AB分成AE和BE兩段，只需證明 BE=CD就可以了.延長(zhǎng)角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例： 如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC , CEXAD于E.求證：/ ACE=

7、 / B+/ ECD .分析：注意到 AD平分/ BAC, CEXAD ,于是可延長(zhǎng) CE交AB于點(diǎn)F,即可構(gòu)造全等三 角形.利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形 如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC ,過點(diǎn)D作DE / AB , DE交AC于點(diǎn)E.易證 AED 是等腰三角形.因此，我們可以過角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形.例:如圖，在 ABC中，AB=AC , BD平分/ ABC , DEXBD于D,交BC于點(diǎn)E.求證：CD= 1 BE2全等三角形作輔助線課后練習(xí)1 .在 ABC 中，/ BAC=60 o, / C=40o,AP平分/ BAC交BC于P, BQ平分/ ABC交AC

8、于Q.求證：AB+BP=BQ+AQ .2 .如圖，在 ABC 中，AD 平分/ BAC, AB=AC+CD .求證：/ C=2/B.3 .已知，E為乙ABC的/ A的平分線AD 上一點(diǎn)，AB > AC .求證：AB-AC >EB-EC.4 .如圖，在四邊形 ABCD中，BC > BA ,AD=CD , BD 平分/ ABC , 求證：/ A+/C=180o.5 .如圖所示，已知 AD / BC, / 1 = 72, Z3=Z4,直線DC過點(diǎn)E作交AD于點(diǎn)D ,交 BC于點(diǎn)C.求證：AD+BC=AB .6 .已知，如圖， ABC 中，/ ABC=90o,AB=BC , AE是/

9、A的平分線，CD LAE于D.求證:7 . ABC 中，AB=AC , /A=100o, BD是/ B的平分線.求證： AD+BD=BC .8 .如圖， ABC中，AD平分/ BAC , AD交BC于點(diǎn)D,且D是BC的中點(diǎn). 求證：AB=AC .9.已知：如圖， ABC中，AD是/ BAC交CA的延長(zhǎng)線于 F.求證：BM=CF .BED的平分線，E是BC的中點(diǎn)，EF/AD ,交AB于M ,10 .如圖，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分線 AD,CE相交于點(diǎn) Q 求證：OE=OD11 .如圖，4ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEIAB于 E, DFL AC于F. (1)說明BE=CF勺理由；(2)如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用 如圖，OP是/MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以 OP所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題:(1)如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角