線性代數(shù)第五章相似矩陣

1、第五第五設(shè)維實向量設(shè)維實向量稱實數(shù)稱實數(shù)1122,nnababab ,. 1 122nna ba ba b為向量為向量與與的的內(nèi)積內(nèi)積，記作，記作內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算,用矩陣或向量形式表示用矩陣或向量形式表示,有有 1212.Tnnbbaaab , ,（1 1）對稱性：）對稱性：（2 2）線性性：）線性性：（3 3）正定性：）正定性： , , ,kk ,0, 0 ,0. 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)時時 22212,naaa 令令為維向量為維向量的的長度長度（模模或或范數(shù)范數(shù)）. .長度為的向量稱為長度為的向量稱為單位向量單位向量. .（1 1）正定性：）正定性：（2 2）齊次性：）齊

2、次性：（3 3）三角不等式：）三角不等式：0;00且且；;kk;（4 4）柯西施瓦茲（）柯西施瓦茲（CauchyCauchySchwarzSchwarz）不等式）不等式: : 222, 2, 即即,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)與與的線性相關(guān)時，等號成立的線性相關(guān)時，等號成立. .當(dāng)當(dāng)時，時，0 由非零向量由非零向量得到單位向量得到單位向量是是的的單位向量單位向量. .01 01 稱為把稱為把單位化單位化或或標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化. .的過程的過程設(shè)設(shè) 與與 為維空間的兩個非零向量，為維空間的兩個非零向量， 與與 的夾的夾角的余弦為角的余弦為 ,cos, 因此因此 與與 的的夾角夾角為為 ,arccos,0. 例例

3、1223 ,3151 ,. 求求 ,cos 解解183 2 6 12 .4 . 求求, , 1111,1110,TT 練習(xí)練習(xí)6 當(dāng)當(dāng)，稱，稱與與正交正交，記作，記作。 ,0 若若 ，則，則與任何向量都正交與任何向量都正交. .0 0. 對于非零向量對于非零向量與與， ,.2 若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則若向量組中的向量兩兩正交，且均為非零向量，則這個向量組稱為這個向量組稱為正交向量組正交向量組，簡稱，簡稱正交組正交組. .由單位向量組成的正交組稱為由單位向量組成的正交組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交組標(biāo)準(zhǔn)正交組. .正交向量組必為線性無關(guān)組正交向量組必為線性無關(guān)組, ,但反之則不一定成立但反之

4、則不一定成立. .若向量若向量與與與與12,s 中每個向量都正交，中每個向量都正交，則則的任一線性組合也正交的任一線性組合也正交. .12,s 若若正交向量組正交向量組12,r 則稱則稱為向量空間為向量空間上的一個上的一個正交基正交基. .12,r 為向量空間為向量空間上的一個基，上的一個基，若標(biāo)準(zhǔn)若標(biāo)準(zhǔn)正交組正交組12,r 則稱則稱為向量空間為向量空間上的一個上的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基. .為向量空間為向量空間上的一個基，上的一個基，12,r 設(shè)設(shè)是向量空間是向量空間的一個基，要求向量空的一個基，要求向量空12,r 間間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基，就是要找到一組兩兩正交的單要找

5、到一組兩兩正交的單位向量位向量12,r ，使，使12,r 與與12,r 等價，等價，此問題稱為把此問題稱為把這組基這組基標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化. .12,r 1 1）正交化）正交化令令11 1222111, 121r121112211,rrrrrrrr 就得到就得到的一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組的一個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. .的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基. .如果如果上述方法稱為施密特上述方法稱為施密特正交化法正交化法. .2 2）標(biāo)準(zhǔn)化）標(biāo)準(zhǔn)化112212111, , , ,rrr令令12,r 是是的一組基，則的一組基，則12,r 就是就是則則兩兩正交，且與兩兩正交，且與12,r 等價等價. .12,r

6、上述上述方法中的兩個向量組對任意的方法中的兩個向量組對任意的1,kr12,k 與與12,k 都是等價的都是等價的. .證明：中，勾股定理證明：中，勾股定理nR222xyxy成立成立的充要條件是正交的充要條件是正交. .,x y 2,xyxy xy ,2,x xy yx y 222,xyx y所以所以222xyxy成立的充要條件是成立的充要條件是 ,0,x y 即正交即正交. .,x y已知三維向量空間中，已知三維向量空間中，12111 ,211 正交，正交，試求試求3123, 是三維向量空間的一個正交基是三維向量空間的一個正交基. .設(shè)設(shè) 31230Txxx 則則1323,0,0. 即即123

7、123020 xxxxxx 132330 xxxxx 310.1 已知向量已知向量111 ,1 求的一個標(biāo)準(zhǔn)求的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基正交基.3R1230,xxx設(shè)非零向量都于正交，設(shè)非零向量都于正交，23, 1 10,Tx 即滿足方程即滿足方程或或12100,1.11其基礎(chǔ)解系為其基礎(chǔ)解系為2132100,1.11令令111 ,1 1 1）正交化）正交化令令11 1222111, 132333121122, 2 2）標(biāo)準(zhǔn)化）標(biāo)準(zhǔn)化1111 ,31 令令233222, 11 ,1 210 ,1 112,21 2110,21 311 2.2 61 1,iii 1212110121110,22232332

8、23232321 ，令令正正交交即即可可與與所所以以只只要要將將不不正正交交，與與均均正正交交，與與事事實實上上，1 1、定義、定義如果階方陣如果階方陣A滿足：滿足：則稱則稱為為正交矩陣正交矩陣. .則則可表示為可表示為若若按列分塊表示為按列分塊表示為 1,TTA AEAA 即即12(,),n TA AE 1212TTnTn 11,1E亦即亦即其中其中1() ( ,1,2, ).0ijn nif iji jnif ij ()()Tijn nijn n 的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組. .nR的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基. .正交矩陣正交矩陣的個列（行）向量構(gòu)成向量空間的個列（行）

9、向量構(gòu)成向量空間 的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組的行向量是標(biāo)準(zhǔn)正交組. .若若為正交矩陣，則線性變換為正交矩陣，則線性變換= =稱為稱為正交變換正交變換. .設(shè)設(shè)= =為為正交變換正交變換，則有，則有y Tx x TTx P Px ,Ty yy y ,.x xx經(jīng)正交變換后向量的長度保持不變經(jīng)正交變換后向量的長度保持不變, ,內(nèi)積保持不變內(nèi)積保持不變, ,從而夾角保持不變從而夾角保持不變. .1849998149994479991112310121112 111226120,26111226 11132612036111326 判斷下列矩陣是否為正交矩陣判斷下列矩陣是否為正交矩陣. .不是不是不是不是是

10、是是是 1 122.Tnna ba ba b , , 22212,naaa ,cos, ,arccos,0. ,0 1,TTA AEAA 即即yPx 其中其中為正交矩陣為正交矩陣正交變換的優(yōu)良特性：正交變換的優(yōu)良特性：內(nèi)積不變內(nèi)積不變夾角不變夾角不變長度不變長度不變?yōu)殡A方陣，為階方陣，為數(shù)，為數(shù)， 為維非零向量，為維非零向量，A 若若則則稱為稱為的的特征值特征值， 稱為稱為的的特征向量特征向量（）（）并不一定唯一；并不一定唯一；, 階方陣階方陣的特征值，就是使齊次線性方程組的特征值，就是使齊次線性方程組特征向量特征向量 ，特征值問題只針對與方陣；，特征值問題只針對與方陣；0 0EA x 有非零

11、解的有非零解的值，即滿足值，即滿足的的都是都是方陣方陣的特征值的特征值0EA 0EA 稱以稱以為未知數(shù)的一元次方程為未知數(shù)的一元次方程為為的的特征方程特征方程 fEA稱以稱以為變量的一元次多項式為變量的一元次多項式為為的的特征多項式特征多項式121122(2);nnnaaa12(1);nA 設(shè)階方陣的特征值為設(shè)階方陣的特征值為 ijAa 12,n 則則當(dāng)是當(dāng)是的特征值時，的特征值時，的特征多項的特征多項12,n 式可分解為式可分解為 fEA 12n 112121nnnnn 令令0, 得得A 121nn 即即12.nA 因為行列式因為行列式它的展開式中，主對角線上元素的乘積它的展開式中，主對角線

12、上元素的乘積 1122nnaaaEA 是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至是其中的一項，由行列式的定義，展開式中的其它項至多含個主對角線上的元素，多含個主對角線上的元素，含的項只能在主對角線上元素的乘積項中含的項只能在主對角線上元素的乘積項中1nn 與與 11122nnnnEAaaa 故有故有比較比較，有，有121122.nnnaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 因此，特征多項式中因此，特征多項式中方陣方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的主對角線上的元素之和稱為方陣的的跡跡. . .iiitr Aa 階方陣階方陣可逆可逆的個特征值全不為零的個特征值全不為零

13、. .若數(shù)若數(shù)為可逆陣的為可逆陣的的特征值，的特征值，則則 為為 的特征值的特征值1 1A 則則 為為 的特征值的特征值k kA則則 為為 的特征值的特征值1A A 則則 為為 的特征值的特征值m mA單位陣單位陣的一個的一個特征值為特征值為記為記為、若、若為可逆陣為可逆陣的特征值，則的特征值，則1213A 的一個特征值為（）的一個特征值為（）、證階方陣、證階方陣的滿足，則的滿足，則的特征值為的特征值為2AA 或或、三階方陣、三階方陣的三個特征值為、，則的三個特征值為、，則211020413A （）（）223EA、求下列方陣的特征值與特征向量、求下列方陣的特征值與特征向量43 10,2 或或

14、) 032)(432)(132() 3(32) 3(323 AE原原式式140 的的特特征征值值是是2231231A解解 4)3)(2()2(314020112 AE211020413A 1, 2)1()2(3212 0)(,2121 xAE 解解齊齊次次線線性性方方程程組組對對 000000114114000114)(1AE 313312311040 xxxxxxxxx常數(shù)）常數(shù)）為不同時等于零的任意為不同時等于零的任意，（的全部特征向量為的全部特征向量為即對應(yīng)于特征值即對應(yīng)于特征值2121211100412kkkkx 211020413A 0)(133 xAE ，解齊次線性方程組，解齊次線

15、性方程組對于對于 000010101030010111414030111)(3AE 332310 xxxxx）為為不不等等于于零零的的任任意意常常數(shù)數(shù)（，的的全全部部特特征征向向量量為為即即對對應(yīng)應(yīng)與與特特征征值值3331011kkx 互異特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)?；ギ愄卣髦祵?yīng)的特征向量線性無關(guān)。互異特征值對應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征向量并互異特征值對應(yīng)的各自線性無關(guān)的特征向量并在一起，所得的向量組也線性無關(guān)。在一起，所得的向量組也線性無關(guān)。定理定理 階方陣階方陣的任一重的任一重特征值特征值 對應(yīng)的線性無對應(yīng)的線性無iti it關(guān)的特征關(guān)的特征向量向量的個數(shù)不超過的個數(shù)不超過一、定義一、定義

16、定義定義設(shè)設(shè)、都是階方陣，若有可逆矩陣都是階方陣，若有可逆矩陣，使得使得1,PAPB 則稱則稱是是的的相似矩陣相似矩陣，或者說矩陣，或者說矩陣與與相似相似稱為對稱為對進(jìn)行進(jìn)行相似變換相似變換，1,PAP 對對進(jìn)行運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算可逆矩陣可逆矩陣稱為把稱為把變成變成的的相似變換矩陣相似變換矩陣記作：記作：二、性質(zhì)二、性質(zhì)（1 1） 反身性：反身性：（2 2） 對稱性：對稱性：（3 3） 傳遞性：傳遞性：；，則，則；，則，則；（4 4），則，則 R AR B= =（5 5），則，則 AB （6 6），且，且可逆，則可逆，則 11AB定理定理若階方陣若階方陣與與相似，則相似，則與與有相同的特征有相同的特

17、征多項式，從而多項式，從而與與有相同的特征值有相同的特征值推論推論若階矩陣若階矩陣與對角矩陣與對角矩陣1212(,)nndiag 相似，相似，12,n 就是就是的個特征值的個特征值則則可可逆逆，且且B1,kKAPP 1( )().APP 而對對角陣而對對角陣 有有則則若有可逆若有可逆矩陣矩陣使使（8 8），則，則的多項式的多項式特別特別 AB1,PAP 1122()(), ( ),()kkkknn 這樣可以方便地計算這樣可以方便地計算的多項式的多項式( ).A （7 7），則，則mmAB若能尋得相似變換矩陣若能尋得相似變換矩陣使使1PAP 對階方陣對階方陣，稱之為稱之為把方陣把方陣對角化對角化

18、三、相似對角化三、相似對角化定理的推論說明，定理的推論說明，如果階方陣如果階方陣與對角矩陣與對角矩陣相相似，似，那么，使得那么，使得1PAP 的矩陣的矩陣又是怎樣構(gòu)成的呢？又是怎樣構(gòu)成的呢？則則的主對角線上的元素就是的主對角線上的元素就是的全部特征值的全部特征值設(shè)存在設(shè)存在可逆，可逆，1PAP 使得使得 12,nPppp 若若 APP又又 121212,nnnA pppppp 1122,nnppp ),(21nApApApAP 有有于是有于是有(1,2, ),iiiApp in 因為因為可逆，可逆， 故故0(1,2, ),ipin于是于是12,nppp是是的個線性的個線性無無關(guān)的特征向量。關(guān)的

19、特征向量。反之，反之，即即(1,2, ),iiiApp in 設(shè)設(shè)12(,),nPppp 可逆，且可逆，且則則12,nppp若若有個線性無關(guān)的特征向量有個線性無關(guān)的特征向量121122(,)(,)nnnAPAp ApApppp1212(,),nnpppP 所以所以1,PAP 即即與對角矩陣與對角矩陣相似相似定理定理階方陣階方陣能與對角矩陣能與對角矩陣相似相似有個線性無關(guān)的特征向量有個線性無關(guān)的特征向量推論推論如果階方陣如果階方陣有個不同的特征值，則矩陣有個不同的特征值，則矩陣注意注意中的列向量中的列向量12,nppp的排列順序要與的排列順序要與12,n 的順序一致的順序一致（1 1）可相似對角

20、化可相似對角化（2 2）是是ip()0AE x 的基礎(chǔ)解系中的解向量，的基礎(chǔ)解系中的解向量，因因ip的取法不是唯一的，的取法不是唯一的，故故因此因此也是不唯一的也是不唯一的（3 3）所以如果不計所以如果不計的排列順序，的排列順序，0AE 的根只有個（重根按重數(shù)計算）的根只有個（重根按重數(shù)計算）又又 是唯一的是唯一的則則i 推論推論 階方陣階方陣可相似對角化可相似對角化的任重的任重特征值特征值對應(yīng)個線性無關(guān)的特征對應(yīng)個線性無關(guān)的特征向量向量iti it211020413A 在前面的一個例子中我們計算了的特在前面的一個例子中我們計算了的特征值為征值為1, 2321 量量的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系分分別別

21、為為它它們們對對應(yīng)應(yīng)的的全全部部特特征征向向不唯一的）不唯一的）(101,110,041321 ppp 110014101)(,321321pppPppp取取線線性性無無關(guān)關(guān)， 的的順順序序要要一一致致。與與但但也也是是不不唯唯一一的的，這這樣樣的的則則iipPAPP 1221？思考思考 5A11, PPAAPP)()(1115 PPPPPPA15 PP15110014101122110014101 11441411131) 1(22110014101555 12933132096033332831對稱矩陣的特征值為實數(shù)對稱矩陣的特征值為實數(shù). .說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指實對稱矩陣均指實對稱矩陣對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交對稱矩陣的互異特征值對應(yīng)的特征向量正交. .階階對稱對稱陣陣的任一重的任一重特征值對應(yīng)的線性特征值對應(yīng)的線性無關(guān)的特征無關(guān)的特征向量恰有個向量恰有個, ,但它們不一定正交但它們不一定正交. .iti