7--符號(hào)運(yùn)算ppt課件

1、1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Matlab 2主要內(nèi)容主要內(nèi)容n符號(hào)運(yùn)算介紹符號(hào)運(yùn)算介紹n符號(hào)對(duì)象的建立符號(hào)對(duì)象的建立n常見(jiàn)符號(hào)運(yùn)算常見(jiàn)符號(hào)運(yùn)算3Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹符號(hào)運(yùn)算介紹q Matlab 符號(hào)運(yùn)算是通過(guò)符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱（Symbolic Math Toolbox）來(lái)實(shí)現(xiàn)的。Matlab 符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱是建立在功能強(qiáng)大的 Maple 軟件的基礎(chǔ)上的，當(dāng) Matlab 進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，它就請(qǐng)求 Maple 軟件去計(jì)算并將結(jié)果返回給 Matlab。 q Matlab 的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)算功能。主要包括：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)表達(dá)式的復(fù)合、化簡(jiǎn)，符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)微積分、符號(hào)作圖，符號(hào)

2、代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求解等。此外，該工具箱還支持可變精度運(yùn)算，即支持以指定的精度返回結(jié)果。 4Matlab 符號(hào)運(yùn)算特點(diǎn)符號(hào)運(yùn)算特點(diǎn)u 計(jì)算以推理方式進(jìn)行，因此不受計(jì)算誤差累積所帶來(lái)的困擾。 u 符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)單，與數(shù)學(xué)教科書上的公式相近。u 符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時(shí)）。 u 符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)。u符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)獨(dú)立變量賦值，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式表達(dá)。5Matlab 符號(hào)運(yùn)算舉例符號(hào)運(yùn)算舉例u 求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 solve(a*x2+b*x+c)u 求f (x) = (cos

3、x)2 的一次導(dǎo)數(shù) x=sym(x); diff(cos(x)2)u 計(jì)算 f (x) = x2 在區(qū)間 a, b 上的定積分 syms a b x; int(x2,a,b)6u sym 函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：q 符號(hào)對(duì)象的建立：sym 和 syms符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的建立的建立例： a=sym(a) x = sym(A)參數(shù) A 可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn) 是符號(hào)變量b 是符號(hào)常量 b=sym(1/3)c 是符號(hào)矩陣 c=sym(1 ab; c d)7q 符號(hào)對(duì)象的建立：sym 和 syms符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的建立的建立u syms 命令用來(lái)建立多個(gè)符號(hào)變量，一

4、般調(diào)用格式為：syms 符號(hào)變量符號(hào)變量1 符號(hào)變量符號(hào)變量2 . 符號(hào)變量符號(hào)變量n 例： syms a b c a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c);8q 符號(hào)表達(dá)式的建立：例：建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下2種方法：(1) 用 sym 函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。(2) 使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。 y=sym(sin(x)+cos(x) x=sym(x); y=sin(x)+cos(x)符號(hào)符號(hào)表達(dá)式表達(dá)式的建立的建立9Matlab 符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱和使用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的的基本基本運(yùn)算運(yùn)算q

5、基本運(yùn)算符u 普通運(yùn)算：+ 、- 、* 、 、/ 、u 數(shù)組運(yùn)算：.* 、. 、./ 、.u 矩陣轉(zhuǎn)置： 、.例： X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Z1=X*Y; Z2=X.*Y;10符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的的基本基本運(yùn)算運(yùn)算sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、log2、log10、sqrtabs、conj、real、imagrank、det、inv、eig、lu、qr、svddiag、triu、tril、expm三角

6、函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等q 基本函數(shù)11q 查找符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量若表達(dá)式中有兩個(gè)符號(hào)變量與 x 的距離相等，則ASCII 碼大者優(yōu)先。查找符號(hào)變量查找符號(hào)變量findsym(expr)按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式 expr 中的所有符號(hào)變量findsym(expr, N)按順序列出 expr 中離 x 最近的 N 個(gè)符號(hào)變量常量 pi, i, j 不作為符號(hào)變量12例： f=sym(2*w-3*y+z2+5*a) findsym(f) findsym(f,3) findsym(f,1)findsym 舉例舉例13符號(hào)表達(dá)式的替換符號(hào)表達(dá)式的替換subs(f,x,a) 用用 a

7、替換字符函數(shù)替換字符函數(shù) f 中的字符變量中的字符變量 x a 是可以是是可以是 數(shù)數(shù)/數(shù)值變量數(shù)值變量/表達(dá)式表達(dá)式 或或 字符變量字符變量/表達(dá)式表達(dá)式若 x 是一個(gè)由多個(gè)字符變量組成的數(shù)組或矩陣，則 a 應(yīng)該具有與 x 相同的形狀的數(shù)組或矩陣。q 用給定的數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量14subs 舉例舉例 f=sym(2*u); subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y f3=subs(f,u,x+y) subs(f3,x,y,1,2)ans=4f2=2*(u+2)ans=14

8、ans=2*(a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6u 例：指出下面各條語(yǔ)句的輸出結(jié)果f=2*u下面的命令運(yùn)行結(jié)果會(huì)是什么？ subs(f3,x,y,x+y,x+y)15轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換符號(hào)表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換符號(hào)表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號(hào)表達(dá)式。可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號(hào)表達(dá)式。函數(shù)函數(shù)eval可以將符號(hào)表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式?？梢詫⒎?hào)表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。A = sym(5+6*8+4)y = eval(A)例如：例如：16常見(jiàn)符號(hào)運(yùn)算常見(jiàn)符號(hào)運(yùn)算q 因式分解、展開(kāi)、合并、簡(jiǎn)化及通分等q 計(jì)算極限q 計(jì)算導(dǎo)數(shù)q 計(jì)算積分q

9、 無(wú)窮級(jí)數(shù)q 代數(shù)方程和微分方程求解q 極值計(jì)算17因式分解因式分解u 因式分解factor(f) syms x; f=x6+1; factor(f)l factor 也可用于正整數(shù)的分解 s=factor(100) factor(sym(123456789)l 大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量18函數(shù)展開(kāi)函數(shù)展開(kāi)u 函數(shù)展開(kāi)expand(f) syms x; f=(x+1)6; expand(f)l 多項(xiàng)式展開(kāi)l 三角函數(shù)展開(kāi) syms x y; f=sin(x+y); expand(f)19合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)u 合并同類項(xiàng)collect(f,v): 按指定變量按指

10、定變量 v 進(jìn)行進(jìn)行合并合并collect(f): 按按默認(rèn)默認(rèn)變量變量 x 進(jìn)行進(jìn)行合并合并syms x y; f= x2*y + y*x - x2 + 2*x ;collect(f)collect(f,y)20函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化u 函數(shù)簡(jiǎn)化y=simple(f): 對(duì)對(duì) f 嘗試多種不同的算法嘗試多種不同的算法進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)行簡(jiǎn)化，返回其中最簡(jiǎn)短，返回其中最簡(jiǎn)短的形式的形式（調(diào)用多種函數(shù)）調(diào)用多種函數(shù)）How,y=simple(f): y 為為 f 的的最簡(jiǎn)短形式最簡(jiǎn)短形式，How 中記錄的為簡(jiǎn)化過(guò)中記錄的為簡(jiǎn)化過(guò)程中使用的方法。程中使用的方法。fyHOW2*cos(x)2-sin(x)23*c

11、os(x)2-1simplify(x+1)*x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand21函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化u 函數(shù)簡(jiǎn)化y=simplify(f): 對(duì)對(duì) f 進(jìn)行簡(jiǎn)化進(jìn)行簡(jiǎn)化 syms x; f=sin(x)2 + cos(x)2 ; simplify(f) syms c alpha beta; f=exp(c*log(sqrt(alpha+beta); simplify(f)22函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化舉例舉例 syms x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); y1=si

12、mplify(f) g1=simple(f) g2=simple(g1)l 多次使用多次使用 simple 可以達(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)?？梢赃_(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)。32381261)(xxxxf例：簡(jiǎn)化例：簡(jiǎn)化23分式通分分式通分u 函數(shù)簡(jiǎn)化N,D=numden(f): N 為通分后的分子，為通分后的分子，D 為通分后的分母為通分后的分母 syms x y; f=x/y+y/x; N,D=numden(f) n,d=numden(sym(112/1024)24計(jì)算極限計(jì)算極限limit(f,x,a): 計(jì)算計(jì)算limit(f,a): 當(dāng)默認(rèn)變量趨向于當(dāng)默認(rèn)變量趨向于 a 時(shí)的極限時(shí)的極限limit(f): 計(jì)算計(jì)

13、算 a=0 時(shí)的極限時(shí)的極限limit(f,x,a,right): 計(jì)算右極限計(jì)算右極限limit(f,x,a,left): 計(jì)算左極限計(jì)算左極限lim( )xaf x例：計(jì)算例：計(jì)算 ，hxhxLh)ln()ln(lim0nnnxM1lim syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf)25計(jì)算計(jì)算導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v)：求符號(hào)表達(dá)式求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于關(guān)于 v 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f)：求符號(hào)表達(dá)式求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于關(guān)于默認(rèn)變量默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v,n)：求求 f 關(guān)

14、于關(guān)于 v 的的 n 階階(偏偏)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)q diffsyms x y; f=sin(x)*exp(x2+y)+3*x2; g=diff(f,x),h=diff(f,x,3);j=diff(diff(f,x),y);例例:思考：參數(shù)函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)如何實(shí)現(xiàn)？思考：參數(shù)函數(shù)及隱函數(shù)的求導(dǎo)如何實(shí)現(xiàn)？syms x y; f=sin(y)+exp(x)-x*y2; dx=diff(f,x);dy=diff(f,y);pretty(dy/dx);% d=dy/dx26計(jì)算計(jì)算極值極值x=fminbnd(f,x1,x2)：求函數(shù)求函數(shù) f 在在x1,x2上的極小值，上的極小值，f可以是函數(shù)名，可以是函數(shù)

15、名，也可以是函數(shù)表達(dá)式。也可以是函數(shù)表達(dá)式。q 函數(shù)極值函數(shù)極值 fminbnd求下列函數(shù)的極值：求下列函數(shù)的極值：例：例：223( )(8)f xxx32( )55g xxxxx=-5:0.1:5;y=x.3+x.2-5*x-5;plot(x,y)xmin=fminbnd(x.3+x.2-5*x-5,-5,5)ymin=eval(xmin3+xmin2-5*xmin-5)xmax=fminbnd(-x.3-x.2+5*x+5,-5,5)ymax=eval(xmax3+xmax2-5*xmax-5)27計(jì)算計(jì)算積分積分int(f,v,a,b): 計(jì)算定積分計(jì)算定積分int(f,a,b): 計(jì)算

16、關(guān)于默認(rèn)變量的定積分計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的定積分int(f,v): 計(jì)算不定積分計(jì)算不定積分int(f): 計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量的不定積分 syms x; f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2; I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf)( )baf v dv ( )f v dv 例：計(jì)算例：計(jì)算 和和2221(22)xIdxxx 20 xKedx 28無(wú)窮級(jí)數(shù)之符號(hào)求和無(wú)窮級(jí)數(shù)之符號(hào)求和 syms n; f=1/n2; S=symsum(f,n,1,inf) S100=symsum(f,n,1,100)symsum(f,v,a,b): 求和求和

17、symsum(f,a,b): 關(guān)于默認(rèn)變量求和關(guān)于默認(rèn)變量求和( )bv af v 例：計(jì)算級(jí)數(shù)例：計(jì)算級(jí)數(shù) 及其前及其前100項(xiàng)的部分和項(xiàng)的部分和211nSn 例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù)例：計(jì)算函數(shù)級(jí)數(shù)21nxSn syms n x; f=x/n2; S=symsum(f,n,1,inf)29無(wú)窮級(jí)數(shù)之泰勒展開(kāi)無(wú)窮級(jí)數(shù)之泰勒展開(kāi)syms x;f=sin(x);y=taylor(f,x,10)taylor(f,v,n,a): 將將f按變量按變量v在在v=a處處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù),展開(kāi)到第展開(kāi)到第n項(xiàng)項(xiàng) . 省略省略a時(shí)默認(rèn)為時(shí)默認(rèn)為0例：求函數(shù)例：求函數(shù) 在在x=0處前處前10項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式。項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式。sin( )yx 例：求函數(shù)例：求函數(shù) 在在x=2處處7 階的泰勒展開(kāi)式。階的泰勒展開(kāi)式。ln( )yx syms x;f=log(x);y=taylor(f,x,7,2)30 a1=1e10; b1=1e-10; c1=(a1+b1-a1)/b1; a2=sym(a1); b2=sym(b1); c2=(a2+b2-a2)/b2; u