2012年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編 專題10 代數(shù)綜合問題[1]

1、2012年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題分類解析匯編專題10：代數(shù)綜合問題錦元數(shù)學(xué)工作室 編輯1. （2012廣東佛山10分）規(guī)律是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容之一初中數(shù)學(xué)中研究的規(guī)律主要有一些特定的規(guī)則、符號(數(shù))及其運算規(guī)律、圖形的數(shù)值特征和位置關(guān)系特征等方面請你解決以下與數(shù)的表示和運算相關(guān)的問題：(1)寫出奇數(shù)a用整數(shù)n表示的式子；(2)寫出有理數(shù)b用整數(shù)m和整數(shù)n表示的式子；(3)函數(shù)的研究中，應(yīng)關(guān)注y隨x變化而變化的數(shù)值規(guī)律(課本里研究函數(shù)圖象的特征實際上也是為了說明函數(shù)的數(shù)值規(guī)律)下面對函數(shù)y=x2的某種數(shù)值變化規(guī)律進行初步研究：xi012345.yi01491625.yi+1yi1357911.由表看

2、出，當(dāng)x的取值從0開始每增加1個單位時，y的值依次增加1，3，5.請回答：當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值變化規(guī)律是什么？當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值變化規(guī)律是什么？【答案】解：（1）n是任意整數(shù)，則表示任意一個奇數(shù)的式子是：2n+1。（2）有理數(shù)b=（n0）。（3）當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，列表如下：xi012.yi014.yi+1yi.故當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值依次增加、 、 。當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，列表如下：xi0.yi0.yi+1yi.故當(dāng)x的取值從0開始每增加個單位時，y的值依次增加、 、 ?！究键c】分類歸納（數(shù)字的變化類），二

3、次函數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)?！痉治觥浚?）n是任意整數(shù)，偶數(shù)是能被2整除的數(shù)，則偶數(shù)可以表示為2n，因為偶數(shù)與奇數(shù)相差1，所以奇數(shù)可以表示為2n+1。（2）根據(jù)有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱，而所有的整數(shù)都可以寫成整數(shù)的形式，據(jù)此可以得到答案。（3）根據(jù)圖表計算出相應(yīng)的數(shù)值后即可看出y隨著x的變化而變化的規(guī)律。2. （2012廣東梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p24q0）的兩根為x1、x2；求證：x1+x2=p，x1x2=q（2）已知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點，且過點（1，1），設(shè)線段AB的長為d，當(dāng)p為何值時，d2取得最小值，并求出最小值【答案】（1）證明：a=1

4、，b=p，c=q，p24q0，。（2）解：把（1，1）代入y=x2+px+q得pq=2，即q=p2。 設(shè)拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B的坐標(biāo)分別為（x1，0）、（x2，0）。d=|x1x2|，d2=（x1x2）2=（x1+x2）24 x1x2=p24q=p24p+8=（p2）2+4。當(dāng)p=2時，d 2的最小值是4。【考點】一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接證得。 【教材中沒有元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可先根據(jù)求根公式得出x1、x2的值，再求出兩根的和與積即可】（2）把

5、點（1，1）代入拋物線的解析式，再由d=|x1x2|可得d2關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)的最值原理即可得出結(jié)論。3. （2012廣東湛江12分）先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式x240解：x24=（x+2）（x2）x240可化為 （x+2）（x2）0由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，得解不等式組，得x2，解不等式組，得x2，（x+2）（x2）0的解集為x2或x2，即一元二次不等式x240的解集為x2或x2（1）一元二次不等式x2160的解集為 ；（2）分式不等式的解集為 ；（3）解一元二次不等式2x23x0【答案】解：（1）x4或x4。 （2）x3

6、或x1。 （3）2x23x=x（2x3）2x23x0可化為 x（2x3）0由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負”，得或。解不等式組，得0x，解不等式組，無解。不等式2x23x0的解集為0x。【考點】有理數(shù)的乘法法則，一元一次不等式組的應(yīng)用?！痉治觥浚?）將一元二次不等式的左邊因式分解后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”化為兩個一元一次不等式組求解即可。（2）根據(jù)有理數(shù)的除法法則“兩數(shù)相除，同號得正”，可以得到其分子、分母同號，從而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次不等式組求解即可。 （3）將一元二次不等式的左邊因式分解后，有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負”，化為兩個一元一次不等式組求解即可。4.

7、 （2012貴州黔西南14分）問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍。解：設(shè)所求方程的根為y，則y=2x，所以把代入已知方程，得化簡，得：故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”。請閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為： ；（2）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二方程，使它的根分別是已知方程的倒數(shù)?！敬鸢浮拷猓海?）y2y2=0。 （2）設(shè)所求方程的根為y，則（x0），于是（y0）。把代入方程，得，去分母，

8、得a+by+cy2=0。若c=0，有，可得有一個解為x=0，與已知不符，不符合題意。c0。所求方程為cy2+by+a=0（c0）?！究键c】一元二次方程的應(yīng)用?！痉治觥浚?）設(shè)所求方程的根為y，則y=x所以x=y。把x=y代入已知方程，得y2y2=0。（2）根據(jù)所給的材料，設(shè)所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。5. （2012江蘇南京9分）“？”的思考下框中是小明對一道題目的解答以及老師的批閱。題目：某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1，在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長與寬各為多少時，矩形蔬菜種植區(qū)域的

9、面積是288m2？解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm，根據(jù)題意，得x2x=288解這個方程，得x1=-12（不合題意，舍去），x2=12所以溫室的長為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）答：當(dāng)溫室的長為28m，寬為14m時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？我的結(jié)果也正確小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中劃了一條橫線，并打開了一個“？”結(jié)果為何正確呢？（1）請指出小明解答中存在的問題，并補充缺少的過程：變化一下會怎樣 （2）如圖，矩形ABCD在矩形ABCD的內(nèi)部，ABAB，ADAD，且AD：AB=2：1，設(shè)AB與AB、BC與BC、

10、CD與CD、DA與DA之間的距離分別為a、b、c、d，要使矩形ABCD矩形ABCD，a、b、c、d應(yīng)滿足什么條件？請說明理由【答案】解：（1）小明沒有說明矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2：1的理由。在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm”前補充以下過程：設(shè)溫室的寬為ym，則長為2ym。則矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為（y11）m，長為（2y31）m。，矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2：1。（2）a+c b+d =2。理由如下：要使矩形ABCD矩形ABCD，就要，即，即 ，即a+c b+d =2。【考點】一元二次方程的應(yīng)用（幾何問題），相似多邊形的性質(zhì)，比例的性質(zhì)?！痉治觥浚?）根據(jù)題意可得小明

11、沒有說明矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2：1的理由，所以由已知條件求出矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬的關(guān)系即可。（2）由使矩形ABCD矩形ABCD，利用相似多邊形的性質(zhì)，可得 ，然后利用比例的性質(zhì)。6. （2012江蘇鹽城12分） 知識遷移： 當(dāng)且時，因為,所以,從而(當(dāng)時取等號).記函數(shù),由上述結(jié)論可知：當(dāng)時,該函數(shù)有最小值為. 直接應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù), 則當(dāng)_時,取得最小值為_. 變形應(yīng)用：已知函數(shù)與函數(shù),求的最小值,并指出取得該最小值時相應(yīng)的的值. 實際應(yīng)用：已知某汽車的一次運輸成本包含以下三個部分：一是固定費用,共元；二是燃油費,每千米為元；三是折舊費,它與路程的平方成正比,比例系數(shù)為.設(shè)

12、該汽車一次運輸?shù)穆烦虨榍?求當(dāng)為多少時,該汽車平均每千米的運輸成本最低？最低是多少元？【答案】解：直接應(yīng)用：1；2 。變形應(yīng)用： ，有最小值為。當(dāng)，即時取得該最小值。實際應(yīng)用：設(shè)該汽車平均每千米的運輸成本為元，則， 當(dāng)(千米)時, 該汽車平均每千米的運輸成本最低，最低成本為元。【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，幾何不等式?！痉治觥恐苯舆\用：可以直接套用題意所給的結(jié)論，即可得出結(jié)果：函數(shù),由上述結(jié)論可知：當(dāng)時,該函數(shù)有最小值為，函數(shù)與函數(shù)，則當(dāng)時，取得最小值為。變形運用：先得出的表達式，然后將看做一個整體，再運用所給結(jié)論即可。實際運用：設(shè)該汽車平均每千米的運輸成本為元，則可表示出平均每千米的運輸成本，利

13、用所給的結(jié)論即可得出答案。7. （2012四川內(nèi)江12分）如果方程的兩個根是，那么請根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1） 已知關(guān)于的方程求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2） 已知滿足,求；（3） 已知滿足求正數(shù)的最小值。【答案】解：（1）設(shè)關(guān)于的方程的兩根為，則有：，且由已知所求方程的兩根為，。所求方程為，即。（2）滿足，是方程的兩根。 。（3）且 。是一元二次方程的兩個根，代簡，得 。又此方程必有實數(shù)根，此方程的，即，。又 。 。正數(shù)的最小值為4?！究键c】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，代數(shù)式化簡?！痉治觥浚?）設(shè)方程的兩根為，得出，再根據(jù)這個一元二次方程

14、的兩個根分別是已知方程兩根的倒數(shù)，即可求出答案。（2）根據(jù)滿足，得出是一元二次方程的兩個根，由，即可求出的值。（3）根據(jù)，得出，是一元二次方程的兩個根，再根據(jù)，即可求出c的最小值。8. （2012山東濟寧8分）有四張形狀、大小和質(zhì)地相同的卡片A、B、C、D，正面分別寫有一個正多邊形（所有正多邊形的邊長相等），把四張卡片洗勻后正面朝下放在桌面上，從中隨機抽取一張（不放回），接著再隨機抽取一張（1）請你用畫樹形圖或列表的方法列舉出可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；（2）如果在（1）中各種結(jié)果被選中的可能性相同，求兩次抽取的正多邊形能構(gòu)成平面鑲嵌的概率；（3）若兩種正多邊形構(gòu)成平面鑲嵌，p、q表示這兩種正多邊形的

15、個數(shù)，x、y表示對應(yīng)正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)，則有方程px+qy=360，求每種平面鑲嵌中p、q的值【答案】解：（1）畫樹形圖如下：所有出現(xiàn)的結(jié)果共有12種。（2）兩次抽取的正多邊形能構(gòu)成平面鑲嵌的情況有4種：AB，AD，BA，DA，P（兩次抽取的正多邊形能構(gòu)成平面鑲嵌）=。（3）當(dāng)正三角形和正方形構(gòu)成平面鑲嵌時，則有60p+90q=360，即2p+3q=12。p、q是正整數(shù)，p=3，q=2。當(dāng)正三角形和六邊形構(gòu)成平面鑲嵌時，則有60p+120q=360，即p+2q=6。p、q是正整數(shù)，p=4，q=1或p=2，q=2?！究键c】列表法和樹狀圖法，概率，多邊形內(nèi)角和定理，平面鑲嵌（密鋪）?！痉治觥?/p>

16、（1）列表或畫樹狀圖即可得到所有的可能情況。 （2）根據(jù)平面鑲嵌的定義，能構(gòu)成平面鑲嵌的多邊形有正三角形與正方形，正三角形與正六邊形，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解。（3）對兩種平面鑲嵌的情況，根據(jù)方程代入數(shù)據(jù)整理，再根據(jù)p、q都是整數(shù)解答。9. （2012浙江湖州10分）為進一步建設(shè)秀美、宜居的生態(tài)環(huán)境，某村欲購買甲、乙、丙三種樹美化村莊，已知甲、乙丙三種樹的價格之比為2：2：3，甲種樹每棵200元，現(xiàn)計劃用210000元資金，購買這三種樹共1000棵（1）求乙、丙兩種樹每棵各多少元？（2）若購買甲種樹的棵樹是乙種樹的2倍，恰好用完計劃資金，求這三種樹各能購買多少棵？（3）若又增加了101

17、20元的購樹款，在購買總棵樹不變的前提下，求丙種樹最多可以購買多少棵？ 【答案】解：（1）已知甲、乙丙三種樹的價格之比為2：2：3，甲種樹每棵200元， 乙種樹每棵200元，丙種樹每棵×200=300（元）。 （2）設(shè)購買乙種樹x棵，則購買甲種樹2x棵，丙種樹（10003x）棵根據(jù)題意：200·2x200x300（10003x）=210000，解得x=30。2x=600，10003x=100，答：能購買甲種樹600棵，乙種樹300棵，丙種樹100棵。（3）設(shè)購買丙種樹y棵，則甲、乙兩種樹共（1000y）棵，根據(jù)題意得：200（1000y）300y21000010120，解得

18、：y201.2。y為正整數(shù)，y最大為201。答：丙種樹最多可以購買201棵?！究键c】一元一次方程和一元一次不等式的應(yīng)用?！痉治觥浚?）利用已知甲、乙丙三種樹的價格之比為2：2：3，甲種樹每棵200元，即可求出乙、丙兩種樹每棵錢數(shù)。（2）設(shè)購買乙種樹x棵，則購買甲種樹2x棵，丙種樹（1000-3x）棵，利用（1）中所求樹木價格以及現(xiàn)計劃用210000元資金購買這三種樹共1000棵，得出等式方程，求出即可。（3）設(shè)購買丙種樹y棵，則甲、乙兩種樹共（1000y）棵，根據(jù)題意列不等式，求出即可。10. （2012內(nèi)蒙古赤峰14分）閱讀材料：（1）對于任意兩個數(shù)的大小比較，有下面的方法：當(dāng)時，一定有；當(dāng)時，一定有；當(dāng)時，一定有反過來也成立因此，我們把這種比較兩個數(shù)大小的方法叫做“求差法”（2）對于比較兩個正數(shù)的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：，（）與（）的符號相同當(dāng)0時，0，得當(dāng)=0時，=0，得當(dāng)0時，0，得解決下列實際問題：（1）課堂上，老師讓同學(xué)們制作幾種幾何體，張麗同學(xué)用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學(xué)用了2張A4紙，8張B5紙設(shè)每張A4紙的面積為x，每張B5紙的面積為y，且xy，張麗同學(xué)的用紙總面積為W1，李明同學(xué)的用紙總面積為W2回答下列問題：W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）請你分析誰用的紙面積最大（2）如圖1所示，要在燃氣管道l上修