2014年高考數(shù)學(xué)理科概率

1、 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) K K 單元單元 概率概率 K1K1 隨隨機(jī)機(jī)事件的概率事件的概率 20 、 、 、 、2014 湖北卷 計劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去 50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超過 120 的年份有 35年，超過 120 的年份有 5 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立 (1)求未來 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率 (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電

2、機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量 X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量 X 40X120 發(fā)電機(jī)最多 可運(yùn)行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？ 20解：(1)依題意，p1P(40X120)5500.1. 由二項(xiàng)分布得，在未來 4 年中至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率為 pC04(1p3)4C14(1p3)3p30.9440.930.10.947 7. (2)記水電站年總利潤為 Y(單位：萬元) 安裝 1 臺發(fā)電機(jī)的情形 由于水庫年入流量總大于 40，故一臺發(fā)電

3、機(jī)運(yùn)行的概率為 1，對應(yīng)的年利潤 Y5000，E(Y)500015000. 安裝 2 臺發(fā)電機(jī)的情形 依題意， 當(dāng) 40X80 時， 一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y50008004200， 因此 P(Y4200)P(40X80)p10.2；當(dāng) X80 時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下： Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)42000.210 0000.88840. 安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的情形 依題意， 當(dāng) 40X80 時， 一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y500016003400，

4、因此 P(Y3400)P(40X120 時， 三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y5000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得 Y 的分布列如下： Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī) 2 臺 17 ， ， ，2014 四川卷 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得 10 分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20 分， 出現(xiàn)三次音樂獲得 10

5、0 分， 沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200 分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立 (1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為 X，求 X 的分布列 (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因 17解：(1)X 可能的取值為 10，20，100，200. 根據(jù)題意，有 P(X10) P(X20)C23122112138， P(X100)C33123112018， P(X200)C03120112318. 所以

6、X 的分布列為： X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)設(shè)“第 i 盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件 Ai(i1，2，3)，則 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為 1P(A1A2A3)118311512511512. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512. (3)由(1)知，X 的數(shù)學(xué)期望為 EX10382038100182001854. 這表明，獲得分?jǐn)?shù) X 的均值為負(fù) 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大 K2K2 古典概型古典概型 11 、2014 廣東卷 從 0，1，2，3，4，5，

7、6，7，8，9 中任取七個不同的數(shù)，則這七個數(shù)的中位數(shù)是 6 的概率為_ 11.16 解析 本題主要考查古典概型概率的計算，注意中位數(shù)的求法從 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七個不同的數(shù)，有 C710種方法，若七個數(shù)的中位數(shù)是 6，則只需從0，1，2，3，4，5 中選三個，從 7，8，9 中選三個不同的數(shù)即可，有 C36C33種方法故這七個數(shù)的中位數(shù)是 6 的概率 PC36C33C71016. 18 、 、 2014 福建卷 為回饋顧客， 某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1000 位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有 4 個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出 2 個球，球上所標(biāo)

8、的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 (1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標(biāo)的面值為 50 元，其余 3 個均為 10 元，求： (i)顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率； (ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望 (2)商場對獎勵總額的預(yù)算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個球只能由標(biāo)有面值 10 元和50 元的兩種球組成，或標(biāo)有面值 20 元和 40 元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡， 請對袋中的 4 個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由 18解：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X. (i)依題意，得 P(X60)C11C13

9、C2412. 即顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率為12， (ii)依題意，得 X 的所有可能取值為 20，60. P(X60)12， P(X20)C23C2412， 即 X 的分布列為 X 20 60 P 0.5 0.5 所以顧客所獲的獎勵額的期望為 E(X)200.5600.540(元) (2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為 60 元所以，先尋找期望為 60 元的可能方案對于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?60 元是面值之和的

10、最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1. 對于面值由 20 元和 40 元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2. 以下是對兩個方案的分析： 對于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X1，則 X1的分布列為 X1 20 60 100 P 16 23 16 X1的期望為 E(X1)201660231001660， X1的方差為 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)21616003. 對于

11、方案 2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X2，則 X2的分布列為 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望為 E(X2)40166023801660， X2的方差為 D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003. 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求， 但方案 2 獎勵額的方差比方案 1 的小， 所以應(yīng)該選擇方案 2. 52014 新課標(biāo)全國卷 4 位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為( ) A.18 B.38 C.58 D.78 5D 解析 每位同學(xué)有 2 種選法，基本

12、事件的總數(shù)為 2416，其中周六、周日中有一天無人參加的基本事件有 2 個，故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為 121678. 62014 陜西卷 從正方形四個頂點(diǎn)及其中心這 5 個點(diǎn)中，任取 2 個點(diǎn)，則這 2 個點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 6C 解析 利用古典概型的特點(diǎn)可知從 5 個點(diǎn)中選取 2 個點(diǎn)的全部情況有 C2510(種)，選取的 2 個點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的情況有：選取的 2 個點(diǎn)的連線為正方形的 4 條邊長和 2 條對角線長，共有 6 種故所求概率 P61035. 16 、 、 2014 天津卷 某大學(xué)志愿者協(xié)

13、會有 6 名男同學(xué)， 4 名女同學(xué) 在這 10 名同學(xué)中，3 名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這10 名同學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同) (1)求選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率； (2)設(shè) X 為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 16解：(1)設(shè)“選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件 A，則 P(A)C13C27C03C37C3104960， 所以選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為4960. (2)隨機(jī)變量 X 的所有可能值為 0，1

14、，2，3. P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3)， 所以隨機(jī)變量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)0161122310313065. 9 、2014 浙江卷 已知甲盒中僅有 1 個球且為紅球，乙盒中有 m 個紅球和 n 個藍(lán)球(m3，n3)，從乙盒中隨機(jī)抽取 i(i1，2)個球放入甲盒中 (a)放入 i 個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為i(i1，2)； (b)放入 i 個球后，從甲盒中取 1 個球是紅球的概率記為 pi(i1，2) 則( ) Ap1p2，E(1)E(2) Bp1E(2) Cp1p2，E(1)E

15、(2) Dp1p2，E(1)p2；E(1)13623632，E(2)1C23C262C13C13C263C23C262，則E(1)0； E(1)1nmn2mmn2mnmn， E(2)1C2nC2mn2C1mC1nC2mn3C2mC2mn 3m23m4mnn2n（mn）（mn1）， E(1)E(2)m2mmn（mn）（mn1）0，故選 A. 18 ， 2014 重慶卷 一盒中裝有 9 張各寫有一個數(shù)字的卡片， 其中 4 張卡片上的數(shù)字是1，3 張卡片上的數(shù)字是 2，2 張卡片上的數(shù)字是 3.從盒中任取 3 張卡片 (1)求所取 3 張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)X 表示所取 3 張卡片上

16、的數(shù)字的中位數(shù)，求 X 的分布列與數(shù)學(xué)期望 (注：若三個數(shù) a，b，c 滿足 abc，則稱 b 為這三個數(shù)的中位數(shù)) 18解：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為 PC34C33C39584. (2)X 的所有可能值為 1，2，3，且 P(X1)C24C15C34C391742， P(X2)C13C14C12C23C16C33C394384， P(X3)C22C17C39112， 故 X 的分布列為 X 1 2 3 P 1742 4384 112 從而 E(X)117422438431124728. K3K3 幾何概型幾何概型 14 、2014 福建卷 如圖 1- 4，在邊長為 e(e

17、 為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_ 圖 1- 4 14.2e2 解析 因?yàn)楹瘮?shù) yln x 的圖像與函數(shù) yex的圖像關(guān)于正方形的對角線所在直線 yx 對稱，則圖中的兩塊陰影部分的面積為 S21eln xdx2(xln xx)|e12(eln ee)(ln 11)2， 故根據(jù)幾何概型的概率公式得，該粒黃豆落到陰影部分的概率 P2e2. 7 2014 湖北卷 由不等式組x0，y0，yx20確定的平面區(qū)域記為 1， 不等式組xy1，xy2確定的平面區(qū)域記為 2，在 1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在 2內(nèi)的概率為( ) A.18 B.14 C.34 D.78 7D

18、解析 作出 1，2表示的平面區(qū)域如圖所示， S1SAOB12222，SBCE1211214，則 S四邊形AOECS1SBCE21474.故由幾何概型得，所求的概率 PS四邊形AOECS174278.故選 D. 142014 遼寧卷 正方形的四個頂點(diǎn) A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分別在拋物線 yx2和 yx2上，如圖 1- 3 所示若將個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形 ABCD 中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是_ 圖 1- 3 14.23 解析 正方形 ABCD 的面積 S224，陰影部分的面積 S1211(1x2)dx2x13x3 1183，故質(zhì)點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率 P8342

19、3. K4K4 互斥事件有一個發(fā)生的概率互斥事件有一個發(fā)生的概率 17 、2014 湖南卷 某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立 (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率 (2)若新產(chǎn)品 A 研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤 120 萬元；若新產(chǎn)品 B 研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤 100 萬元求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望 17解：記 E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功，由題設(shè)知 P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25， 且事件 E 與 F，E 與 F，E 與 F，E

20、與 F 都相互獨(dú)立 (1)記 H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功， 則 HE F， 于是 P(H)P(E)P(F)1325215， 故所求的概率為 P(H)1P(H)12151315. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為 X(萬元)， 則 X 的可能取值為 0， 100， 120， 220.因?yàn)?P(X0)P(E F)1325215，P(X100)P(E F)133515， P(X120)P(E F)2325415， P(X220)P(EF)233525， 故所求的分布列為 X 0 100 120 220 P 215 15 415 25 數(shù)學(xué)期望為 E(X)0215100151204152202530048013

21、2015210015140. 16 、 、 2014 天津卷 某大學(xué)志愿者協(xié)會有 6 名男同學(xué)， 4 名女同學(xué) 在這 10 名同學(xué)中，3 名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余 7 名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這10 名同學(xué)中隨機(jī)選取 3 名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同) (1)求選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率； (2)設(shè) X 為選出的 3 名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 16解：(1)設(shè)“選出的 3 名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事件 A，則 P(A)C13C27C03C37C3104960， 所以選出的 3 名同學(xué)是來

22、自互不相同學(xué)院的概率為4960. (2)隨機(jī)變量 X 的所有可能值為 0，1，2，3. P(Xk)Ck4C3k6C310(k0，1，2，3)， 所以隨機(jī)變量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 P 16 12 310 130 隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X)0161122310313065. K5K5 相互對立事件同時發(fā)生的概率相互對立事件同時發(fā)生的概率 17 、2014 安徽卷 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立 (1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏

23、得比賽的概率； (2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求 X 的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望) 17解： 用 A 表示“甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽”，Ak表示“第 k 局甲獲勝”，Bk表示“第 k 局乙獲勝”，則 P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5. (1)P(A) P(A1A2) P(B1A2A3) P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)23213232 23132325681. (2)X 的可能取值為 2，3，4，5. P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1

24、)P(B2)59， P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29， P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3) P(B4)1081， P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881. 故 X 的分布列為 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 EX25932941081588122481. 16 、 2014 北京卷 李明在 10 場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立)： 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 場次 投籃次數(shù)

25、命中次數(shù) 主場 1 22 12 客場 1 18 8 主場 2 15 12 客場 2 13 12 主場 3 12 8 客場 3 21 7 主場 4 23 8 客場 4 18 15 主場 5 24 20 客場 5 25 12 (1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過 0.6 的概率； (2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6 的概率； (3)記 x 為表中 10 個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記 X 為李明在這場比賽中的命中次數(shù)，比較 EX 與 x 的大小(只需寫出結(jié)論) 16解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計

26、數(shù)據(jù)，在 10 場比賽中，李明投籃命中率超過 0.6 的有 5 場，分別是主場 2，主場 3，主場 5，客場 2，客場 4. 所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6 的概率是 0.5. (2)設(shè)事件 A 為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6”，事件 B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6”，事件 C 為“在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6” 則 CABAB，A，B 相互獨(dú)立 根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)35，P(B)25. 故 P(C)P(AB)P(AB) 35352525 13

27、25. 所以，在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6 的概率為1325. (3)EX x. 17 、2014 廣東卷 隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠 25 名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)，獲得數(shù)據(jù)如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36. 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布表如下： 分組 頻數(shù) 頻率 25，30 3 0.12 (30，35 5 0.20 (35，40 8 0.32 (40，45 n1 f1 (45，50 n2 f2 (1)

28、確定樣本頻率分布表中 n1，n2，f1和 f2的值； (2)根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖； (3)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間(30，35的概率 20 、 、 、 、2014 湖北卷 計劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去 50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超過 120 的年份有 35年，超過 120 的年份有 5 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流

29、量相互獨(dú)立 (1)求未來 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率 (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量 X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量 X 40X120 發(fā)電機(jī)最多 可運(yùn)行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？ 20解：(1)依題意，p1P(40X120)5500.1. 由二項(xiàng)分布得，在未來 4 年中至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率為 pC04(1p3)4C14(1p3)3p30.9440.930

30、.10.947 7. (2)記水電站年總利潤為 Y(單位：萬元) 安裝 1 臺發(fā)電機(jī)的情形 由于水庫年入流量總大于 40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為 1，對應(yīng)的年利潤 Y5000，E(Y)500015000. 安裝 2 臺發(fā)電機(jī)的情形 依題意， 當(dāng) 40X80 時， 一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y50008004200， 因此 P(Y4200)P(40X80)p10.2；當(dāng) X80 時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下： Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)42000.210 00

31、00.88840. 安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的情形 依題意， 當(dāng) 40X80 時， 一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y500016003400， 因此 P(Y3400)P(40X120 時， 三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y5000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得 Y 的分布列如下： Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī) 2 臺 21 、 、2014 江西卷 隨機(jī)將 1，2，2n(nN*，n2)這 2n 個連續(xù)正整數(shù)分成

32、 A，B兩組，每組 n 個數(shù)A 組最小數(shù)為 a1，最大數(shù)為 a2；B 組最小數(shù)為 b1，最大數(shù)為 b2.記 a2a1，b2b1. (1)當(dāng) n3 時，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)令 C 表示事件“ 與 的取值恰好相等”，求事件 C 發(fā)生的概率 P(C)； (3)對(2)中的事件 C，C表示 C 的對立事件，判斷 P(C)和 P( C)的大小關(guān)系，并說明理由 21解：(1)當(dāng) n3 時， 的所有可能取值為 2，3，4，5. 將 6 個正整數(shù)平均分成 A，B 兩組，不同的分組方法共有 C3620(種)，所以 的分布列為： 2 3 4 5 P 15 310 310 15 E21533104310

33、51572. (2) 和 恰好相等的所有可能取值為 n1，n，n1，2n2. 又 和 恰好相等且等于 n1 時，不同的分組方法有 2 種； 和 恰好相等且等于 n 時，不同的分組方法有 2 種； 和 恰好相等且等于 nk(k1，2，n2)(n3)時，不同的分組方法有 2Ck2k種 所以當(dāng) n2 時，P(C)4623， 當(dāng) n3 時，P(C)22n2k1Ck2kCn2n. (3)由(2)得，當(dāng) n2 時，P(C)13，因此 P(C)P(C)而當(dāng) n3 時，P(C)P(C) 理由如下： P(C)P(C)等價于 4(2n2k1Ck2k)Cn2n， 用數(shù)學(xué)歸納法來證明： (i)當(dāng) n3 時，式左邊4(

34、2C12)4(22)16，式右邊C3620，所以式成立 (ii)假設(shè) nm(m3)時式成立，即 42m2k1Ck2kCm2m成立， 那么，當(dāng) nm1 時， 左邊42m12k1Ck2k42m2k1Ck2k4Cm12（m1）Cm2m4Cm12（m1）（2m）！m！m！4（2m2）?。╩1）?。╩1）！（m1）2（2m）（2m2）?。?m1）（m1）！（m1）！ （m1）2（2m）（2m2）！（4m）（m1）?。╩1）！Cm12（m1） 2（m1）m（2m1）（2m1）Cm12（m1）右邊， 即當(dāng) nm1 時，式也成立 綜合(i)(ii)得，對于 n3 的所有正整數(shù)，都有 P(C)P(C)成立 18

35、 、 、2014 遼寧卷 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖 1- 4 所示 圖 1- 4 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立 (1)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個的概率； (2)用 X 表示在未來 3 天里日銷售量不低于 100 個的天數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列，期望 E(X)及方差 D(X) 18解：(1)設(shè) A1表示事件“日銷售量不低于 100 個”，A2表示事件“日銷售量低于 50個”， B 表示事件“在未來連續(xù) 3 天里有連續(xù) 2 天日銷售量不

36、低于 100 個且另 1 天銷售量低于 50 個”因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108. (2)X 可能取的值為 0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為 P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216. X 的分布列為 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因?yàn)?XB(3，0.6)，所以期望 E(X)30.61.8，方差 D(X)30

37、.6(10.6)0.72. 20 、2014 全國卷 設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立 (1)求同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備的概率； (2)X 表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求 X 的數(shù)學(xué)期望 20解：記 A1表示事件：同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用設(shè)備，i0，1，2. B 表示事件：甲需使用設(shè)備 C 表示事件：丁需使用設(shè)備 D 表示事件：同一工作日至少 3 人需使用設(shè)備 (1)因?yàn)?P(B)0.6，P(C)0.4，P(Ai)Ci20.52，i0，1，2， 所以 P(D)P(A1BCA2BA2B

38、C) P(A1BC)P(A2B)P(A2B C) P(A1)P(B)P(C)P(A2)P(B)P(A2)P(B)P(C) 031. (2)X 的可能取值為 0，1，2，3，4，其分布列為 P(X0)P(B A0C) P(B)P(A0)P(C) (10.6)0.52(10.4) 0.06， P(X1)P(B A0CB A0CB A1C) P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A0)P(C)P(B)P(A1)P(C)0.60.52(10.4)(10.6)0.520.4(10.6)20.52(10.4)0.25， P(X4)P(A2B C)P(A2)P(B)P(C)0.520.60.40.06， P

39、(X3)P(D)P(X4)0.25， P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3)P(X4)10.060.250.250.060.38， 所以 EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)4P(X4)0.2520.3830.2540.062. 17 ， ， ，2014 四川卷 一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得 10 分，出現(xiàn)兩次音樂獲得 20 分， 出現(xiàn)三次音樂獲得 100 分， 沒有出現(xiàn)音樂則扣除 200 分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為12，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立 (1)設(shè)

40、每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為 X，求 X 的分布列 (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反而減少了請運(yùn)用概率統(tǒng)計的相關(guān)知識分析分?jǐn)?shù)減少的原因 17解：(1)X 可能的取值為 10，20，100，200. 根據(jù)題意，有 P(X10) P(X20)C23122112138， P(X100)C33123112018， P(X200)C03120112318. 所以 X 的分布列為： X 10 20 100 200 P 38 38 18 18 (2)設(shè)“第 i 盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件 A

41、i(i1，2，3)，則 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200)18. 所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為 1P(A1A2A3)118311512511512. 因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512. (3)由(1)知，X 的數(shù)學(xué)期望為 EX10382038100182001854. 這表明，獲得分?jǐn)?shù) X 的均值為負(fù) 因此，多次游戲之后分?jǐn)?shù)減少的可能性更大 K6K6 離散型隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量及其分布列其分布列 17 、2014 安徽卷 甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概

42、率為23，乙獲勝的概率為13，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立 (1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率； (2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求 X 的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望) 17解： 用 A 表示“甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽”，Ak表示“第 k 局甲獲勝”，Bk表示“第 k 局乙獲勝”，則 P(Ak)23，P(Bk)13，k1，2，3，4，5. (1)P(A) P(A1A2) P(B1A2A3) P(A1B2A3A4) P(A1)P(A2) P(B1)P(A2)P(A3) P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)23213232 23132325681. (2)X 的可能

43、取值為 2，3，4，5. P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59， P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3) P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29， P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3) P(B4)1081， P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881. 故 X 的分布列為 X 2 3 4 5 P 59 29 1081 881 EX25932941081588122481. 16 、 2014 北京卷 李明在 10 場籃球比

44、賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨(dú)立)： 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 場次 投籃次數(shù) 命中次數(shù) 主場 1 22 12 客場 1 18 8 主場 2 15 12 客場 2 13 12 主場 3 12 8 客場 3 21 7 主場 4 23 8 客場 4 18 15 主場 5 24 20 客場 5 25 12 (1)從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過 0.6 的概率； (2)從上述比賽中隨機(jī)選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6 的概率； (3)記 x 為表中 10 個命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場，記 X 為李明在

45、這場比賽中的命中次數(shù)，比較 EX 與 x 的大小(只需寫出結(jié)論) 16解：(1)根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在 10 場比賽中，李明投籃命中率超過 0.6 的有 5 場，分別是主場 2，主場 3，主場 5，客場 2，客場 4. 所以在隨機(jī)選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6 的概率是 0.5. (2)設(shè)事件 A 為“在隨機(jī)選擇的一場主場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6”，事件 B為“在隨機(jī)選擇的一場客場比賽中，李明的投籃命中率超過 0.6”，事件 C 為“在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6” 則 CABAB，A，B 相互獨(dú)立 根據(jù)投籃統(tǒng)計

46、數(shù)據(jù)，P(A)35，P(B)25. 故 P(C)P(AB)P(AB) 35352525 1325. 所以，在隨機(jī)選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過 0.6，一場不超過 0.6 的概率為1325. (3)EX x. 18 、 、 2014 福建卷 為回饋顧客， 某商場擬通過摸球兌獎的方式對 1000 位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有 4 個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出 2 個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額 (1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標(biāo)的面值為 50 元，其余 3 個均為 10 元，求： (i)顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率； (ii)

47、顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望 (2)商場對獎勵總額的預(yù)算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個球只能由標(biāo)有面值 10 元和50 元的兩種球組成，或標(biāo)有面值 20 元和 40 元的兩種球組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡， 請對袋中的 4 個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由 18解：(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X. (i)依題意，得 P(X60)C11C13C2412. 即顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率為12， (ii)依題意，得 X 的所有可能取值為 20，60. P(X60)12， P(X20)C23C2412， 即 X 的分布

48、列為 X 20 60 P 0.5 0.5 所以顧客所獲的獎勵額的期望為 E(X)200.5600.540(元) (2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為 60 元所以，先尋找期望為 60 元的可能方案對于面值由 10 元和 50 元組成的情況，如果選擇(10，10，10，50)的方案，因?yàn)?60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為 60 元；如果選擇(50，50，50，10)的方案，因?yàn)?60 元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為 60 元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，記為方案 1. 對于面值由 20 元和 40 元組成的情況，同理可排除(20，20，20，40)和(

49、40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，記為方案 2. 以下是對兩個方案的分析： 對于方案 1，即方案(10，10，50，50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X1，則 X1的分布列為 X1 20 60 100 P 16 23 16 X1的期望為 E(X1)201660231001660， X1的方差為 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)21616003. 對于方案 2，即方案(20，20，40，40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X2，則 X2的分布列為 X2 40 60 80 P 16 23 16 X2的期望為 E(X2)4016602380

50、1660， X2的方差為 D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003. 由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求， 但方案 2 獎勵額的方差比方案 1 的小， 所以應(yīng)該選擇方案 2. 20 、 、 、 、2014 湖北卷 計劃在某水庫建一座至多安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去 50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在 40 以上，其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超過 120 的年份有 35年，超過 120 的年份有 5 年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相

51、互獨(dú)立 (1)求未來 4 年中，至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率 (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量 X限制，并有如下關(guān)系： 年入流量 X 40X120 發(fā)電機(jī)最多 可運(yùn)行臺數(shù) 1 2 3 若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？ 20解：(1)依題意，p1P(40X120)5500.1. 由二項(xiàng)分布得，在未來 4 年中至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率為 pC04(1p3)4C14(1p3)3p30.9440.930.1

52、0.947 7. (2)記水電站年總利潤為 Y(單位：萬元) 安裝 1 臺發(fā)電機(jī)的情形 由于水庫年入流量總大于 40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為 1，對應(yīng)的年利潤 Y5000，E(Y)500015000. 安裝 2 臺發(fā)電機(jī)的情形 依題意， 當(dāng) 40X80 時， 一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y50008004200， 因此 P(Y4200)P(40X80)p10.2；當(dāng) X80 時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時 Y5000210 000，因此P(Y10 000)P(X80) p2p30.8.由此得 Y 的分布列如下： Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)42000.210 0000

53、.88840. 安裝 3 臺發(fā)電機(jī)的情形 依題意， 當(dāng) 40X80 時， 一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y500016003400， 因此 P(Y3400)P(40X120 時， 三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行， 此時 Y5000315 000，因此 P(Y15 000)P(X120)p30.1.由此得 Y 的分布列如下： Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)34000.292000.715 0000.18620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī) 2 臺 17 、2014 湖南卷 某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為23和35.

54、現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品 A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品 B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立 (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率 (2)若新產(chǎn)品 A 研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤 120 萬元；若新產(chǎn)品 B 研發(fā)成功，預(yù)計企業(yè)可獲利潤 100 萬元求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望 17解：記 E甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功，F(xiàn)乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功，由題設(shè)知 P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25， 且事件 E 與 F，E 與 F，E 與 F，E 與 F 都相互獨(dú)立 (1)記 H至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功， 則 HE F， 于是 P(H)P(E)P(F)1325215， 故所求的概率為 P(H)1P(H)12

55、151315. (2)設(shè)企業(yè)可獲利潤為 X(萬元)， 則 X 的可能取值為 0， 100， 120， 220.因?yàn)?P(X0)P(E F)1325215，P(X100)P(E F)133515， P(X120)P(E F)2325415， P(X220)P(EF)233525， 故所求的分布列為 X 0 100 120 220 P 215 15 415 25 數(shù)學(xué)期望為 E(X)02151001512041522025300480132015210015140. 122014 江西卷 10 件產(chǎn)品中有 7 件正品、3 件次品，從中任取 4 件，則恰好取到 1件次品的概率是_ 12.12 解析

56、由超幾何分布的概率公式可得 P(恰好取到一件次品)C13C37C41012. 21 、 、2014 江西卷 隨機(jī)將 1，2，2n(nN*，n2)這 2n 個連續(xù)正整數(shù)分成 A，B兩組，每組 n 個數(shù)A 組最小數(shù)為 a1，最大數(shù)為 a2；B 組最小數(shù)為 b1，最大數(shù)為 b2.記 a2a1，b2b1. (1)當(dāng) n3 時，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)令 C 表示事件“ 與 的取值恰好相等”，求事件 C 發(fā)生的概率 P(C)； (3)對(2)中的事件 C，C表示 C 的對立事件，判斷 P(C)和 P( C)的大小關(guān)系，并說明理由 21解：(1)當(dāng) n3 時， 的所有可能取值為 2，3，4，5.

57、將 6 個正整數(shù)平均分成 A，B 兩組，不同的分組方法共有 C3620(種)，所以 的分布列為： 2 3 4 5 P 15 310 310 15 E2153310431051572. (2) 和 恰好相等的所有可能取值為 n1，n，n1，2n2. 又 和 恰好相等且等于 n1 時，不同的分組方法有 2 種； 和 恰好相等且等于 n 時，不同的分組方法有 2 種； 和 恰好相等且等于 nk(k1，2，n2)(n3)時，不同的分組方法有 2Ck2k種 所以當(dāng) n2 時，P(C)4623， 當(dāng) n3 時，P(C)22n2k1Ck2kCn2n. (3)由(2)得，當(dāng) n2 時，P(C)13，因此 P(

58、C)P(C)而當(dāng) n3 時，P(C)P(C) 理由如下： P(C)P(C)等價于 4(2n2k1Ck2k)Cn2n， 用數(shù)學(xué)歸納法來證明： (i)當(dāng) n3 時，式左邊4(2C12)4(22)16，式右邊C3620，所以式成立 (ii)假設(shè) nm(m3)時式成立，即 42m2k1Ck2kCm2m成立， 那么，當(dāng) nm1 時， 左邊42m12k1Ck2k42m2k1Ck2k4Cm12（m1）Cm2m4Cm12（m1）（2m）！m！m！4（2m2）?。╩1）?。╩1）?。╩1）2（2m）（2m2）?。?m1）（m1）?。╩1）！ （m1）2（2m）（2m2）?。?m）（m1）?。╩1）！Cm12（m

59、1） 2（m1）m（2m1）（2m1）Cm12（m1）右邊， 即當(dāng) nm1 時，式也成立 綜合(i)(ii)得，對于 n3 的所有正整數(shù)，都有 P(C)P(C)成立 18 、 、2014 遼寧卷 一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖 1- 4 所示 圖 1- 4 將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立 (1)求在未來連續(xù) 3 天里，有連續(xù) 2 天的日銷售量都不低于 100 個且另 1 天的日銷售量低于 50 個的概率； (2)用 X 表示在未來 3 天里日銷售量不低于 100 個的天數(shù)，求隨機(jī)變量 X 的分布列，期望 E(X)及方差

60、D(X) 18解：(1)設(shè) A1表示事件“日銷售量不低于 100 個”，A2表示事件“日銷售量低于 50個”， B 表示事件“在未來連續(xù) 3 天里有連續(xù) 2 天日銷售量不低于 100 個且另 1 天銷售量低于 50 個”因此 P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108. (2)X 可能取的值為 0，1，2，3，相應(yīng)的概率分別為 P(X0)C03(10.6)30.064， P(X1)C130.6(10.6)20.288， P(X2)C230.62(10.6)0.432， P(X3)C330.630.216