第2章-隨機過程習題及答案.

1、第二章隨機過程分析1.1學習指導1.1.1 要點隨機過程分析的要點主要包括隨機過程的概念、分布函數、概率密度函數、數字特征、通信系統(tǒng)中常見的幾種重要隨機過程的統(tǒng)計特性。1. 隨機過程的概念隨機過程是一類隨時間作隨機變化的過程， 它不能用確切的時間函數描述。 可從兩種不同角度理解：對應不同隨機試驗結果的時間過程的集合，隨機過程是隨機變量概念的延伸。2. 隨機過程的分布函數和概率密度函數如果(t)是一個隨機過程，則其在時刻t1 取值 (t1)是一個隨機變量。(t1)小于或等于某一數值 x1的概率為 P (t1) x1 ，隨機過程 (t)的一維分布函數為F 1(x1, t1) = P (t1) x1

2、(2-1)如果 F 1( x1, t1)的偏導數存在，則 (t)的一維概率密度函數為F1(x1, t1 )(x1, t1 )(2-2)f1x1對于任意時刻t1 和 t2，把 (t 1) x1 和 (t2) x2 同時成立的概率F2 (x1, x2 ; t1 , t2 ) P(t1) x1, (t2 ) x2(2-3)稱為隨機過程(t)的二維分布函數。如果2 F ( x , x;t, t)f 2( x1, x2; t1, t2 )21212(2-4)x1x2存在，則稱f 2(x1, x2; t1, t2)為隨機過程( t)的二維概率密度函數。對于任意時刻t1， t2， ， tn，把Fn ( x1

3、， x2， ， xn； t1， t2， ，tn ) P (t1 ) x1, (t2 )x2 , , (tn ) xn(2 - 5)稱為隨機過程 (t)的 n 維分布函數。如果n Fn ( x1，x2， ，x n； t1，t2， ，tn )(2-6)f n ( x1， x2， ， xn；t1， t2， ，t n )x1 x2xn存在，則稱 f n(x1, x2, , xn; t1, t2 , , tn)為隨機過程( t)的 n 維概率密度函數。3. 隨機過程的數字特征隨機過程的數字特征主要包括均值、方差、自相關函數、協(xié)方差函數和互相關函數。隨機過程(t)在任意給定時刻t 的取值(t) 是一個隨機

4、變量，其均值為E(t )xf1 ( x,t )dx(2-7)其中， f 1(x, t) 為 (t) 的概率密度函數。隨機過程(t)的均值是時間的確定函數，記作a(t)，它表示隨機過程(t)的 n 個樣本函數曲線的擺動中心。隨機過程(t)的方差的定義如下：D (t )E (t)a(t )2(2-8)隨機過程2( t)的方差的另一個常用的公式為(t)的方差常記作 (t)。隨機過程D t22a t ta2tE t22a t Et2(t)E(t)a2222E(t)a(t )=x f1 (x,t )dx a(t )(2-9)也就是說，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機過程在時刻t，對于均值a(t)

5、的偏離程度。隨機過程(t)的相關函數的定義如下：R(t1,t2 ) E(t1)(t2 )x1x2 f2 ( x1, x2 ;t1 ,t 2 )dx1dx2(2 - 10)式中，(t 1)和 (t2)分別是在 t1 和 t2 時刻觀測得到的隨機變量。R( t1, t 2)是兩個變量t1 和 t2 的確定函數。隨機過程 (t) 的相關函數表示在任意兩個時刻上獲得的隨機變量之間的關聯程度。隨機過程(t)的協(xié)方差函數的定義如下：B(t1 ,t2 ) E (t1 )a(t1)(t2 ) a(t 2 ) x1a(t1) x2a(t2 ) f 2 ( x1 , x2; t1, t2 )dx1dx2(2 -

6、11)式中， a(t1)、 a( t2)分別是在 t1 和 t2 時刻得到的(t) 的均值； f2(x1, x2 ; t1, t2)是 (t)的二維概率密度函數。B(t1, t2) 與 R(t1, t 2)之間有如下關系式：B(t1, t2 )R(t1, t2 )a(t1)a(t2 )(2 - 12)若 a(t1) = a(t2)=0，則 B(t 1, t2) = R(t 1, t2)。隨機過程(t)和 ( t) 的互相關函數的定義如下：R (t1 ,t2 ) E (t1 ) (t2 )(2 - 13)4. 平穩(wěn)過程及其性質平穩(wěn)過程包括嚴平穩(wěn)過程（強平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程）和廣義平穩(wěn)過程。如果

7、隨機過程 (t)的任意有限維分布函數與時間起點無關，也就是說，對于任意的正整數n 和所有實數有，f n( x1 , x2 , x n；t1, t2 , tn )fn (x1, x2 , xn；t1,t2,t n)(2 - 14)則稱該隨機過程是嚴格意義下的平穩(wěn)隨機過程，簡稱嚴平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程的一維分布函數和均值都與時間無關， 二維分布函數和自相關函數都只與時間間隔有關。把對嚴平穩(wěn)隨機過程的要求降低到僅僅均值與時間無關和自相關函數只與時間間隔有關的隨機過程定義為廣義平穩(wěn)隨機過程。嚴平穩(wěn)隨機過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經性(遍歷性 )。因此，在求解各種統(tǒng)

8、計平均時，無需無限多次的樣本， 只要獲得一次考察， 用一次實現的 “時間平均” 值代替平穩(wěn)隨機過程的 “統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算大為簡化。平穩(wěn)過程(t) 的功率譜密度與其自相關函數是一付立葉變換對。據此，可以得到兩條結論：平穩(wěn)過程(t)的功率等于其自相關函數在零點的取值R(0)；各態(tài)歷經過程任一樣本函數的功率譜密度等于平穩(wěn)過程的功率譜密度。5. 高斯過程高斯過程又被稱為正態(tài)隨機過程。如果隨機過程(t)的任意n 維（ n =1, 2, . ）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程，其n 維正態(tài)概率密度函數表示式為f n ( x1 , x2 ,., xn ;t1,t 2 ,.,

9、tn )n /2nnxjaj xk21ak(2 - 15)nexp| B |jk| B |i2 | B | j 1k 1jki 1其中，數學期望ak22= E (tk) ；方差 k = E (tk) - ak ；歸一化協(xié)方差矩陣行列式1b12b1n| B |b211b2n, bjkE(tj ) aj(tk ) akjkbn1bn21如果高斯過程在不同時刻不相關，則它們也是統(tǒng)計獨立的。高斯過程經過線性系統(tǒng)后，其系統(tǒng)輸出也是高斯過程。6. 窄帶隨機過程如果隨機過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc 附近相對窄的頻帶范圍fc 的條件，且fc 遠離零頻率，則稱其為窄帶隨機過程。隨機過程(t) 可以表示為

10、f 內，即滿足f <<(t)a(t)cos ct (t),a(t ) 0(2 - 16)其中， a (t) 為隨機包絡；(t)為隨機相位；c 為中心角頻率。顯然，a (t)和(t) 的變化相對于載波產生的相移 ( ct)的變化要緩慢得多。將窄帶隨機過程表示式展開為(t )c (t )cos( ct)s (t )sin( ct )(2 - 17)其中，c(t) = a (t)cos ( t) ；s(t) = a (t)sin (t) 。 c(t)和 s(t)分別被稱為同相分量和正交分量。窄帶隨機過程(t)的統(tǒng)計特性可以由a(t)和cs(t)的(t)或 ( t)和(t)的統(tǒng)計特性確定。

11、若統(tǒng)計特性已知，則a (t)和(t)或 c(t)和 s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。由于 (t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t ，都有 E(t) = 0 ，所以E c (t)0，E s(t)0(2 - 18)若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)窄帶隨機過程(t)的自相關函數可以表示為R( ) Rc ( )cos( c ) Rcs()sin(c ) Rc ( )cos(c )Rsc ( )sin( c )(2-19)一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的同相分量 c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的c(t

12、)與 s(t)是統(tǒng)計獨立的。a 服從瑞利 (Rayleigh) 分布， 服從均勻分布。7. 高斯白噪聲和帶限白噪聲電子系統(tǒng)中常見的熱噪聲近似為白噪聲，白噪聲的幅值服從高斯分布。因此，在通信系統(tǒng)中，常用高斯白噪聲作為信道中的噪聲模型。白噪聲通過一個有限帶寬的信道或濾波器后，輸出噪聲的帶寬就是有限的， 如果其頻譜在信道或濾波器的通帶內仍具有白色特性，則稱其為帶限白噪聲。白噪聲 n(t)的功率譜密度在所有頻率上均為常數，即n0f( ,)(2 - 20)Pn (f )2或者Pn (f ) n0f(0,)(2 - 21)其中， n0 為正常數。 式 (2 20)是白噪聲 n(t) 的雙邊功率譜密度， 式

13、 (2 21)是其單邊功率譜密度。白噪聲 n(t)的自相關函數為R( )n0( )(2 - 22)2上式表明，白噪聲僅在= 0 時才相關，而在任何兩個不同時刻的隨機變量都是不相關的。如果白噪聲幅值的概率分布服從高斯分布， 則稱之為高斯白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機變量之間，不僅是互不相關的，而且還是統(tǒng)計獨立的。帶限白噪聲一般包括低通白噪聲和帶通白噪聲。 如果白噪聲通過理想低通濾波器或理想低通信道時， 則其輸出的噪聲被稱為低通白噪聲； 如果白噪聲通過理想帶通濾波器或理想帶通信道時，則其輸出的噪聲被稱為帶通白噪聲。1.1.2 難點隨機過程分析的難點主要包括平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)后

14、的分布函數、和數字特征。設平穩(wěn)隨機過程i(t)的均值、自相關函數和功率譜密度分別為ai、 Ri(t)和位沖激響應和傳輸函數分別為h(t)和 H( f)。輸出隨機過程o(t) 的均值為概率密度函數Pi(f)，系統(tǒng)單E o (t ) Eh( )i (t)dh( )Ei (t) d-ai h( )daih( )dai H (0)(2 - 23)-式中， H(0) 是線性系統(tǒng)H(f) 在 f = 0 處的頻率響應。 由此可見， 輸出過程的均值是一個常數。輸出隨機過程(t) 的自相關函數為oRo (t1, t1) E o (t1 ) o (t1)Eh() i (t1)dh( )i (t1)dh()h()

15、Ei (t1) i ( t1)ddh()h()Ri ()ddRo ()(2 - 24)上式表明，隨機過程 o( t)的自相關函數僅是時間間隔 的函數。綜合上面兩點，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。輸出隨機過程(t)的功率譜密度為oPo ( f )Ro ( )e jdh( )h( ) Ri ()d d ej d'h( )ejh( )e jRi ( )e j 'd 'dd=H *( f ) H ( f )2Pi ( f )(2 - 25)Pi ( f ) H ( f )由上是式可見，輸出隨機過程o(t)的功率譜密度等于輸入隨機過程i(t)的功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸

16、函數模值的平方。隨機過程 o(t)可以表示為o (t )h() i (t )dzlim0i (tk )h( k )kkk 0當 i( t)是高斯分布的時， i(t - k)h( k)k 是一個高斯隨機變量，而無限個高斯隨機變量的疊加也是一個高斯分布的。因此，隨機過程o(t) 呈高斯分布。1.2 習題詳解2-1 設隨機過程 X(t) = A cos( t) + B cos(的隨機變量，且E(A) = E(B) = 0, D(A) = D(B) =t), - < t < ， 為常數， A 、B 為互相獨立2 。試判斷X(t) 是否為平穩(wěn)過程。解E X (t )E A cos(t )E

17、B sin(t)0 ，R(t, t)E X (t) X (t ) E A cos( t) E A2 A cos( +E AB cos( 22 cos()B sin(t )cos(t)sin(tt) A cos( t)B sin( tt)E B 2sin(t )sin(t)sin(t )cos(t)sin(t)sin(t)t)因此， X(t)的均值與時間無關，自相關函數只與時間間隔有關，它是平穩(wěn)過程。2-2 離散白噪聲 X(n), n = 0,1,± ±2, ，其中，是X(n)是兩兩不相關的隨機變量，且EX(n) = 0, D X(n) = 2。試求 X(n)的功率譜密度。解

18、 X(n)的自相關函數為2m0R(m)E X ( n) X (nm)0m0X(n)的功率譜密度為S( )R( m)ejm2- , m2-3已知零均值平穩(wěn)隨機過程 X(t), - < t < 的功率譜密度為24S( )41029試求其自相關函數、方差和平均功率。解由于 F12e，因此，自相關函數為221124R() FS()F29213 F 1115 F 11982823 e5 e 31648方差為DX(t) = R(0) E2 X(t) = R(0)=7/24 。平均功率為7R(0)242-4 電路圖如圖題2-4 所示。如果輸入平穩(wěn)過程 X(t), - < t < 的均

19、值 mX 為零，自相關函數為 RX ( )2 e,0,1 。試求輸出過程 Y(t), - < t < 的均值 mY，RC自相關函數 RY()、功率譜密度 SY()。R+X(t)CY(t)-圖 題2-4解由電路分析的知識可得dY(t)1RCY(t )X (t),dtRCdY(t)Y (t )X (t)dt兩邊取付立葉變換，得到jY()Y()X ()此系統(tǒng)的傳輸函數為H ()j此系統(tǒng)的脈沖響應函數為h(t ) F 1 H ( )e tt00t0輸出過程的均值為mY mXh(t)dt00輸出過程的功率譜密度為SY( )2222H()SX()2222輸出過程的自相關函數為121212RY(

20、) FSY( )FF222222222ee2-5 高斯隨機變量 X 的均值為 0，方差為 1，試求隨機變量Y = 6X + 5 的概率密度 f(y)。解 高斯隨機變量通過線性變換后仍然是高斯隨機變量，Y 也是高斯隨機變量。隨機變量 Y 的均值為EY E6 X56EX55隨機變量 Y 的方差為DY EY 2 E2Y E36 X 260 X252536E X 236DXE2X36(10)36隨機變量 Y 的概率密度為f ( y)1exp( y5)21exp( y5)222366272362-6 隨機過程 X(t) = 5sin( t + )，其中， 是隨機變量，概率 P(= 0) = 0.2 ，P

21、(= 0.5 )= 0.8，試求隨機變量 X(2)的均值，隨機過程X(t)的自相關函數 RX(0, 1) 。解 隨機變量X(2) 的均值為EX X (2)E 5sin25 0.2sin 2 00.8sin2 0.5 4隨機過程 X(t)的自相關函數 RX(0, 1)為RX (0,1)EX (0)X (1)E5sin5sin25E sin2250.2sin 2 00.8sin2 (0.5) 202-7 隨機過程 X(t) = X1 sin(t) X2 cos(t)，其中， X1 和 X2 都是均值為20，方差為 的彼此獨立的高斯隨機變量，試求：隨機過程X(t) 的均值、方差、一維概率密度函數和自

22、相關函數。解 隨機過程 X(t)的均值為E X (t )E X1 sin(t)X 2 cos( t)sin(t)E X1cos( t)E X 2 0隨機過程 X(t)的方差為D X (t)E X 2 (t ) E 2 X (t)E X12 sin 2 (t)X 22 cos2 ( t)2X1 X 2 sin(t)cos( t)sin 2 (t )E X12 cos2 ( t)E X 22 sin(2t)E X1 X 2 2 sin 2 (t)2 cos2 ( t)sin(2t)E X1EX22隨機過程 X(t)的自相關函數為R(t1,t2 ) E X (t1 )X (t2 )EX1 sin(t

23、1) X 2 cos( t1)X1 sin(t2)X 2 cos( t2)EX 2 sin(t )sin(t)X2 cos( t)cos( t)XX2sin(tt2)112212112sin(t1 )sin( t2)cos( t1)cos(t2)E X1EX 2 sin(t1 t2 )2 cos t1t22 cos 其中， = t 2 t1。隨機過程 X(t)的一維概率密度函數為f (x)1expx222 22-8 平穩(wěn)隨機過程X(t)和 Y(t)的均值分別為aX 和 aY，自相關函數分別為 RX()和 RY()，且它們彼此獨立。隨機過程Z1(t) = X(t) + Y( t)和 Z2(t)

24、= X(t) Y(t)的。解 隨機過程 Z1(t)的自相關函數為RZ1 (t1, t2 )E Z1(t1 )Z1 (t 2 )EX (t1 )Y(t1 )X (t2 )Y (t2 )E X (t1) X (t2 )X (t1)Y(t2 )Y(t1) X (t 2 )Y(t1 )Y(t2 )RX( ) RY( )E X (t1 )E Y(t2 )E Y(t1) E X (t2 )RX ( )RY ( )2aX aY隨機過程 Z2(t)的自相關函數為RZ2 (t1,t 2 )E Z2 (t1 ) Z2 (t2 )EX (t1 )Y (t1)X (t 2 )Y (t2 )E X (t1 ) X (t

25、2 )E Y (t1 )Y(t2 )RX ( ) RY ( )2-9 已知隨機過程 X(t) = a(t) cos(0t + )，其中，隨機變量 在 (0，2)上服從均勻分布，是 a(t)廣義平穩(wěn)過程，且其自相關函數為1-10Ra ( )10<10Othersa(t)與 統(tǒng)計獨立。試求隨機過程 X(t)的自相關函數、功率譜密度和平均功率，并判斷其是否為廣義平穩(wěn)過程。解 隨機過程X(t)的均值為EX (t )Ea(t )cos(t)Ea(t)E cos( t)00E2)d0a(t )cos(t00隨機過程 X(t)的自相關函數為RX (t1 , t2 )EX (t1 )X (t 2 ) E

26、a(t1 )cos( 0t1)a(t2 )cos( 0t2)Ea(t1) a(t) E cos(t)cos(t)20 102R1Ecos(0t2 -0t1)cos( 0t1 +0t2 2 )21 R21 R2其中， = t 2 t1。E cos(0t2 -0t1 ) E cos(0t1 +0t22 )cos(02 1 Racos( 0 )+cos( 0t1 +0 t2 2 )d02由此可見，隨機過程 X(t)的自相關函數只與時間間隔有關，均值函數與時間無關，是廣義平穩(wěn)過程。隨機過程 X(t)的功率譜密度為PX ( ) F 1 RX (t1, t2 )1 1 ( -0)+ (0 ) F 1 Ra

27、 ( )221(-0)+(0 ) Sa2421Sa20Sa20422隨機過程 X(t)的平均功率為SRX (0)= 1 Ra (0)cos(0)1222-10 隨機過程 X(t)的均值為 0，自相關函數為 RX ()，它通過一個如圖題2-10 所示的系統(tǒng)后的輸出為隨機過程Y(t) 。試求隨機過程 Y(t)的自相關函數和功率譜密度。X(t)加法器Y(t)延遲 T圖 題 2-10解 由題意可得Y(t)X (t )X (tT)因此，系統(tǒng)的傳輸函數為H ()1exp(jT )隨機過程 Y(t)的功率譜密度為P ()YH (2PX( )1exp(j2PX( )T )1 cos(T )jsin(T )2FRX ()2 1cos(T )RX ()ejd2 1cos(T )R()ejdX隨機過程 Y(t)的自相關函數為RY() F1PY () 2F1PX( )PX ()cos( T )2RX ( ) 2F 1 PX ( ) ej Te-j T22RX( )F 1 PX ( ) ej TF