第2章-隨機(jī)過程習(xí)題及答案.

1、第二章隨機(jī)過程分析1.1學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.1.1 要點(diǎn)隨機(jī)過程分析的要點(diǎn)主要包括隨機(jī)過程的概念、分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、數(shù)字特征、通信系統(tǒng)中常見的幾種重要隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。1. 隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程， 它不能用確切的時間函數(shù)描述。 可從兩種不同角度理解：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時間過程的集合，隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。2. 隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)如果(t)是一個隨機(jī)過程，則其在時刻t1 取值 (t1)是一個隨機(jī)變量。(t1)小于或等于某一數(shù)值 x1的概率為 P (t1) x1 ，隨機(jī)過程 (t)的一維分布函數(shù)為F 1(x1, t1) = P (t1) x1

2、(2-1)如果 F 1( x1, t1)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 (t)的一維概率密度函數(shù)為F1(x1, t1 )(x1, t1 )(2-2)f1x1對于任意時刻t1 和 t2，把 (t 1) x1 和 (t2) x2 同時成立的概率F2 (x1, x2 ; t1 , t2 ) P(t1) x1, (t2 ) x2(2-3)稱為隨機(jī)過程(t)的二維分布函數(shù)。如果2 F ( x , x;t, t)f 2( x1, x2; t1, t2 )21212(2-4)x1x2存在，則稱f 2(x1, x2; t1, t2)為隨機(jī)過程( t)的二維概率密度函數(shù)。對于任意時刻t1， t2， ， tn，把Fn ( x1

3、， x2， ， xn； t1， t2， ，tn ) P (t1 ) x1, (t2 )x2 , , (tn ) xn(2 - 5)稱為隨機(jī)過程 (t)的 n 維分布函數(shù)。如果n Fn ( x1，x2， ，x n； t1，t2， ，tn )(2-6)f n ( x1， x2， ， xn；t1， t2， ，t n )x1 x2xn存在，則稱 f n(x1, x2, , xn; t1, t2 , , tn)為隨機(jī)過程( t)的 n 維概率密度函數(shù)。3. 隨機(jī)過程的數(shù)字特征隨機(jī)過程的數(shù)字特征主要包括均值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。隨機(jī)過程(t)在任意給定時刻t 的取值(t) 是一個隨機(jī)

4、變量，其均值為E(t )xf1 ( x,t )dx(2-7)其中， f 1(x, t) 為 (t) 的概率密度函數(shù)。隨機(jī)過程(t)的均值是時間的確定函數(shù)，記作a(t)，它表示隨機(jī)過程(t)的 n 個樣本函數(shù)曲線的擺動中心。隨機(jī)過程(t)的方差的定義如下：D (t )E (t)a(t )2(2-8)隨機(jī)過程2( t)的方差的另一個常用的公式為(t)的方差常記作 (t)。隨機(jī)過程D t22a t ta2tE t22a t Et2(t)E(t)a2222E(t)a(t )=x f1 (x,t )dx a(t )(2-9)也就是說，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時刻t，對于均值a(t)

5、的偏離程度。隨機(jī)過程(t)的相關(guān)函數(shù)的定義如下：R(t1,t2 ) E(t1)(t2 )x1x2 f2 ( x1, x2 ;t1 ,t 2 )dx1dx2(2 - 10)式中，(t 1)和 (t2)分別是在 t1 和 t2 時刻觀測得到的隨機(jī)變量。R( t1, t 2)是兩個變量t1 和 t2 的確定函數(shù)。隨機(jī)過程 (t) 的相關(guān)函數(shù)表示在任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。隨機(jī)過程(t)的協(xié)方差函數(shù)的定義如下：B(t1 ,t2 ) E (t1 )a(t1)(t2 ) a(t 2 ) x1a(t1) x2a(t2 ) f 2 ( x1 , x2; t1, t2 )dx1dx2(2 -

6、11)式中， a(t1)、 a( t2)分別是在 t1 和 t2 時刻得到的(t) 的均值； f2(x1, x2 ; t1, t2)是 (t)的二維概率密度函數(shù)。B(t1, t2) 與 R(t1, t 2)之間有如下關(guān)系式：B(t1, t2 )R(t1, t2 )a(t1)a(t2 )(2 - 12)若 a(t1) = a(t2)=0，則 B(t 1, t2) = R(t 1, t2)。隨機(jī)過程(t)和 ( t) 的互相關(guān)函數(shù)的定義如下：R (t1 ,t2 ) E (t1 ) (t2 )(2 - 13)4. 平穩(wěn)過程及其性質(zhì)平穩(wěn)過程包括嚴(yán)平穩(wěn)過程（強(qiáng)平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程）和廣義平穩(wěn)過程。如果

7、隨機(jī)過程 (t)的任意有限維分布函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對于任意的正整數(shù)n 和所有實(shí)數(shù)有，f n( x1 , x2 , x n；t1, t2 , tn )fn (x1, x2 , xn；t1,t2,t n)(2 - 14)則稱該隨機(jī)過程是嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和均值都與時間無關(guān)， 二維分布函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都只與時間間隔有關(guān)。把對嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的要求降低到僅僅均值與時間無關(guān)和自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)的隨機(jī)過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性 )。因此，在求解各種統(tǒng)

8、計平均時，無需無限多次的樣本， 只要獲得一次考察， 用一次實(shí)現(xiàn)的 “時間平均” 值代替平穩(wěn)隨機(jī)過程的 “統(tǒng)計平均”值即可，從而使測量和計算大為簡化。平穩(wěn)過程(t) 的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一付立葉變換對。據(jù)此，可以得到兩條結(jié)論：平穩(wěn)過程(t)的功率等于其自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的取值R(0)；各態(tài)歷經(jīng)過程任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于平穩(wěn)過程的功率譜密度。5. 高斯過程高斯過程又被稱為正態(tài)隨機(jī)過程。如果隨機(jī)過程(t)的任意n 維（ n =1, 2, . ）分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程，其n 維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為f n ( x1 , x2 ,., xn ;t1,t 2 ,.,

9、tn )n /2nnxjaj xk21ak(2 - 15)nexp| B |jk| B |i2 | B | j 1k 1jki 1其中，數(shù)學(xué)期望ak22= E (tk) ；方差 k = E (tk) - ak ；歸一化協(xié)方差矩陣行列式1b12b1n| B |b211b2n, bjkE(tj ) aj(tk ) akjkbn1bn21如果高斯過程在不同時刻不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計獨(dú)立的。高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后，其系統(tǒng)輸出也是高斯過程。6. 窄帶隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc 附近相對窄的頻帶范圍fc 的條件，且fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱其為窄帶隨機(jī)過程。隨機(jī)過程(t) 可以表示為

10、f 內(nèi)，即滿足f <<(t)a(t)cos ct (t),a(t ) 0(2 - 16)其中， a (t) 為隨機(jī)包絡(luò)；(t)為隨機(jī)相位；c 為中心角頻率。顯然，a (t)和(t) 的變化相對于載波產(chǎn)生的相移 ( ct)的變化要緩慢得多。將窄帶隨機(jī)過程表示式展開為(t )c (t )cos( ct)s (t )sin( ct )(2 - 17)其中，c(t) = a (t)cos ( t) ；s(t) = a (t)sin (t) 。 c(t)和 s(t)分別被稱為同相分量和正交分量。窄帶隨機(jī)過程(t)的統(tǒng)計特性可以由a(t)和cs(t)的(t)或 ( t)和(t)的統(tǒng)計特性確定。

11、若統(tǒng)計特性已知，則a (t)和(t)或 c(t)和 s(t)的統(tǒng)計特性也隨之確定。由于 (t)平穩(wěn)且均值為零，故對于任意的時間t ，都有 E(t) = 0 ，所以E c (t)0，E s(t)0(2 - 18)若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程(t)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為R( ) Rc ( )cos( c ) Rcs()sin(c ) Rc ( )cos(c )Rsc ( )sin( c )(2-19)一個均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的同相分量 c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也相同。此外，在同一時刻上得到的c(t

12、)與 s(t)是統(tǒng)計獨(dú)立的。a 服從瑞利 (Rayleigh) 分布， 服從均勻分布。7. 高斯白噪聲和帶限白噪聲電子系統(tǒng)中常見的熱噪聲近似為白噪聲，白噪聲的幅值服從高斯分布。因此，在通信系統(tǒng)中，常用高斯白噪聲作為信道中的噪聲模型。白噪聲通過一個有限帶寬的信道或?yàn)V波器后，輸出噪聲的帶寬就是有限的， 如果其頻譜在信道或?yàn)V波器的通帶內(nèi)仍具有白色特性，則稱其為帶限白噪聲。白噪聲 n(t)的功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)，即n0f( ,)(2 - 20)Pn (f )2或者Pn (f ) n0f(0,)(2 - 21)其中， n0 為正常數(shù)。 式 (2 20)是白噪聲 n(t) 的雙邊功率譜密度， 式

13、 (2 21)是其單邊功率譜密度。白噪聲 n(t)的自相關(guān)函數(shù)為R( )n0( )(2 - 22)2上式表明，白噪聲僅在= 0 時才相關(guān)，而在任何兩個不同時刻的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。如果白噪聲幅值的概率分布服從高斯分布， 則稱之為高斯白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨(dú)立的。帶限白噪聲一般包括低通白噪聲和帶通白噪聲。 如果白噪聲通過理想低通濾波器或理想低通信道時， 則其輸出的噪聲被稱為低通白噪聲； 如果白噪聲通過理想帶通濾波器或理想帶通信道時，則其輸出的噪聲被稱為帶通白噪聲。1.1.2 難點(diǎn)隨機(jī)過程分析的難點(diǎn)主要包括平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后

14、的分布函數(shù)、和數(shù)字特征。設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程i(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別為ai、 Ri(t)和位沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)分別為h(t)和 H( f)。輸出隨機(jī)過程o(t) 的均值為概率密度函數(shù)Pi(f)，系統(tǒng)單E o (t ) Eh( )i (t)dh( )Ei (t) d-ai h( )daih( )dai H (0)(2 - 23)-式中， H(0) 是線性系統(tǒng)H(f) 在 f = 0 處的頻率響應(yīng)。 由此可見， 輸出過程的均值是一個常數(shù)。輸出隨機(jī)過程(t) 的自相關(guān)函數(shù)為oRo (t1, t1) E o (t1 ) o (t1)Eh() i (t1)dh( )i (t1)dh()h()

15、Ei (t1) i ( t1)ddh()h()Ri ()ddRo ()(2 - 24)上式表明，隨機(jī)過程 o( t)的自相關(guān)函數(shù)僅是時間間隔 的函數(shù)。綜合上面兩點(diǎn)，若線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。輸出隨機(jī)過程(t)的功率譜密度為oPo ( f )Ro ( )e jdh( )h( ) Ri ()d d ej d'h( )ejh( )e jRi ( )e j 'd 'dd=H *( f ) H ( f )2Pi ( f )(2 - 25)Pi ( f ) H ( f )由上是式可見，輸出隨機(jī)過程o(t)的功率譜密度等于輸入隨機(jī)過程i(t)的功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸

16、函數(shù)模值的平方。隨機(jī)過程 o(t)可以表示為o (t )h() i (t )dzlim0i (tk )h( k )kkk 0當(dāng) i( t)是高斯分布的時， i(t - k)h( k)k 是一個高斯隨機(jī)變量，而無限個高斯隨機(jī)變量的疊加也是一個高斯分布的。因此，隨機(jī)過程o(t) 呈高斯分布。1.2 習(xí)題詳解2-1 設(shè)隨機(jī)過程 X(t) = A cos( t) + B cos(的隨機(jī)變量，且E(A) = E(B) = 0, D(A) = D(B) =t), - < t < ， 為常數(shù)， A 、B 為互相獨(dú)立2 。試判斷X(t) 是否為平穩(wěn)過程。解E X (t )E A cos(t )E

17、B sin(t)0 ，R(t, t)E X (t) X (t ) E A cos( t) E A2 A cos( +E AB cos( 22 cos()B sin(t )cos(t)sin(tt) A cos( t)B sin( tt)E B 2sin(t )sin(t)sin(t )cos(t)sin(t)sin(t)t)因此， X(t)的均值與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，它是平穩(wěn)過程。2-2 離散白噪聲 X(n), n = 0,1,± ±2, ，其中，是X(n)是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量，且EX(n) = 0, D X(n) = 2。試求 X(n)的功率譜密度。解

18、 X(n)的自相關(guān)函數(shù)為2m0R(m)E X ( n) X (nm)0m0X(n)的功率譜密度為S( )R( m)ejm2- , m2-3已知零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程 X(t), - < t < 的功率譜密度為24S( )41029試求其自相關(guān)函數(shù)、方差和平均功率。解由于 F12e，因此，自相關(guān)函數(shù)為221124R() FS()F29213 F 1115 F 11982823 e5 e 31648方差為DX(t) = R(0) E2 X(t) = R(0)=7/24 。平均功率為7R(0)242-4 電路圖如圖題2-4 所示。如果輸入平穩(wěn)過程 X(t), - < t < 的均

19、值 mX 為零，自相關(guān)函數(shù)為 RX ( )2 e,0,1 。試求輸出過程 Y(t), - < t < 的均值 mY，RC自相關(guān)函數(shù) RY()、功率譜密度 SY()。R+X(t)CY(t)-圖 題2-4解由電路分析的知識可得dY(t)1RCY(t )X (t),dtRCdY(t)Y (t )X (t)dt兩邊取付立葉變換，得到j(luò)Y()Y()X ()此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為H ()j此系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為h(t ) F 1 H ( )e tt00t0輸出過程的均值為mY mXh(t)dt00輸出過程的功率譜密度為SY( )2222H()SX()2222輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為121212RY(

20、) FSY( )FF222222222ee2-5 高斯隨機(jī)變量 X 的均值為 0，方差為 1，試求隨機(jī)變量Y = 6X + 5 的概率密度 f(y)。解 高斯隨機(jī)變量通過線性變換后仍然是高斯隨機(jī)變量，Y 也是高斯隨機(jī)變量。隨機(jī)變量 Y 的均值為EY E6 X56EX55隨機(jī)變量 Y 的方差為DY EY 2 E2Y E36 X 260 X252536E X 236DXE2X36(10)36隨機(jī)變量 Y 的概率密度為f ( y)1exp( y5)21exp( y5)222366272362-6 隨機(jī)過程 X(t) = 5sin( t + )，其中， 是隨機(jī)變量，概率 P(= 0) = 0.2 ，P

21、(= 0.5 )= 0.8，試求隨機(jī)變量 X(2)的均值，隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù) RX(0, 1) 。解 隨機(jī)變量X(2) 的均值為EX X (2)E 5sin25 0.2sin 2 00.8sin2 0.5 4隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù) RX(0, 1)為RX (0,1)EX (0)X (1)E5sin5sin25E sin2250.2sin 2 00.8sin2 (0.5) 202-7 隨機(jī)過程 X(t) = X1 sin(t) X2 cos(t)，其中， X1 和 X2 都是均值為20，方差為 的彼此獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，試求：隨機(jī)過程X(t) 的均值、方差、一維概率密度函數(shù)和自

22、相關(guān)函數(shù)。解 隨機(jī)過程 X(t)的均值為E X (t )E X1 sin(t)X 2 cos( t)sin(t)E X1cos( t)E X 2 0隨機(jī)過程 X(t)的方差為D X (t)E X 2 (t ) E 2 X (t)E X12 sin 2 (t)X 22 cos2 ( t)2X1 X 2 sin(t)cos( t)sin 2 (t )E X12 cos2 ( t)E X 22 sin(2t)E X1 X 2 2 sin 2 (t)2 cos2 ( t)sin(2t)E X1EX22隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為R(t1,t2 ) E X (t1 )X (t2 )EX1 sin(t

23、1) X 2 cos( t1)X1 sin(t2)X 2 cos( t2)EX 2 sin(t )sin(t)X2 cos( t)cos( t)XX2sin(tt2)112212112sin(t1 )sin( t2)cos( t1)cos(t2)E X1EX 2 sin(t1 t2 )2 cos t1t22 cos 其中， = t 2 t1。隨機(jī)過程 X(t)的一維概率密度函數(shù)為f (x)1expx222 22-8 平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和 Y(t)的均值分別為aX 和 aY，自相關(guān)函數(shù)分別為 RX()和 RY()，且它們彼此獨(dú)立。隨機(jī)過程Z1(t) = X(t) + Y( t)和 Z2(t)

24、= X(t) Y(t)的。解 隨機(jī)過程 Z1(t)的自相關(guān)函數(shù)為RZ1 (t1, t2 )E Z1(t1 )Z1 (t 2 )EX (t1 )Y(t1 )X (t2 )Y (t2 )E X (t1) X (t2 )X (t1)Y(t2 )Y(t1) X (t 2 )Y(t1 )Y(t2 )RX( ) RY( )E X (t1 )E Y(t2 )E Y(t1) E X (t2 )RX ( )RY ( )2aX aY隨機(jī)過程 Z2(t)的自相關(guān)函數(shù)為RZ2 (t1,t 2 )E Z2 (t1 ) Z2 (t2 )EX (t1 )Y (t1)X (t 2 )Y (t2 )E X (t1 ) X (t

25、2 )E Y (t1 )Y(t2 )RX ( ) RY ( )2-9 已知隨機(jī)過程 X(t) = a(t) cos(0t + )，其中，隨機(jī)變量 在 (0，2)上服從均勻分布，是 a(t)廣義平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)為1-10Ra ( )10<10Othersa(t)與 統(tǒng)計獨(dú)立。試求隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率，并判斷其是否為廣義平穩(wěn)過程。解 隨機(jī)過程X(t)的均值為EX (t )Ea(t )cos(t)Ea(t)E cos( t)00E2)d0a(t )cos(t00隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)為RX (t1 , t2 )EX (t1 )X (t 2 ) E

26、a(t1 )cos( 0t1)a(t2 )cos( 0t2)Ea(t1) a(t) E cos(t)cos(t)20 102R1Ecos(0t2 -0t1)cos( 0t1 +0t2 2 )21 R21 R2其中， = t 2 t1。E cos(0t2 -0t1 ) E cos(0t1 +0t22 )cos(02 1 Racos( 0 )+cos( 0t1 +0 t2 2 )d02由此可見，隨機(jī)過程 X(t)的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，均值函數(shù)與時間無關(guān)，是廣義平穩(wěn)過程。隨機(jī)過程 X(t)的功率譜密度為PX ( ) F 1 RX (t1, t2 )1 1 ( -0)+ (0 ) F 1 Ra

27、 ( )221(-0)+(0 ) Sa2421Sa20Sa20422隨機(jī)過程 X(t)的平均功率為SRX (0)= 1 Ra (0)cos(0)1222-10 隨機(jī)過程 X(t)的均值為 0，自相關(guān)函數(shù)為 RX ()，它通過一個如圖題2-10 所示的系統(tǒng)后的輸出為隨機(jī)過程Y(t) 。試求隨機(jī)過程 Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。X(t)加法器Y(t)延遲 T圖 題 2-10解 由題意可得Y(t)X (t )X (tT)因此，系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為H ()1exp(jT )隨機(jī)過程 Y(t)的功率譜密度為P ()YH (2PX( )1exp(j2PX( )T )1 cos(T )jsin(T )2FRX ()2 1cos(T )RX ()ejd2 1cos(T )R()ejdX隨機(jī)過程 Y(t)的自相關(guān)函數(shù)為RY() F1PY () 2F1PX( )PX ()cos( T )2RX ( ) 2F 1 PX ( ) ej Te-j T22RX( )F 1 PX ( ) ej TF