考研數(shù)學(xué)公式大全(考研必備下載)

1、.高等數(shù)學(xué)公式篇平方關(guān)系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=sec2( )cot2( )+1=csc2( )積的關(guān)系：sin =tan *cos cos =cot *sin tan =sin *sec cot =cos *csc sec =tan *csc csc =sec *cot 倒數(shù)關(guān)系：tan cot =1sin csc =1cos sec =1直角三角形ABC 中,角 A 的正弦值就等于角 A 的對(duì)邊比斜邊 , 余弦等于角 A 的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊 ,三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)：cos( + )=cos -sincos sin cos( -

2、 )=cos cos +sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( + )=(tan +tan-tan)/(1 tan )tan( - )=(tan-tan )/(1+tan tan )sin(2 )=2sin cos =2/(tan +cot )cos(2 )=cos2(-sin2() )=2cos2(-1=1)-2sin2( )tan(2 )=2tan-tan2(/1 )三倍角公式：sin(3 )=3sin-4sin3( )cos(3 )=4cos3( -3cos)半角公式：sin( /2)=-cos(1 )/2)cos( /2)= (1+cos )/2)tan

3、( /2)=-cos(1 )/(1+cos )=sin /(1+cos- )=(1 )/sin降冪公式sin2( )=(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2 )/2tan2( )=(1-cos(2 )/(1+cos(2 )萬能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)積化和差公式：sin cos =(1/2)sin(-+) )+sin(cos sin =(1/2)sin(-sin(-+)cos cos

4、=(1/2)cos(-+)+cos(sin sin-(1/2)cos(=-cos(+)-)和差化積公式：sin +sin =2sin( + )/2cos(-sin -sin =2cos( + )/2sin(-)/2三角和的三角函數(shù)：cos +cos =2cos( + )/2cos(-sin( + + )=sin cos cos +cos sin cos cos-cos=+cos-2sin(cos+ )/2sin(- )/2 sin-sin sin sin 推導(dǎo)公式cos( + + )=cos cos-coscossin-sin sincos tan +cot =2/sin2 sin-sin s

5、in cos tan -cot =-2cot2 tan( + + )=(tan +tan-tan+tantan -tan t)/(11+cos2 =2cos2 an-tan -tan tan )1-cos2 =2sin2 輔助角公式：1+sin =(sin /2+cos /2)2Asin +Bcos =(A2+B2)(1/2)sin( ，其中+t)其他：sint=B/(A2+B2)(1/2)sin +sin( +2 /n)+sin( +2 *2/n)+sin( +2 *3/n)+cost=A/(A2+B2)(1/2)+sin +2-1)/n=0*(ntant=B/Acos +cos( +2 /

6、n)+cos( +2 *2/n)+cos( +2 *3/n)+Asin +Bcos =(A2+B2)(1/2)cos(-t) ， tant=A/B+cos +2-*(n1)/n=0以及倍角公式：sin2( )+sin2(-2/3)+sin2( +2 /3)=3/2;.tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函數(shù)的角度換算公式一：設(shè) 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（ 2k ） sin cos（2k ） cos tan（ 2k ） tan cot（ 2k ） cot 公式二：設(shè) 為任意角， +的三角函數(shù)值與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：si

7、n（ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公式三：任意角 與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到 2-與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（ 2） sin cos（2 ） cos tan（ 2 ） tan cot（ 2 ） cot 公式六： /2 及3 /2 與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：.si

8、n（ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan（ /2 ） cot cot（ /2 ） tan sin（ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan（ /2 ） cot cot（ /2 ） tan sin（ 3 /2 ） cos cos（ 3 /2 ） sin tan（ 3 /2 ） cot cot（ 3 /2 ） tan sin（ 3 /2 ） cos cos（ 3 /2 ） sin tan（ 3 /2 ） cot cot（ 3 /2 ） tan (以上 kZ)部分高等內(nèi)容高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得 )：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) c

9、osx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展開有無窮級(jí)數(shù)， ez=exp(z) 1 z/1！ z2/2 ！ z3/3 ！ z4/4 ！ zn/n ！此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。三角函數(shù)作為微分方程的解：對(duì)于微分方程組y=-y;y=y ，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx ，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù) 雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值a 0 30 45 60 90sina 0 1/2 2/2 3/2 1cosa 1 3/2

10、2/2 1/2 0tana 0 3/3 1 3 Nonecota None 3 1 3/3 0;.導(dǎo)數(shù)公式：(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx)cscx ctgx(a x )a x ln a1(log a x)x ln a基本積分表：.1(arcsin x)x21(arccos x)11x21( arctgx )21 x( arcctgx )1x21tgxdxln cosxCdx2tgx Ccos2 xsec xdxctgxdxln sin xCdx2secxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxctgxCcscxdxln csc

11、xctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscx ctgxdxcscxCa2x2a arctgaCa xdxa xCdx1xaCln ax2a22alnashxdxchxCxdx1 ln axCchxdxshxCa2x22aaxdxarcsin xCdxln( xx2a 2 )Ca2x2ax 2a22sin n2cosn xdxn1 I nI nxdx200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a 2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u， cos x1u2，utg x

12、 ，dx2du1u 21u221 u2一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：;.雙曲正弦: shxexe x2雙曲余弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21xxx.lim sin x1x 0xlim (11) xe 2.718281828459045.x x三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 180+-sin -cos

13、tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22;.倍角公式：sin 22 sincoscos22cos2112 sin2cos2sin2sin33sin4 sin3ctg2ctg 2

14、1cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2半角公式：sin1 coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22正弦定理：abc2R余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：(uv)( n )nCnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n1)u (n 2) vn(n1) ( n

15、 k1)u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 y tg平均曲率：K.: 從 M 點(diǎn)到 M 點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s： MM 弧長。sM 點(diǎn)的曲率： Klimdy.sds2s0(1 y)3直線： K0;半徑為 a的圓： K1 .a;.9 定積分的近似計(jì)算：bba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法：

16、 f ( x)yn )y1yn 1 an2bba ( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn2 ) 4( y1y3yn 1 )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WF s水壓力： Fp A引力： Fk m1m2,k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf (x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtb a a空間解析幾何和向量代數(shù)：空間 2點(diǎn)的距離： dM1M2(x2x1) 2( y2y1 )2( z2 z1 )2向量在軸上的投影： Pr j u ABAB cos ,是 AB與 u軸的夾角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1Pr ja2a b ab cosaxbxay

17、byazbz ,是一個(gè)數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbx ay byazbz2ay22222axazbxbybzijkc a baxayaz , cab sin.例：線速度： vw r .bxbybzaxayaz向量的混合積： ab c(ab )cbxbybza bc cos ,為銳角時(shí)，cxc ycz代表平行六面體的體積。;.平面的方程：1、點(diǎn)法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離： dAx0By0A

18、2B2空間直線的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y2z21a2b2c2、拋物面： x2y 2（同號(hào)）22qz,p, q2 p3、雙曲面：單葉雙曲面： x2y2z22221abc雙葉雙曲面： x2y2z2（馬鞍面）a2b2c21多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzzzduuuudxdydxdydzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x, y) xf y (x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y),

19、v( x, y)zzuzvxuxvxu當(dāng)，時(shí)，u( x, y)vv( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d 2 yFxFxdy0dxFydx 2()()x Fyy Fydx隱函數(shù)， zFzFyF ( x, y, z)x ，0xFzyFz;.F (x, y,u, v)0(F ,G)FFFuFv隱函數(shù)方程組：uvG(x, y,u, v)0JGGGuGv(u,v)uvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：x(t )

20、空間曲線y(t )在點(diǎn) M (x0 , y0 , z0 )處的切線方程： x x0yy0zz0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在點(diǎn) M 處的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( z z0 )0F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFx若空間曲線方程為：,則切向量 T G y,G ( x, y, z) 0G z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點(diǎn)的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0

21、, z0 )2、過此點(diǎn)的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、過此點(diǎn)的法線方程：x x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )Fy G yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)為： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijx

22、y它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中e cosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0,( x0 , y0 )為極大值0時(shí)，B 2A 0,( x0 , y0 )為極小值則： AC0時(shí)，無極 值A(chǔ)CB 20時(shí) ,不確定;.重積分及其應(yīng)用：f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD2

23、2曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于 x軸 I xy2( x, y)d,對(duì)于 y軸 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對(duì) z軸上質(zhì)點(diǎn) M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，F(xiàn)zfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐標(biāo)和球

24、面坐標(biāo)：xr cos柱面坐標(biāo)： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐標(biāo)：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) d

25、v曲線積分：第一類曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分）：設(shè) f (x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t) ,(t), 則：y(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情況：(t )Ly;.第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）：設(shè)L 的參數(shù)方程為 x(t)，則：y(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t )Q(t ),(t)(t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān) 系：PdxQdy(P cosQ cos，其中 和 分別為) dsLLL上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。格林公式：QP格林公式：QPPdx Qdy(x)dxd

26、yPdx Qdy()dxdyDyLDxyL當(dāng)Py,Qx，即： QP時(shí)，得到D的面積：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲線積分與路徑 無關(guān)的條件：、是一個(gè)單連通區(qū)域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，且Q P 。注意奇點(diǎn)，如 (0,0)，應(yīng)xy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分， 注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積 ：在 Q P 時(shí)， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u(x, y)的全微分，其中：x y( x, y)u(x, y)P( x, y) dx，通常設(shè)x0。Q( x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對(duì)面積的曲面積分：f ( x, y

27、, z) dsf x, y, z(x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y) dxdyD xy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：，其中：P(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正 號(hào)；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP( x, y, z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正 號(hào)；D yzQ( x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號(hào)。D zx兩類曲面積分之間的關(guān) 系： PdydzQdzdxRdx

28、dy(P cosQ cosRcos )ds高斯公式：;.( PQR )dvPdydzQdzdxRdxdy( P cosQ cosR cos ) dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度： divPQR ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失 .xyz通量： An dsAn ds(P cosQ cosR cos) ds，因此，高斯公式又可寫成： div AdvAn ds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：RQPR) dzdxQPPdxQdy Rdz() dydz(x() dxdyyzzxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無 關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAyzxPQR向量場 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdzA t dsA常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：等比數(shù)列：qq2n