等差、等比數(shù)列性質(zhì)總結(jié).

1、等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)1. 等差數(shù)列的定義式： an an 1 d （ d 為常數(shù)）（ n 2 ）；2等差數(shù)列通項公式：an a1 (n1)ddna1d ( n N * )，首項 : a1 ，公差 :d ，末項 : an推廣： aam(n m d 從而danam ；n)nm3等差中項ab 或（1）如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項即： A2 A a b2（2）等差中項：數(shù)列an是等差數(shù)列2aaa(n 2,n N + )2an 1anan 2nn -1n 14等差數(shù)列的前 n 項和公式：Snn(a1 an )na1n(n1) dd n2( a11 d )nAn

2、2Bn2222（其中 A、B是常數(shù)，所以當 d 0時， Sn 是關(guān)于 n的二次式且常數(shù)項為 0）特別地，當項數(shù)為奇數(shù) 2n 1 時， an 1 是項數(shù)為 2n+1 的等差數(shù)列的中間項2n 1 a1a2n 12n 1 an 1（項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項和等于項數(shù)乘以中間S2n 12項）5等差數(shù)列的判定方法（1） 定義法：若 anan 1d 或 an 1and ( 常數(shù) nN )an 是等差數(shù)列（2） 等差中項：數(shù)列 an是等差數(shù)列2anan -1an 1 (n 2)2an 1 an an 2 數(shù)列 an 是等差數(shù)列anknb （其中 k ,b 是常數(shù)）。（4）數(shù)列an 是等差數(shù)列Sn2Bn ,

3、（其中 、 是常數(shù)）。AnAB6等差數(shù)列的證明方法定義法：若 an an 1d 或 an 1and ( 常數(shù) nN )an 是等差數(shù)列等差中項性質(zhì)法： 2anan-1an 1 (n2，nN) 7. 提醒：（1）等差數(shù)列的通項公式及前 n 和公式中，涉及到 5 個元素： a1 、d 、n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、d 稱作為基本元素。只要已知這5 個元素中的任意 3 個，便可求出其余 2 個，即知 3 求 2。（2）設項技巧：一般可設通項 an a1(n1)d奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為 , ， a2d, ad , a, ad, a2d , （公差為 d ）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為 , ，

4、a3d , ad , a d , a 3d, , （注意；公差為 2 d ）8. 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當公差 d0時，等差數(shù)列的通項公式 ana1 (n1)ddn a1d 是關(guān)于 n 的一次函數(shù)，且斜率為公差d ；前 n 和 Sn na1n(n 1) dd n2(a1d )n 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且常數(shù)項為 0.（2）若公差 d2220，則為遞增等差數(shù)列，若公差 d0 ，則為遞減等差數(shù)列，若公差d0 ，則為常數(shù)列。（3）當 m npq 時 , 則有 amana paq ，特別地，當 m n 2 p 時，則有 aa2a .mnp注： a1an a2an 1a3an 2，（4）若 an 、 b

5、n為等差數(shù)列，則an b ， 1an2bn 都為等差數(shù)列(5) 若 an 是等差數(shù)列，則 Sn , S2nSn , S3nS2n， , 也成等差數(shù)列（6）數(shù)列 an 為等差數(shù)列每隔k(k*項取出一項a, a, a,a,)仍為等差數(shù)列,N)( mm km 2km 3k（7）設數(shù)列奇是奇數(shù)項的和， S偶 是偶數(shù)項項的和， Sn 是前 n 項an 是等差數(shù)列， d 為公差， S的和當項數(shù)為偶數(shù)2n 時，S奇a1a3a5na1a2 n1na na2 n 12S偶a 2a 4a6na 2a 2 nna n 1a 2 n2S 偶S 奇na n 1na n n a n 1a nn dS 偶na n 1a n

6、1S 奇na na n當項數(shù)為奇數(shù)2n1時，則S2 n 1S奇S偶(2 n1) an+1S奇( n 1)an+1S偶nS奇S偶an+1S偶nan+1S奇 n1（其中 an+1是項數(shù)為 2n+1 的等差數(shù)列的中間項） （ 8） bn 的前 n 和分別為 An 、 Bn，且 Anf (n) ，Bn則 an(2n1)anA2 n 1f (2n 1) .bn(2n1)bnB2 n 1（ 9）等差數(shù)列 an 的前 n 項和 Smn ，前 m 項和 Snm ，則前 m+n 項和 Sm nm nan m, amn, 則 an m0(10) 求 Sn 的最值法一：因等差數(shù)列前n 項是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，故可

7、轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性 nN * 。法二：（ 1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n 項和的最大值是所有非負項之和即當 a10，dan00，由可得 Sn 達到最大值時的 n 值an 10（ 2） “首負”的遞增等差數(shù)列中，前n 項和的最小值是所有非正項之和。即 當 a10，dan00，由可得 Sn 達到最小值時的 n 值an 10或求 an 中正負分界項注意：解決等差數(shù)列問題時，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a1 和 d 的方程；巧妙運用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量等比數(shù)列性質(zhì)anq q 0 n 2,且 n N *q1.等比數(shù)列的

8、定義：an 1，稱為公比2.通項公式：an a1qn 1a1 qnA Bn a1 q 0, A B 0a1qq， 首項：；公比：anamqn mqn man推廣：，從而得am3. 等比中項（ 1）如果 a, A,b 成等比數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項即： A2 ab 或 A ab 注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項，并且它們的等比中項有兩個（兩個等比中項互為相反數(shù)）（ 2）數(shù)列an是等比數(shù)列a 2aann 1n 14. 等比數(shù)列的前 n 項和 Sn 公式：(1)當 q1時， Snna1Sna1 1qna1an q(2)當 q1時，1q1q1a1a1 qnA A BnA '

9、BnA 'A, B,A',B'q 1q（為常數(shù)）5. 等比數(shù)列的判定方法an1qan或 an 1q( q為常數(shù)， an0)（ 1）用定義：對任意的n, 都有an an 為等比數(shù)列（2） 等比中項： an2an1an 1 （ an1an 10） an 為等比數(shù)列（ 3） 通項公式：anA Bn A B 0 an 為等比數(shù)列（ 4） 前 n 項和公式：SnA ABn或SnA' BnA ' A, B, A ',B '為常數(shù) a 為等比數(shù)列n6. 等比數(shù)列的證明方法anq q 0 n 2, 且 n N *an 1qan an 依據(jù)定義：若an 1

10、或為等比數(shù)列7. 注意（ 1）等比數(shù)列的通項公式及前n 和公式中，涉及到5 個元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 q稱作為基本元素。只要已知這5 個元素中的任意3 個，便可求出其余 2 個，即知 3 求 2。（ 2）為減少運算量，要注意設項的技巧，一般可設為通項；an a1qn 1a, a , a, aq, aq2q ，中間項用 a 表示）；如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為 , ，q2q, （公比為8. 等比數(shù)列的性質(zhì)(1) 當 q1時an a1qn 1a1 qnA Bn A B 0等比數(shù)列通項公式q是關(guān)于 n 的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比 qa1 1qnnSna

11、1a1q a1a1 qnA A BnA ' BnA '1q前 n 項和1q 1q1 q，系數(shù)和常數(shù)項是互為相q反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2)對任何 m,nN * , 在等比數(shù)列 an 中 , 有 anamqn m , 特別的 , 當 m=1時, 便得到等比數(shù)列的通項公式 . 因此 , 此公式比等比數(shù)列的通項公式更具有一般性。(3)若 m+n=s+t (m, n, s, tN * ), 則 an amas at . 特別的 , 當 n+m=2k時 , 得 an amak2注： a1 ana2 an 1a3an 2k , kan , an k , k an bn an (4)列 an , bn 為等比數(shù)列 , 則數(shù)列 anbn(k為非零常數(shù) )均為等比數(shù)列 .(5)數(shù)列 an 為等比數(shù)列 , 每隔 k(kN * ) 項取出一項 ( am ,amk , am 2k , am3k ,) 仍為等比數(shù)列(6)如果 an 是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 , 則數(shù)列 log a an 是等差數(shù)列(7)若 an 為等比數(shù)列 , 則數(shù)列 Sn ， S2nSn ， S3 nS2 n ,，成等比數(shù)列(8)若 an 為等比數(shù)列 , 則數(shù)列 a1 a2an ,an1 an2a2n ,a2n1 a2n 2a3n 成等比數(shù)列(9)當 q1時，當 0<q