積分中值定理

1、第一章積分中值定理一、本章有一個(gè)按序排列而成的定理系列，即羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理和泰勒定理。由于它們都擁有一個(gè)“微分中值點(diǎn) ©”，故有時(shí)也將其統(tǒng)稱(chēng)為微分中值定理， 該定理系列在微分學(xué)的理論中起著極為重要的作用，故需要大家學(xué)習(xí)時(shí)要格外重視。在應(yīng)用這些定理時(shí)，要特別注意“點(diǎn)”，定理只告訴了我們/的存在性，并未指出它的確切位置 (實(shí)存在就足夠了)，若忽視了f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)際上，許多情況下我們并不需要知道它的確切位置，只要知道 這一點(diǎn)，在作題的過(guò)程中就容易出錯(cuò)或無(wú)法達(dá)到目的。如設(shè) 內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明存在 ，使得2f (b2f (- b) f (a)二少 乩

2、f ()。24分析：根據(jù)給出的條件以及要證明的表達(dá)式，我們往往聯(lián)想采用如下的方法a + bf(b)_2f(=) f(a)2 a +b a + b= f(b)-f(-)-f(-)-f(a)( *)二寧f( J-f ( 2) 號(hào)(1- 2)f ()(a ： 2 ： a b "： : b, 2 ：' 1 :, J )。2但是，問(wèn)題很明顯，由于中值定理沒(méi)有確定' 2的具體位置，因此不能保證b - a1 - 2，也就達(dá)不到題目的要求。但是，這種嘗試給了我們有益的啟示：我們把2(*)每一個(gè)方括號(hào)內(nèi)的值看成一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，從而(* )表達(dá)式即可視為某函數(shù)在一個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)

3、值之差，在此基礎(chǔ)上再使用中值定理，問(wèn)題就可以解決。證明：令b a(x) = f(x )-f(x)，則(x)在區(qū)間a,a b上可以使用拉格朗日中值定理，故有（寫(xiě)）-（a）=寫(xiě)（i）每心罟-伽= a + b h b a(a ： 11b)2 2再在1, 12b -a上對(duì)f （x）應(yīng)用拉格朗日中值定理（因?yàn)閒（x）在（a,b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)）,則存在二（1, b - a3)(a, b)，使得2b ax b -a tf ( i二-)-f ( i)=2從而問(wèn)題得證。二、用羅必達(dá)法則求不定式的極限，由于分類(lèi)清楚、規(guī)律性強(qiáng)且可以連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，故在求極限時(shí)經(jīng)常用到。但需要注意法則的使用需要滿足相應(yīng)的條件，尤其要注

4、意以下幾點(diǎn):1羅必達(dá)法則的條件是充分的，也就是說(shuō)如果總T L （或八則時(shí)L（或吆）。但是如果gx）口振蕩發(fā)散，丄血仍可以有極限，這一點(diǎn)需要引起大家的注意。g（x）例如求2 . 1x sin lim x , xj sin2x這是0型未定式，極限明顯存在，但使用一次羅必達(dá)法則后，就會(huì)出現(xiàn)振蕩發(fā)散的情形, 0從而問(wèn)題就變的無(wú)法解決。正確的解法應(yīng)為原式=lim x x xt0 si n2xsin丄=limxx x q 2sin 丄=0。x2不是未定式，也去使用羅必達(dá)法則。例如求lim理旦，A與B是常數(shù)。x八 ext 1這是含參變量的極限，應(yīng)該清楚，這樣的極限往往與參變量是有關(guān)系的。但我們大多 數(shù)同學(xué)在

5、處理時(shí)會(huì)不加區(qū)別的使用羅必達(dá)法則，從而出現(xiàn)如下的錯(cuò)誤:xtAe B limxrxr ext 1xt珂m詈一。實(shí)際上，上面的過(guò)程只有在 t 0時(shí)才是正確的！而t = 0及t :：: 0兩種情形未被考慮,因而結(jié)果必然是錯(cuò)誤的。3不能靈活使用羅必達(dá)法則，而是視其為萬(wàn)能的，以至有時(shí)會(huì)陷入“泥潭”。例如求lim ( cotx)。x)0 x x這是一個(gè)未定式的極限，可以使用羅必達(dá)法則進(jìn)行計(jì)算。但需要注意的是，若不假思索的直接使用羅必達(dá)法則，計(jì)算起來(lái)就會(huì)很繁瑣。 比較合理的辦法是先進(jìn)行有理運(yùn)算，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)或利用等價(jià)無(wú)窮小代換，最后再使用羅必達(dá)法則就簡(jiǎn)單多了。解法如下：sin x xcosx sin x x

6、cosx原式二lim 2lim廠7 x2si nx T x3cosxcosx+xsi nx 1,. sinx 1二 lim2limx)03x3x0x3教材中有類(lèi)似的例題及練習(xí)題，希望大家在學(xué)習(xí)是認(rèn)真體會(huì)。三、泰勒公式是本章的一大難點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見(jiàn)的麥克勞林展開(kāi)式。實(shí)際上，泰勒公式在證明、極限計(jì)算等方面有著廣泛而獨(dú)到的應(yīng)用，大家可以通過(guò)多做一些相應(yīng)的練習(xí)題來(lái)體會(huì)。四、關(guān)于函數(shù)性態(tài)的研究應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1若f(x)為(a,b)內(nèi)的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則必有 (x)0。這一結(jié)論是不正確的。例如函數(shù)f (x)

7、二x3在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的點(diǎn)x二0就不滿足結(jié)論。2若f (x) =0，則X。必為f (x)的極值點(diǎn)(或曰駐點(diǎn)一定為極值點(diǎn))此結(jié)論同樣錯(cuò)誤。當(dāng)然，結(jié)論的逆命題也不正確。教材中有相應(yīng)的例子，相信大家會(huì)很容易理解。所以在實(shí)際求極值時(shí)，除了駐點(diǎn)外還需要格外注意導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。3 極大值必大于極小值。由于極值是函數(shù)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部性質(zhì)，因而極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系。 也就是說(shuō)，函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的極大值不一定大于其在該區(qū)間內(nèi)的極小值。五、不等式的證明本章的內(nèi)容進(jìn)一步豐富了不等式的證明方法。1.中值定理。由于中值定理中 是存在于區(qū)間之內(nèi)的值，很明顯把/用區(qū)間的兩個(gè)不同端點(diǎn)去代換時(shí)，必然產(chǎn)生不等式，

8、這就為不等式的證明提供了一種方法，實(shí)際上中值定理確大家自實(shí)是不等式證明的一種有力工具。教材以及課后練習(xí)題中有比較多的題目可以訓(xùn)練,己認(rèn)真做一下，以真正掌握這種方法。2.泰勒公式。泰勒公式證明不等式一般來(lái)說(shuō)困難一些，但有些時(shí)候特別是給定的條件涉及到可導(dǎo)又給出某些具體點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，嘗試?yán)锰├展揭彩且环N不錯(cuò)的選擇。例如下題:1 1設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上有三階導(dǎo)數(shù)，且 f(0)=0, f(1)=寸,(寸)=0, 求證存在淞(0,1)，使得f哄)>12。證明：由于f(x)在0,1上有三階導(dǎo)數(shù)，且f-0 ,故可將f (0)、f(1)在x = 1處展開(kāi)成至二階帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式，即1 f(

9、1) = f(2) f1 , , , , f(0f(-) f( )(0) f ( )(0)2 2 2 2! 2 21、1 £) f22!畀 1、12 2 2!1 2 1 1 3-2)2 "( J(1-二)3，1 1、22 2，1、32,1 3-f ( 2)(0 -J3!23!1J 1門(mén)；顯然，由f (1) - f(0)得1123!' '令紅(弋J，且使得|廠心=2'Ejf(1)f(2) )3。f (1), f (2)，則不等式得證。max3函數(shù)單調(diào)性(導(dǎo)數(shù))。這種方法證明不等式理論依據(jù)簡(jiǎn)單直接，只是需要大家在構(gòu)造函數(shù)時(shí)注意一點(diǎn)：有時(shí)函數(shù)的構(gòu)造需要對(duì)所證明的不等式進(jìn)行一定的變化之后實(shí)施。例如下題：x x證明：0 ： x ：二時(shí)，sin2 兀x x1x 1此題看似簡(jiǎn)單，若構(gòu)造函數(shù)f(x)=sin，則得到f (x) cos。但是這2 兀22 兀樣以來(lái)問(wèn)題卻變的復(fù)雜了(當(dāng)然，利用二階導(dǎo)數(shù)借助于凹凸性問(wèn)題仍可得以解決而且比較簡(jiǎn) 單),可