偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：(1)理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念；(2)掌握偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函 數(shù)的求導(dǎo)法則；(3) 了解混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的充分條件。教學(xué)重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)難點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)存在性的討論教學(xué)方法：講練結(jié)合教學(xué)時(shí)數(shù)：2課時(shí) 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算在研究一元函數(shù)時(shí)，從研究函數(shù)的變化率引入了導(dǎo)數(shù)的概念，對(duì)于多元函數(shù)同樣需要討論它的變化率。由于多元函數(shù)不止一個(gè)自變量，研究起來要復(fù)雜得多。但是，我們可考慮多 元函數(shù)關(guān)于其中一個(gè)自變量的變化率，例如：理想氣體的體積：V=kT,P因此，我們引入下面的偏導(dǎo)數(shù)概念。1、偏導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1 設(shè)函數(shù)z = f

2、(x, y)在點(diǎn)(%, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0 ,而x在xo處有增量 也 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量：f (xo +Ax, yo) - f (xo, yo),如果媽f (Xo+&X, 1)一 f (Xo,yo)存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(%,yo)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)，記為, 一 ,Zx(x°, %)或 fx(%,yo).二(xo,yo)cx(xo,yo)即 fx(xo, yo)三則。f(xox,yo) - f (xo, yo)d，、f (x, yo) dxx=xo同理可定義函數(shù) z = f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，為limi

3、yof (xo, yoy) - f (xo, yo)(xo,yo)"y，Zy(xo,yo)或 fy(xo, yo). (x0,yo)即 fy(xo, yo)=既f (x。，光 . y) - f (x°,y。)yd 一 、=- f(xo,y) y.0dy如果函數(shù)z = f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù) z=f(x, y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，簡稱偏導(dǎo)數(shù) 記作名，f , Zx或 fx(x,y)._:xfx同理可以定義函數(shù) z=f(x, y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)數(shù)，記作上， , zy或fy(x,y). jy

4、 .:y偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如 u = f(x,y,z)在(x, y, z)處f (x , ：x, y,z) - f(x, y,z). ：xf (x, y y,z) - f (x,y,z)”弧3,f (x, y,z：z) - f (x, y,z)fz(x,y,z) = llzmo.2、計(jì)算：從偏導(dǎo)數(shù)的定義可以看出，計(jì)算多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)并不需要新的方法，若對(duì)某一個(gè)自變量求導(dǎo)，只需將其他自變量常數(shù)，用一元函數(shù)微分法即可。于是，一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則都可以移植到多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算上來。22例1：求z = x +3xy + y在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解法一：=2x 3y ;

5、= 3x 2y.x；:yrczcz= 2M1+3父2=8, = 3 黑 1 + 2父2 = 7ex (1,2)cy (1,2)解法2, 4, ,z ya =x +6x +4 ,:z：:x= (2x 6)(1,2)=8 x =1,八 ，2uz._入=1 +3y + y，科(1,2)=(3+2y) yw=7這里我們要知道，有時(shí)，“先求偏導(dǎo)函數(shù)再代值求某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)”不一定簡便。如下例一一W. .2班例 2：f(x,y,z)=xe +(x+ y)arctanln(1+ x yz),求一(101).ex ,一 .,cf解：fx(x,0,1) = x + x 0 = x,，一 (101) =1. ex ,

6、p .:V :T例3 已知理想氣體的狀態(tài)方程pV = RT ( R為常數(shù))，求證：一p , =-1 .二 V 二 T 二 p證明：p 二RT_ 叩yRT；VRTfV _.:Tf；TppVFT _ RfpVR；-:P.:TRT；:p - -V2RI = -i pV有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)1、偏導(dǎo)數(shù)里是說明：個(gè)整體記號(hào)，不能拆分.:x2、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求； 例如，z = f (x, y) = J網(wǎng),求fx (0, 0), fy(0, 0).解：fx(0,0)=則 |x 0| 一0 =0= fy(0,0).xy例 4：設(shè) f (x, y) = « x2 +y2'

7、9;，求 f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)。0(x, y) =(0,0)解：當(dāng)(x,y)#(0,0)時(shí)，fx(x,y) =.22、y(x y ) - 2x xyy(y2 -x2)/ 222(x y)/ 222 ,(x y ),22、222y xyx(x2 - y2) (x2 y2)2 ,當(dāng)(x, y)= (0,0)時(shí)，按定義可知fx(0,0)=lmf( x,0) - f(0,0)-lim - -0,/ 0 Lxfy(0Qf(0, ：y) -f(0,0)= lim 0 =0,. y0 ; yy(y2-x2)故 fx(x, y) !_(x2 y2)20(x,y)#(0,0),fy(x, y)=：(x, y

8、) =(0,0)x(x2 - y2)22 2(x y )0(x,y) = (0,0)(x, y) = (0,0)例如，函數(shù)f (x, y)=xyx2 + y2，a3、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)，但多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，函 數(shù)未必連續(xù).x2 y2 = 0，依定義知在(0,0)處，22x y = 0fx(0,0) = fy(0,0) =0.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)4、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè) M 0(X0,y0, f(X0,y0)是曲面 z = f (x, y)上一點(diǎn)，則偏導(dǎo)數(shù)fX(x0,y0)就是曲面被平面 y=y0所截得的曲線在點(diǎn) M0處的切線 MJX對(duì)x軸的

9、斜率；偏導(dǎo)數(shù)fy(X0, y0)就是曲面被平面 x = x)所截得的曲線在點(diǎn) M。處的切線M°Ty對(duì)y軸的斜率.二、高階偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)、fy(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則設(shè)函數(shù)z = f (x, y)在區(qū)域D內(nèi)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱它們是函數(shù)z = f (x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù)。記作z cz.2 c2z.x ；x ；:x2=fxx(x, y),z (cz.y a z 二二二-TTy «y) yyfyy(x, y)z (dz. c2z、 z fez產(chǎn)=fxy(x, y), cy tx ) cxtyex cy Jj2z:y .x=fyx(x,y)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高

10、階偏導(dǎo)數(shù)-2-2-2例 5 設(shè) z = x3 y2 - 3xy3 -xy +1,求-2、C Z二 x：y：x 二xy：2z b 咦二 y 二 x解： =3x2y2 -3y3 -y, =2x3y - 9xy2 -x;x；:y-2二 z- 2ex2: z 2= 6xy , =6y ,ex.2箕=2x3 -18xy;y_2_2二 z 22- z 22=6x y -9y -1, = 6x y -9y -1.x.yy.x例6設(shè)u = eax cosby ,求二階偏導(dǎo)數(shù).-：2. 2u “axuaxu 2 axu 2 ax角牛： =ae cosby,=-be sin by; -2 = a e cosby,

11、 -2 = b e cosby, .x二 y二 x: y-2uax=-abe sin by, x -y-2 uax=-abe sin by. y x問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?x3y例 7 設(shè) f (x, y)=x2 + y20(x,y) =(0,0),求 fxy(0,0), fyx(0,0).(x,y) =(0,0)解：當(dāng)(x,y)#(0,0)時(shí),fx(x, y)=3x2y(x2 y2) -2x x3y3x2y2x4y(x222 y )2222 2，x y (x y )3xfy(x，y) 一 -22x y3 22x y22.2T2，(x y )當(dāng)(x,y)=(0,0)時(shí)，按定義可知:fx(0，

12、0)=lmf( x,0) - f(0,0)lim - = 0, .J0 xfy(0,0)=明0f(0,：y)-f(0,0)-7=lim = 0,.y 0 .;yfxy(0,0)=船力fx(0, ：y)- fx(0，0)=0fyx(0,0) = lim0fy(Ax0)-fy(0，0)=iLx顯然 fxy(0,0) = fyx(0,0).問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等?定理2.1如果函數(shù)z = f (x, y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)2z 二2z工z及在區(qū)域D內(nèi)連:：y：x；x；y續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.例8驗(yàn)證函數(shù)u(x,y) =ln Jx2 + y2滿足拉普拉斯方程_2二 u-27 = 0.y證明：ln x2y2 =1 ln(x2y2),.:ux2一2/2222一 2/2222:u _ (x y ) - x 2x _ y - x 二 u _ (x y ) - y 2y _ x - y-2 -2 222 一 / 222 , - 2 - t 22.2一 / 22.2 .x (x y ) (x y )cy(x y ) (x y )-2-22222二 u 二 u y -x x - y證畢.- += + =0.2. 2/22、2/22. 2u