哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碓u(píng)析

1、哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碓u(píng)析    形式系統(tǒng)的完全性是指系統(tǒng)的有效公式都是該系統(tǒng)的定理，即該系統(tǒng)的所有有效公式在該系統(tǒng)中都可證，否則就是不完全的。1929年，邏輯學(xué)家哥德?tīng)?Kurt Gdel)證明了一階邏輯系統(tǒng)的完全性，即哥德?tīng)柾耆远ɡ?。然而?930年他又證明了算術(shù)系統(tǒng)PA的不完全性：如果形式算術(shù)系統(tǒng)PA是相容的，則必定存在閉公式G及其否定G在此系統(tǒng)中均不可證，即如果PA是相容的，則必定存在閉公式G和G在PA中可表達(dá)，但卻不能證明它們是PA定理。這就是哥德?tīng)柌煌耆远ɡ怼８鶕?jù)語(yǔ)義，如果G在系統(tǒng)PA中是可表達(dá)的，那么根據(jù)排中律，G不是真的就是假的，即要么G

2、真要么G真。但是，“可證”與“真”是兩個(gè)相似卻根本不同的概念，因?yàn)橛蒅或G在PA中為真，不能證明二者之一在PA中必然為真。我們這里首先簡(jiǎn)介哥德?tīng)柌煌耆远ɡ?，然后澄清關(guān)于哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼囊恍┱J(rèn)識(shí)，并探討哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼膬r(jià)值和意義。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ砀绲聽(tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明過(guò)程精細(xì)而繁復(fù)，極具技巧性。它的知識(shí)背景是一個(gè)形式算術(shù)系統(tǒng)PA，包括一階邏輯系統(tǒng)和五個(gè)皮亞諾(G.Peano)公理。在證明中，哥德?tīng)柺紫韧ㄟ^(guò)可表達(dá)性、遞歸性和哥德?tīng)枖?shù)進(jìn)行了兩步轉(zhuǎn)換。第一步是給PA的每一符號(hào)、公式和證明序列都指定一個(gè)不同的自然數(shù)，即哥德?tīng)枖?shù)，目的“是為了把關(guān)于形式系統(tǒng)內(nèi)的對(duì)象的斷定，轉(zhuǎn)換為關(guān)于自然數(shù)的斷

3、定，也就是說(shuō)，通過(guò)編碼，使得對(duì)象理論的好些性質(zhì)都能夠在自然數(shù)中反映出來(lái)，尤其是，有關(guān)對(duì)象理論的元定理也都可以表示為自然數(shù)的定理”1(P78)。哥德?tīng)枖?shù)都是自然數(shù)，反之則不然。第二步轉(zhuǎn)換是第一步的逆過(guò)程，是通過(guò)可表達(dá)性和遞歸性再把關(guān)于自然數(shù)的斷定轉(zhuǎn)換為PA中可表達(dá)的公式。設(shè)f是定義在自然數(shù)N上的任一函數(shù)或關(guān)系，m和n都是任意自然數(shù)，則f(m，n)在PA中“可表達(dá)”就是“直觀算術(shù)函數(shù)可以通過(guò)哥德?tīng)枖?shù)翻譯(映射)為PA中的公式”(P97)。但是，任意f在PA中都可表達(dá)嗎？哥德?tīng)栕C明了凡遞歸函數(shù)或關(guān)系在PA中都是可表達(dá)的。這兩步轉(zhuǎn)換，先把PA公式轉(zhuǎn)換為自然數(shù)，再把自然數(shù)轉(zhuǎn)換為PA公式，有什么意義呢？前

4、面區(qū)分的兩個(gè)概念“可表達(dá)”與“可證”有助于這里的理解。第一個(gè)轉(zhuǎn)換是把PA的元命題真假斷定轉(zhuǎn)換為自然數(shù)命題的真假斷定，而第二個(gè)轉(zhuǎn)換卻是將自然數(shù)命題的真假斷定轉(zhuǎn)換為PA的可表達(dá)公式。這樣，經(jīng)過(guò)兩步轉(zhuǎn)換，PA就成了其自身的元系統(tǒng)，斷定內(nèi)容有了十分重要的改變：由對(duì)命題真假的斷定轉(zhuǎn)換為對(duì)可表達(dá)性的斷定。這兩步轉(zhuǎn)換對(duì)于在不完全性定理的證明中使用自指命題但又避免悖論是十分關(guān)鍵的。在兩步轉(zhuǎn)換之后，哥德?tīng)枠?gòu)造了一個(gè)自指命題G。這是極為關(guān)鍵的，原因是哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼淖C明必須在PA中找到一個(gè)閉公式G，使得G和G在該系統(tǒng)中都不可證。語(yǔ)義上，G和G必有一真。有一真但又不可證，就意味著PA沒(méi)有包容所有真命題，即系統(tǒng)P

5、A是不完全的。最后，哥德?tīng)栕C明，G與G都是PA的不可證命題，即證明了不完全性定理本身或許有人會(huì)問(wèn)，把自指命題G作為新公理加入PA，形成一個(gè)PA的擴(kuò)充系統(tǒng)PA，PA不就是完全的了？事實(shí)并非如此。哥德?tīng)栕C明，增加一條新公理，并沒(méi)有改變遞歸關(guān)系及其表達(dá)性，因?yàn)榘聪嗨频某绦?，可以在PA中找到另外一個(gè)不可證命題G，從而PA也是不完全的。因而，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碛挚蓴U(kuò)充表述為：對(duì)任一足夠豐富的相容的形式系統(tǒng)S，必定存在閉公式G以及G在S中可表達(dá)，但卻不能證明它們是否是S定理。這里的“足夠豐富”指系統(tǒng)S必須豐富到包含一階算術(shù)系統(tǒng)PA，它既可以真包含PA又可以等于它，但不能比PA簡(jiǎn)單，否則就有可能是完全的。哥

6、德?tīng)栠€給出了不完全性定理的另一種證明：既然真句子集A不能在PA中得到全部表達(dá)，而PA的可證命題集B能夠表達(dá)，足見(jiàn)B是A的真子集。因此，存在真命題G在PA中不可證；既然G真，其否定G也應(yīng)當(dāng)在PA中不可證。哥德?tīng)栔赋?，這種證明的缺點(diǎn)是沒(méi)有擺出一個(gè)不可判定命題，而且其中也要明顯地求助于集合，會(huì)引起直覺(jué)主義者的異議。但是，沒(méi)有一個(gè)不可判定命題會(huì)讓人缺乏某種實(shí)在感，更重要的是，不完全性定理表明公理集合論也是不完全的，如果再用集合來(lái)證明不完全性定理，則顯然會(huì)出現(xiàn)循環(huán)。哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碛幸粋€(gè)推論：任一包含一階算術(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng)S的相容性，在S自身中都不可證。此推論又稱哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ?，而前述不完全性定?/p>

7、又稱哥德?tīng)柕谝徊煌耆远ɡ?。?duì)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ淼膸追N誤讀當(dāng)前，談?wù)摳绲聽(tīng)柌煌耆ɡ硪殉蔀閷W(xué)界的時(shí)髦，遺憾的是，其中有一些討論是在沒(méi)有真正理解和把握哥德?tīng)柖ɡ淼幕A(chǔ)上進(jìn)行的。第一，有人認(rèn)為哥德?tīng)柾耆远ɡ砼c不完全性定理中的“完全性”是不同的。例如，糾正對(duì)哥德?tīng)柖ɡ淼膸讉€(gè)誤解一文認(rèn)為：“哥德?tīng)柾耆远ɡ肀砻饕浑A邏輯是完全的，即對(duì)任何一階語(yǔ)言的公式，由可證和是的語(yǔ)義結(jié)論是重合的?！?這一觀點(diǎn)可表示為，特別地，當(dāng)是空集時(shí)，有，可見(jiàn)，此“完全性”中的語(yǔ)義有效公式與語(yǔ)形可證公式之間是“當(dāng)且僅當(dāng)”的關(guān)系。但是，哥德?tīng)柕耐耆允侵浮笆欠癯跏荚O(shè)定的公理系統(tǒng)和推理規(guī)則事實(shí)上能夠得到每一邏輯數(shù)學(xué)命題，或者是否可以

8、想象，在所考慮的系統(tǒng)里可能存在不能得出的真命題”4(P583)，也就是說(shuō)，哥德?tīng)柨紤]的完全性是指所有的有效公式是否都可證，應(yīng)該用公式表示為，也即在哥德?tīng)柾耆远ɡ碇?，有效公式與可證公式之間只有“如果那么”的關(guān)系，而不是，即無(wú)“一階邏輯系統(tǒng)的可證公式都是該系統(tǒng)的有效公式”之意。其實(shí)，“”是指可靠性?？煽啃院屯耆远际切问较到y(tǒng)的重要性質(zhì)，缺少哪一個(gè)，形式系統(tǒng)就不完善，但可靠性與完全性不是一回事。不完全性定理的完全性與完全性定理的完全性是一致的，否則就是不完全的。不過(guò)，完全與否，是相對(duì)于系統(tǒng)而言的。相對(duì)于一階邏輯有完全性，而相對(duì)于一階算術(shù)系統(tǒng)以及復(fù)雜性超過(guò)算術(shù)系統(tǒng)的系統(tǒng)就沒(méi)有完全性，即具有不完全性。

9、第二，哥德?tīng)栒Z(yǔ)句會(huì)導(dǎo)致悖論嗎？我們經(jīng)?？吹接腥苏撟C哥德?tīng)栒Z(yǔ)句會(huì)導(dǎo)致悖論。英國(guó)學(xué)者霍金(S.Hawking)極具代表性，他說(shuō)：“哥德?tīng)柖ɡ硎怯米晕抑刚J(rèn)的方法證明成立的。這種命題會(huì)導(dǎo)致悖論。例如，如果一命題真，那么可合乎邏輯地推出其假；如果一命題假，那么可合乎邏輯地推出其真?！?(P25)但是，霍金的這個(gè)觀點(diǎn)卻是錯(cuò)誤的。的確，哥德?tīng)栒Z(yǔ)句與說(shuō)謊者的悖論句極其相似，但二者卻根本不同。張建軍教授在邏輯悖論研究引論中對(duì)此做了清晰的比較和分析，即：L是假的：G在PA中是不可證的。看起來(lái)好像G只不過(guò)把L中的“假”換成了“在PA中是不可證”，即把一個(gè)語(yǔ)義概念換成了語(yǔ)形概念，但是，后者并不像前者那樣導(dǎo)致悖論。要理

10、解其緣由，主要是要理解我們前面對(duì)語(yǔ)義概念“真”與語(yǔ)形概念“可證”“不可證”所做的區(qū)分。設(shè)L是假的可得L真，再設(shè)L為真可得L是假的，這就得到了悖論。循此思路，如果我們?cè)O(shè)G是假的，即“G在PA中是不可證的”是假的，那么可得G在PA中可證為真，這就意味著G是PA中的真理，這樣就從G假推出了G真；但是，如果設(shè)G真，即“G在PA中是不可證的”，由此卻推不出G假，因?yàn)镚在PA中不可證并不意味著G一定為假?？梢?jiàn)，由哥德?tīng)栒Z(yǔ)句G得不出悖論。第三，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ肀砻餍膭儆跈C(jī)器嗎？哥德?tīng)柡退墓ぷ髟絹?lái)越受人垂青，與計(jì)算機(jī)和人工智能的發(fā)展有關(guān)?！八钪亩ɡ肀砻髁藬?shù)學(xué)的不可窮盡性，確定了形式系統(tǒng)(或計(jì)算機(jī)程序

11、)的局限性，所以與心是否勝過(guò)機(jī)器這個(gè)膾炙人口的問(wèn)題有了關(guān)系”6(P184)。持“心勝于機(jī)器”觀點(diǎn)者認(rèn)為，既然哥德?tīng)柌煌耆远ɡ肀砻鲝?fù)雜的形式系統(tǒng)中存在該系統(tǒng)內(nèi)不能判定的公式，而人心卻可以憑借直覺(jué)判斷出該公式的真假，那么就表明人心勝過(guò)機(jī)器。與此相似，哥德?tīng)柋救艘苍岢袄硇灾髁x的樂(lè)觀主義”，他的推理也與上面相似：人的理性不會(huì)一面提出理性不能回答的問(wèn)題一面又堅(jiān)持只有理性才能回答這些問(wèn)題，可見(jiàn)，沒(méi)有人心不可判定的問(wèn)題；但數(shù)學(xué)系統(tǒng)已經(jīng)極其完善，因此人心勝過(guò)機(jī)器。但是，哥德?tīng)柡髞?lái)承認(rèn)他的定理沒(méi)有了結(jié)心勝過(guò)機(jī)器的問(wèn)題6(P185)。之所以如此，是因?yàn)楦绲聽(tīng)柌煌耆远ɡ硪环矫姹砻髁诵问较到y(tǒng)的局限性，即任一足

12、夠復(fù)雜的形式系統(tǒng)都有在其自身不可證的真命題，但另一方面，它也顯示了形式系統(tǒng)的巨大威力：低層次的不可證命題可以在高一層次中得到形式證明?？梢?jiàn)，哥德?tīng)柌煌耆远ɡ聿](méi)有直接表明人心是否勝過(guò)機(jī)器。之所以會(huì)產(chǎn)生“心勝于機(jī)器”的論點(diǎn)，可以說(shuō)是因?yàn)闊o(wú)視哥德?tīng)柌煌耆远ɡ硭@示的形式系統(tǒng)巨大威力的結(jié)果。結(jié)語(yǔ)哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碛绊懮钸h(yuǎn)，它直接摧毀了希爾伯特(D.Hilbert)最初設(shè)想的數(shù)學(xué)目標(biāo)，使元數(shù)學(xué)擺脫了虛幻的目標(biāo)而走上了健康發(fā)展道路。哥德?tīng)柖ɡ硖幵谡麄€(gè)邏輯學(xué)的中心地位?！案绲?tīng)柦淌诘墓ぷ饕呀?jīng)引起現(xiàn)代邏輯的革命，從數(shù)學(xué)上也從哲學(xué)上大大提高了它的重要性。他所做的數(shù)學(xué)與哲學(xué)出奇地意味深長(zhǎng)，美，超脫宿怨。在邏

13、輯的一切現(xiàn)有分支里，他的工作都是基礎(chǔ)和生命力”6(p34)。哥德?tīng)栐谧C明不完全性定理中使用的一些概念，如真、可表達(dá)、可證、有效、哥德?tīng)枖?shù)、遞歸等，現(xiàn)在都是邏輯學(xué)中的基本概念；哥德?tīng)柖ɡ淼囊恍┧枷氪俪闪艘恍┓种W(xué)科的大發(fā)展，如遞歸論，證明論等。當(dāng)前，國(guó)際上已將哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碣澴u(yù)為現(xiàn)代邏輯科學(xué)在哲學(xué)方面的三大成果之一(另兩個(gè)為塔斯基的形式語(yǔ)言的真理論和圖靈機(jī)與判定問(wèn)題)。最新的事例足以說(shuō)明不完全性定理的深遠(yuǎn)影響。2004年，英國(guó)學(xué)者霍金發(fā)表文章哥德?tīng)柵c物理學(xué)的終極，放棄了其研究了多年的終極性萬(wàn)有理論：萬(wàn)有理論不存在，永遠(yuǎn)找不到這種理論?；艚鹫f(shuō)，他是在仔細(xì)重新研讀了哥德?tīng)柌煌耆远ɡ砗螅鸥淖兞俗约旱挠^點(diǎn)，哥德?tīng)柖ɡ怼昂苊黠@”表明萬(wàn)有理論是不可能實(shí)現(xiàn)的?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1朱水林.哲理的沉思：哲人科學(xué)家哥德?tīng)朚.福州：福建教育出版社，1999。2張建軍.邏輯悖論研究引論M.南京：南京大學(xué)出版社，2002。34Kurt Gdel. The completeness of the axio